作业(九)同角三角函数的基本关系、两角和与差、二倍角的三角函数公式…-2024年高一数学暑假作业(北师大版)

同角三角函数的基本关系、两角和与差、二倍角 的三角函数公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:sinαcosα=tanα α≠π2+kπ, k∈Z . 2.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ. cos(α∓β)=cosαcosβ±sinαsinβ. tan(α±β)= tanα±tanβ 1∓tanαtanβ . 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α=2sinαcosα. cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1- 2sin2α. tan2α= 2tanα 1-tan2α . 1.计算:1-2sin222.5°= ( ) A.- 22 B. 2 2 C.- 3 2 D. 3 2 2.已知α是第三象限的角,cosα=-1213 ,则 sinα= ( ) A.513 B.- 5 13 C.512 D.- 5 12 3.sin17°cos43°+cos17°sin43°= ( ) A.12 B. 2 2 C.32 D. 2+ 6 4 4.若tanα+π4 =17,则tanα= ( ) A.34 B. 4 3 C.- 3 4 D.- 4 3 1.(2023·济宁高一期中)若sinα= 32 ,则 cos2α的值为 ( ) A.12 B.- 1 2 C.1 D.3 2.sinα=35 ,α∈ π2 ,π ,则cos π4-α 的 值为 ( ) A.- 25 B.- 2 10 C.-7 210 D.- 7 2 5 3.已知1-tanA1+tanA= 5 ,则tan π4+A = ( ) A.- 5 B.5 C.- 55 D. 5 5 4.已 知 sinβ= 1 3 ,cos(α+β)= -1,则 sin(α+2β)的值为 ( ) A.1 B.-1 C.13 D.- 1 3 5.已知sinθ-sin π2+θ = 2,则tanθ= ( ) A.- 2 B.-1 C.1 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81— 高一数学(配BSD版) 6.2sinπ-α +sin2α 2cos2α2 = ( ) A.sinα B.sin2α C.2sinα D.sinα2 7.方程cos2x-sinx=0在区间 0,2π 上的 所有解的和为 . 8.1874年欧拉第一次提 出将角置于圆内,以有 向线段与半径的比值 定义三角函数.如图, 在单位圆中,定义角α 的正弦为有向线段MP,角α的余弦为有 向线段OM.若在单位圆内,角α和角β均 以Ox 轴为始边,两角的终边关于y 轴对 称,且对应正弦的值均为1 3 ,则cos(α-β)= . 9.已知θ为锐角,满足sin2θ+sinθcosθ- 3cos2θ=35 ,则tanθ= . 10.求下列各式的值. (1) 2cos 2α-1 2tan π4-α sin2 π4+α ; (2)2 3tan15°+tan215°; (3)sin10°sin30°sin50°sin70°. 1.(2021·全国乙卷)cos2 π12-cos 25π 12= ( ) A.12 B. 3 3 C.22 D. 3 2 2.(2020·全国卷Ⅲ)已知sinθ+sin θ+π3 =1, 则sinθ+π6 = ( ) A.12 B. 3 3 C.23 D. 2 2 易错一 不能发现角的关系致错 [示例1] 已知θ为锐角,cos(θ+15°)=35 , 则cos(2θ-15°)= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 不能转化“2θ-15°”为特殊角及已知角的和、差,导 致无法求解或错解. 易错二 忽视角的范围致错 [示例2] 已知sin(π-α)=437 ,cos(α-β)= 13 14 ,0<β<α< π 2 ,则 角 β 的 大 小 是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 本题容易忽视角的限制条件0<β<α< π 2 ,导致函 数值的符号错误. