作业(七)正弦定理和余弦定理-2024年高一数学暑假作业(北师大版)

正弦定理和余弦定理 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角A,B,C 所对的边分别 是a,b,c,R 为△ABC外接圆半径. 定理 正弦定理 余弦定理 公式 a sinA= b sinB= c sinC=2R a2=b2+c2-2bccosA; b2=c2+a2-2cacosB; c2=a2+b2-2abcosC 常见 变形 (1)a=2RsinA,b=2RsinB, c=2RsinC; (2)sinA=a2R ,sinB=b2R , sinC=c2R ; (3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶ sinC; (4)asinB=bsinA,bsinC =csinB,asinC=csinA cosA=b 2+c2-a2 2bc ; cosB=c 2+a2-b2 2ac ; cosC=a 2+b2-c2 2ab 2.三角形中常用的面积公式 (1)S=12a ·ha(ha表示边a 上的高). (2)S=12absinC= 1 2acsinB= 1 2bcsinA =abc4R. (3)S=12r (a+b+c)(r为三角形的内切圆 半径). 1.(2023·广元高一期中)在△ABC 中,A= 45°,C=75°,BC= 2,则AC= ( ) A.3 B.2 2 C.2 3 D.6 2.(2023·合肥高一期中)在△ABC 中,三个 内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知 A=π4 ,a= 2,b= 3,则B 的大小为 ( ) A.π6 B. π 3 C.π6 或5π 6 D. π 3 或2π 3 3.(2024·房山高一月考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cosA= 6 3 ,b=2 2,c= 3,则a= ( ) A.2 B.2 C.3 D.3 4.(2023·天津高一期中)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=1, b=2,c= 7,则C= ( ) A.120° B.90° C.60° D.45° 1.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若A=π4 ,B=π6 ,a=4,则b= ( ) A.1 B.2 2 C.2 D.2 2.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=60°,且△ABC 的面积为 3,若 b+c=6,则a= ( ) A.2 6 B.5 C.30 D.2 7 3.在△ABC 中,B=π4 ,AB= 2,BC=3,则 sinA= ( ) A.1010 B. 10 5 C. 3 10 10 D. 5 5 4.(多选)(2023·绵阳高一期中)在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中恰有一解 的是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —41— 高一数学(配BSD版) A.b=7,c=3,C=π6 B.b=5,c=6,C=π4 C.a=6,b=3 3,B=π3 D.a=20,b=15,B=π6 5.(2023·洛阳高一期末)△ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,a=6,C=π3 , csinB =2 3,则 b= ,c= . 6.(2024·嘉定高一开学考试)在△ABC中,已 知角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且 cacosB-bcosA =2b2,则sinAsinB= . 7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且sin2B+ 3sinAsinC=sin2A+sin2C. (1)求B 的大小; (2)若b=2 3,A=π4 ,求a. 1.(2023·全国甲卷)在△ABC 中,∠BAC= 60°,AB=2,BC= 6,∠BAC 的角平分线 交BC 于D,则AD= . 2.(2023· 全国乙卷)在△ABC 中,已 知 ∠BAC=120°,AB=2,AC=1. (1)求sin∠ABC; (2)若 D 为BC 上一点,且∠BAD=90°, 求△ADC的面积. 易错一 忽视隐含条件致错 [示例1] 在锐角三角形ABC 中,a,b,c分 别是内角A,B,C 的对边,若B=2A,则ba 的取值范围是 ( ) A.