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —91— [示例2] B 因为a= 2,b= 3,B=π6 ,由正弦定理 a sinA= b sinB 可得, 2 sinA= 3 1 2 ,解得sinA= 66 ,因 为 a<b,所 以 A<B,故 A∈ 0,π6 ,又 y=sinx 在 0,π2 上单调递增,故A 只有一解,故选B. 作业(九) 同角三角函数的基本关系、两角和 与差、二倍角的三角函数公式 【基础演练】 1.B 2.B 3.C 4.C 【综合演练】 1.B 因为sinα= 32 ,所以cos2α=1-2sin2α=1-2× 3 2 2 =1-2×34=- 1 2. 2.B ∵sinα=35 且α∈ π2 ,π ,∴cosα=-45, ∴cos π4-α =cosπ4cosα+sinπ4sinα=- 210. 3.D 因 为1+tanA1-tanA= 5 5 ,所 以 tanπ4+tanA 1-tanπ4tanA = 55 , 即tan π4+A = tanπ4+tanA 1-tanπ4tanA = 55 ,故选D. 4.D 由cos(α+β)=-1,得sin(α+β)=0,又sinβ= 1 3 , 所以sin(α+2β)=sin(α+β+β)=sin(α+β)·cosβ+ cos(α+β)·sinβ=- 1 3. 5.B 因为sinθ-sin π2+θ =sinθ-cosθ= 2,由题意 可得 sinθ-cosθ= 2, sin2θ+cos2θ=1, 解得 sinθ= 22 , cosθ=- 22 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 因此,tanθ=sinθcosθ=-1. 6.C 根 据 题 意 可 知,利 用 诱 导 公 式 可 得 2sinπ-α +sin2α 2cos2α2 =2sinα+sin2α 2cos2α2 . 再由二倍角 的 正 弦 和 余 弦 公 式 可 得2sinα+sin2α 2cos2α2 = 2sinα1+cosα 2cos2α2 =2sinα1+cosα 1+cosα =2sinα , 即2sinπ-α +sin2α 2cos2α2 =2sinα. 7.解析 由cos2x-sinx=0,即1-2sin2x-sinx=0,解 得sinx=-1或sinx=12. 在 0,2π 上,当sinx=-1 时,x=3π2 ;当sinx=12 时,x=π6 或x=5π6 ,所以所有解 的和为3π 2+ π 6+ 5π 6= 5π 2. 答案 5π2 8.解析 由题意得:sinα=sinβ= 1 3 ,cosα=- 1-sin2α =-2 23 ,cosβ= 2 2 3 ,故cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ=- 2 2 3 × 2 2 3 + 1 3× 1 3=- 7 9. 答案 -79 9.解 析 因 为 sin2θ + sin θcos θ - 3cos2θ = sin2θ+sinθcosθ-3cos2θ sin2θ+cos2θ =tan 2θ+tanθ-3 tan2θ+1 =35 ,整理 得 2tan2θ+5tanθ-18=0,解得tanθ=2或tanθ=-92 , 又因为θ为锐角,则tanθ>0,所以tanθ=2. 答案 2 10.解析 (1) 2cos 2α-1 2tan π4-α sin2 π4+α = cos2α 2tan π4-α cos2 π2- π4+α = cos2α 2tan π4-α cos2 π4-α = cos2α 2sin π4-α cos π4-α = cos2α sin2× π4-α = cos2α sin π2-2α =cos2αcos2α=1. (2)2 3tan15°+tan215°= 3tan30°1-tan215° + tan215°= 3× 33 × 1-tan 215° +tan215°=1- tan215°+tan215°=1. (3)sin10°sin30°sin50°sin70°=12cos20°cos40°cos80°= 2sin20°cos20°cos40°cos80° 4sin20° = sin40°cos40°cos80° 4sin20° = 2sin40°cos40°cos80° 8sin20° = 2sin80°cos80° 16sin20° = sin160° 16sin20°= sin20° 16sin20°= 1 16. 【真题体验】 1.D 由题意,cos2 π12-cos 25π 12=cos 2 π 12-cos 2 π2- π 12 =cos2 π12-sin2 π12=cosπ6= 32.故选D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —05— 高一数学(配BSD版) 2.B 由题意可得sinθ+12sinθ+ 3 2cosθ=1 ,则3 2sinθ+ 3 2cosθ=1 ,3 2sinθ+ 1 2cosθ= 3 3 ,从而有sinθcosπ6+ cosθsinπ6= 3 3 ,即sinθ+π6 = 33. 【易误警示】 [示例1] 解析 ∵θ为锐角,cos(θ+15°)=35 , ∴sin(θ+15°)=45. ∴sin(2θ+30°)=2sin(θ+15°)cos(θ+15°)=2425 , cos(2θ+30°)=2cos2(θ+15°)-1=2×925-1=- 7 25. ∴cos(2θ-15°)=cos(2θ+30°-45°)=cos(2θ+30°)· cos45°+sin(2θ+30°)sin45°=-725× 2 2+ 24 25× 2 2= 17 2 50 . 答案 17 250 [示例2] 解析 因为sin(π-α)=4 37 , 所以sinα=4 37 . 因为0<α<π2 ,所以cosα= 1-sin2α=17. 因为cos(α-β)= 13 14 ,且0<β<α< π 2 , 所以0<α-β< π 2 , 所以sin(α-β)= 1-cos2(α-β)= 3 3 14. 所以cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =17× 13 14+ 4 3 7 × 3 3 14= 1 2. 因为0<β< π 2 ,所以β= π 3. 答案 π3 作业(十) 三角恒等变换的应用 【基础演练】 1.C 2.A 3.-π12+ kπ 3 ,k∈Z 4.kπ-π3 ,kπ+π6 (k∈Z) 【综合演练】 1.D 因为cosθ=725=2cos 2θ 2-1 ,所以2cos2θ2= 32 25 , 则cos2θ2= 16 25. 因为θ∈ 0,π ,所以θ2∈ 0 ,π 2 ,即 cosθ2>0 ,故cosθ2= 4 5. 所以sin π2+ θ 2 =cosθ2=45. 2.D f -x =2cos -x -cos2 -x =2cosx- cos2x=f(x),所以函数为偶函数.f(x)=2cosx- cos2x=-2cos2x+2cosx+1=-2 cosx-12 2 + 3 2 ,所以当cosx=12 时,f(x)取最大值32. 3.A 因为cosxcosy+sinxsiny=12 ,所以cos(x-y)= 1 2 ,因为sin2x+sin2y=23 ,所以2sin(x+y)cos(x-y)= 2 3 ,所以2sin(x+y)·12= 2 3 ,所以sin(x+y)=23 ,故 选A. 4.B sin(α+β)sin(β-α) =cos [(α+β)-(β-α)]-cos[(α+β)+(β-α)] 2 =cos2α-cos2β2 =m. 5.BD f(x)= 32sin2x- 1 2cos2x=sin2x- π 6 .对选 项A:y= f(x)的图象是由f(x)的图象的x 轴下方 的部分向上翻折形成,周期减半,故T=12× 2π 2= π 2 , 故A错误; 对选项B:当x=π3 时,2x-π6= π 2 ,故y=f(x)的图象 关于x=π3 对称,故B正确; 对选项C:平移后的解析式为g(x)=sin 2 x-φ - π 6 =sin2x-2φ-π6 ,函数关于原点对称,则-2φ- π 6=kπ ,k∈Z,即φ=- π 12- kπ 2 ,k∈Z,当k=-1时,φ= -π12+ π 2= 5π 12 满足条件,故C错误; 对选项D:当x∈ -π6 ,π 2 时,2x-π6∈ -π2,5π6 , 故f(x)∈ -1,1 ,故D正确;故选BD. 6.解析 设顶角α∈ 0,π , 则sinα=2425 ,cosα=± 1- 2425 2 =±725 , ∴sinα2= 1-cosα 2 = 3 5 或4 5 ,则其底角的余弦值为 cos π2- α 2 =sinα2=35或45. 答案 35 或4 5 7.解析 由sinα+sinβ= 1 4 ,得2sinα+β2 cos α-β 2 = 1 4 , 由cosα+cosβ= 1 3 ,得2cosα+β2 cos α-β 2 = 1 3 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —15—