(-2,2) B.(0,2) C.(2,3) D.(2,2) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 本题的易错之处是忽视锐角三角形的各角均为锐 角这一条件而不能准确求出角A 的范围而出现错 误,易只考虑A 是锐角,而不是C 为锐角时角A 的范围,因此涉及锐角三角形时,要综合考虑三个 角均为锐角的条件. 易错二 忽视构成三角形的条件致错 [示例2] 已知△ABC的三条边的长度分别 为4m,5m,6m,将三边都截掉xm后,剩 余的部分组成一个钝角三角形,则x的取 值范围是 ( ) A.(0,5) B.(1,5) C.(1,3) D.(1,4) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 若要长度分别为4-x,5-x,6-x的线段构成三角 形,需要满足4-x+5-x>6-x(两边之和大于第三 边),忽视构成三角形的条件是出错的主要原因. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —51— 高一数学(配BSD版) 2.A 由于a∥c,b⊥c,所以 1×6=3m, 3n+12=0, 解得m=2,n=-4, 所以a+b=(1,2)+(-4,2)=(-3,4), 所以|a+b|= (-3)2+42=5. 3.A ∵|a|=4,∴4m=4,解得m=1, 即b=(1,1), cos<a,b>= a ·b |a||b|= 4 4× 2 = 22 , 又<a,b>∈[0,π], 所以a和b的夹角大小为π4. 4.D 向量a,b都是单位向量,且|a-b|=1,则(a-b)2= a2+b2-2a·b=2-2a·b=1,解得2a·b=1,所以 |a+b|= (a+b)2= a2+b2+2a·b= 3. 5.A ∵AB→·AC→=2AB→·AD→, ∴AB→·AC→-AB→·AD→=AB→·DC→=AB→·AD→, ∵AB∥CD,CD=2,∠BAD=π4 , ∴2|AB→|=|AB→|·|AD→|cosπ4 , 可得 AD→ =2 2, ∴AC→·AD→=(AD→+DC→)·AD→=AD→2+AD→·DC→=8+ 2 2×2×cosπ4=12. 6.BCD 由题意得AB→=(4,-2),故A错误; AD→=(1,2),因为AB→·AD→=4×1-2×2=0, 所以AB→⊥AD→,故B正确; DC→=(6,-3),所 以AB→= 23DC →,所 以AB→∥DC→,且 |AB→|≠|DC→|,结合AB→⊥AD→,可得四边形ABCD 为直 角梯形,故C、D正确. 【真题体验】 1.B 向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1), 所以|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3× 1=-1. 2.D 因 为 a= 1,1 ,b= 1,-1 ,所 以 a+λb= 1+λ,1-λ ,a+μb= 1+μ,1-μ , 由 a+λb ⊥ a+μb 可得,a+λb ·(a+μb)=0, 即 1+λ 1+μ + 1-λ 1-μ =0,整 理 得λμ= -1.故选D. 【易误警示】 [示例 1] B ∵a,b 夹 角 为 钝 角,∴cos <a,b>= a·b a · b <0 且a,b不共线, 即a·b=4x+3<0且x 2x+3 ≠2, 解得x<-34 且x≠-2, ∴x的取值范围为 -∞,-2 ∪ -2,-34 . [示例2] B 因为向量AB→,BC→的夹角为2π3 ,所以AB→· BC→=2×2×cos2π3=-2 ,故选B. 作业(七) 正弦定理和余弦定理 【基础演练】 1.A 2.D 3.D 4.A 【综合演练】 1.B 在△ABC 中,A=π4 ,B=π6 ,a=4,由正弦定理得 a sinA= b sinB , 所以b=asinBsinA = 4sinπ6 sinπ4 =2 2 2 =2 2. 2.A 由 于 A=60°,S△ABC = 1 2bcsinA= 3 4bc ,故 有 3 4bc= 3 ,解得bc=4, 又b+c=6,则a= b2+c2-2bccosA= (b+c)2-3bc = 36-12=2 6,故选A. 3.C 在△ABC中,因为B=π4 ,AB= 2,BC=3, 由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosπ4= 2+9-2× 2×3× 22=5 , 所以AC= 5, 由正 弦 定 理 AC sinB= BC sinA ,可 得sinA=BCsinBAC = 3× 22 5 =3 1010 . 4.BC A 中,由正弦定理,得sinB=bsinCc = 7×12 3 = 7 6>1 ,所以B 不存在,显然错误; B中,因为bsinC=5 22 ,C 为锐角,所以bsinC<b<c, 所以该三角形有一解,B正确; C中,因为asinB=3 3,B 为锐角,所以b=asinB, 所以该三角形有一解,C正确; D中,因为asinB=10,B 为锐角,所以asinB<b<a, 所以该三角形有两解,D错误. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —74— 5.解析 由正弦定理得csinB=bsinC= 32b=23 ,得b=4. 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=36+16-24= 28,得c=2 7. 答案 4 2 7 6.解析 ∵cacosB-bcosA =2b2,∴由余弦定理可得 ac·a 2+c2-b2 2ac -bc ·b 2+c2-a2 2bc =2b 2,即a2+c2- b2-b2-c2+a2=4b2,即a2=3b2, 则a= 3b,∴ab = 3. 再利用正弦定理可得sinA sinB= 3. 答案 3 7.解析 (1)由正弦定理得b2+ 3ac=a2+c2, 即a2+c2-b2= 3ac, 所以cosB=a 2+c2-b2 2ac = 3 2. 因为0<B<π,所以B=π6. (2)由正弦定理得 asinA= b sinB , 则a=bsinAsinB = 2 3× 22 1 2 =2 6. 【真题体验】 1.解析 如图所示,记AB=c,AC=b,BC=a, 法一 由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos60°=6, 因为b>0,解得b=1+ 3, 由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得, 1 2×2×b×sin60°= 1 2×2×AD×sin30°+ 1 2×AD× b×sin30°, 解得AD= 3b 1+b2 = 2 31+ 3 3+ 3 =2. 法二 由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos60°=6, 因为b>0,解得b=1+ 3, 由正弦定理可得, 6 sin60°= b sinB= 2 sinC , 解得sinB= 6+ 24 ,sinC= 22 , 因为1+ 3> 6> 2, 所以C=45°,B=180°-60°-45°=75°, 又∠BAD=30°,所以∠ADB=75°,即AD=AB=2. 答案 2 2.解析 (1)由余弦定理可得 BC2=a2=b2+c2-2bccosA=4+1-2×2×1× cos120°=7,则BC= 7,cosB=a 2+c2-b2 2ac = 7+4-1 2×2× 7 =5 714 ,sinB= 1-cos2B= 1-2528= 21 14 . (2)由三角形面积公式可得 S△ABD S△ACD = 1 2×AB×AD×sin90° 1 2×AC×AD×sin30° =4, 则S△ACD = 1 5S△ABC = 1 5× 12×2×1×sin120° = 310. 【易误警示】 [示例1] C ∵B=2A,∴sinB=sin2A,由正弦定理得 b a = sinB sinA= sin2A sinA =2cosA. ∵0<2A<π2 ,0<π-3A<π2 ,∴π6<A< π 4 , ∴ 22<cosA< 3 2 ,2<2cosA< 3,即 2<ba < 3. 故 选C. [示例2] C 根据题意,将三边都截掉xm后,三角形的 三边长分别为(4-x)m,(5-x)m,(6-x)m,且0< x<4.设长为(6-x)m的边所对的角为α,则α为钝角. ∵4-x>0,5-x>0,6-x>0, cosα= (4-x)2+(5-x)2-(6-x)2 2(4-x)(5-x) <0 , ∴1<x<4. ∵4-x+5-x>6-x, ∴x<3,∴1<x<3, 故x的取值范围是(1,3).故选C. 作业(八) 解三角形的综合问题及应用举例 【基础演练】 1.B 2.D 3.A 4.74 【综合演练】 1.C 因为在塔顶部测得 A,B 两点的俯角分别为45°和 30°,所 以 在 直 角 三 角 形 PAO 中,∠PAO=45°,可 得 AO=PO=20m, 在直角三角形PBO 中,∠PBO=30°,可得BO= POtan30° =20 3m, 在△AOB 中,由 题 知∠AOB=150°,由 余 弦 定 理 得 AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos ∠AOB=400+ 1200-2×20×20 3× - 32 =2800,得 到 AB= 20 7m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —84—