作业(二)正弦、余弦、正切函数的图象和性质-2024年高一数学暑假作业(北师大版)

高一数学(配BSD版) 正弦、余弦、正切函数的图象和性质 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中k∈Z) 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 R R x x∈R,且 x≠kπ+π2 值域 [-1,1] [-1,1] R 最小正 周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增 区间 2kπ-π2 , 2kπ+π2 [2kπ-π,2kπ] kπ-π2 , kπ+π2 递减 区间 2kπ+π2 , 2kπ+3π2 [2kπ,2kπ+π] 无 对称中心 (kπ,0) kπ+π2 ,0 kπ2,0 对称轴方程 x=kπ+π2 x=kπ 无 1.函数f(x)=3sinx4+ π 6 -1的最小正周 期和最大值分别是 ( ) A.π2 和3 B.π2 和2 C.8π和3 D.8π和2 2.若函数y=2sinx+a的最大值为-2,则 a的值为 ( ) A.2 B.-2 C.0 D.-4 3.函数f(x)=tan3x-π6 的定义域是 ( ) A.xx≠kπ+2π9 ,k∈Z B.R C.xx≠2π9 D.xx≠kπ3+ 2π 9 ,k∈Z 4.下列函数为奇函数的是 ( ) A.y= sinx +cosx B.y= cosx +sinx C.y= sinx ·cosx D.y= cosx ·sinx 1.y=-sinx 对应的图象是 ( ) 2.函数y=sin2x-3cosx+2的最大值为 ( ) A.5 B.214 C.-1 D.1 3.已知a=sinπ5 ,b=sinπ7 ,c=sin5π6 ,则a, b,c的大小关系是 ( ) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —3— 4.函数y=tanx-π6 ,x∈ -π6,5π12 的值 域为 ( ) A.- 3,1 B.-1,33 C.-∞,- 3 ∪(1,+∞) D. 3 3 ,1 5.(多选)已知函数f(x)=tan2x-π3 ,则 ( ) A.f0 = 3 B.f(x)最小正周期为π2 C.2π3 ,0 为f(x)的一个对称中心 D.f(x)在 5π12 ,7π 12 上单调递增 6.不等式tan2x≥1的解集为 . 7.函数y=Asin(ωx+φ) 其中A>0,ω>0,|φ|< π 2 的最大值是3,对称轴方程是x=π6,要 使函数的解析式为y=3sin2x+π6 ,还应 给出的一个条件是 .(填上你认为 正确的一个条件即可,不必考虑所有可能 的情形) 8.已知f(x)=2sin2ωx-π6 ω>0 的最小 正周期为π. (1)求ω的值,并求f(x)的单调递增区间; (2)求f(x)在区间 0,5π12 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的最大值. 1.(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=cos ωx+ π 6 在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的 最小正周期为 ( ) A.10π9 B. 7π 6 C. 4π 3 D. 3π 2 2.(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)的最小正周期为 T.若 f(T)= 32 ,x=π9 为f(x)的零点,则ω的 最小值为 . 易错一 忽略两图象的交点致错 [示例1] 方程3sinx=x的实根个数为 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 方程3sinx=x的实根个数等于函数y=3sinx与 函数y=x的交点个数,画出图象即可判断有几个 交点,此题考查方程根的个数转化为两函数图象 交点个数问题,关键点是准确画出函数图象较易 求得结果,画图时注意特殊点. 易错二 不理解单调性的概念致错 [示例2] 函数f(x)=2sin -2x+π3 在 [0,π]上的单调递增区间为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用整体代换法求函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0, ω≠0)的单调区间时,如果式子中x 的系数为负 数,应先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求 其单调区间. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —4— 高一数学(配BSD版) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案 第一部分 温故知新 作业(一) 周期变化、任意角、弧度制、三角函 数的定义、诱导公式 【基础演练】 1.C 2.C 3.D 4.A 【综合演练】 1.A cos570°=cos(360°+210°)=cos210°=cos(180°+ 30°)=-cos30°=- 32. 2.C 角α与β终边相同,则α=k·360°+β,k∈Z,只有C 选项满足,故选C. 3.B 200°=200× π180rad= 10π 9 rad ,因为半径为1,所以 200°的圆心角所对的弧长为10π9 ,故选B. 4.AD 当k为偶数时,A=sinαsinα+ cosα cosα+ tanα tanα=3 ; k为奇数时,A=-sinαsinα - cosα cosα+ tanα tanα=-1 , ∴A=3或A=-1. 5.解析 由题设tanα=-3m = 5 12 ,则m=-365 ,所以sinα = -3 -365 2 + -3 2 =- 3 1296 25 +9 =-339 5 =-513. 答案 -513 6.解析 sinα-7π10 =sinα-π5-π2 =-cosα-π5 =-513. 答案 -513 7.解析 由cosα≤0,sinα>0,可 知 3a-9≤0, a+2>0, 解 得 -2<a≤3,故实数a的取值范围是(-2,3]. 答案 -2,3 8.解析 在角α的终边上任取一点P(x,y), 则y= 2x.当x>0时,r= x2+y2= 3x, sinα+cosα=yr + x r = 6 3+ 3 3= 6+ 3 3 ; 当x<0时,r= x2+y2=- 3x, sinα+cosα=yr + x r =- 6 3- 3 3=- 6+ 3 3 . 【真题体验】 D 由题意,知-π2+2kπ<α<2kπ (k∈Z),所以-π+ 4kπ<2α<4kπ(k∈Z),所以cos2α≤0或cos2α>0, sin2α<0,故选D. 【易误警示】 [示例1] C 因为集合 M 表示终边在第一、三象限或第 二、四象限的角平分线上的角的集合,集合 N 表示终边 在坐标轴(四个位置)上和在第一、三象限或第二、四象 限的角平分线上的角的集合,故 M⫋N. [示例2] 解析 当角α的终边在射线y=-34x (x>0) 上时,取终边上一点P(4,-3),所以点P 到坐标原点的 距离r=|OP|=5,所以sinα=yr = -3 5 =- 3 5 ,cosα= x r = 4 5 ,tanα=yx =- 3 4. 所以sinα-3cosα+tanα=-35- 12 5- 3 4=- 15 4. 当角α的终边在射线y=-34x (x<0)上时,取终边上 一点P'(-4,3), 所以点P'到坐标原点的距离r=|OP'|=5,所以sinα= y r = 3 5 ,cosα=xr =- 4 5 ,tanα=yx = 3 -4=- 3 4. 所以sinα-3cosα+tanα=35-3× - 4 5 -34= 3 5+ 12 5- 3 4= 9 4. 综上,sinα-3cosα+tanα的值为-154 或9 4. 作业(二) 正弦、余弦、正切函数的图象和性质 【基础演练】 1.D 2.D 3.D 4.D 【综合演练】 1.C 由题,y=-sin x 为偶函数,且当x>0时,y= -sinx,又y=-sinx为y=sinx的图象沿x 轴翻折. 2.A 因 为 -1≤cosx≤1,y=sin2x-3cosx+2= -cos2x-3cosx+3= - cosx+32 2 +214 ,故 当 cosx=-1时,函数y=sin2x-3cosx+2取最大值,且 ymax=-1+3+3=5. 3.C c=sin5π6=sin π 6 ,∵0<π7< π 6< π 5< π 2 , ∵y=sinx在 0,π2 上单调递增, ∴sinπ7<sin π 6<sin π 5 ,即b<c<a. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —14— 4.A 设 z=x - π6 ,因 为 x∈ -π6 ,5π 12 ,所 以 z∈ -π3 ,π 4 ,因 为 正 切 函 数 y = tanz 在 -π2 ,π 2 上为单调递增函数,且tan -π3 =- 3, tan π4 =1 ,所 以tanz∈ - 3,1 .∴ 函 数 y = tanx-π6 ,x∈ -π6,5π12 的 值 域 为 - 3,1 ,故 选A. 5.BCD f 0 =tan -π3 =- 3,A错误; f(x)=tan2x-π3 的最小正周期为π2,B正确; 当x=2π3 时,f 2π3 =tan2·2π3-π3 =0, 所以 2π 3 ,0 为f(x)的一个对称中心,C正确; 当x∈ 5π12 ,7π 12 时,2x-π3∈ π2,5π6 ,y=tanx 在 π 2 ,5π 6 上单调递增,D正确. 故选BCD. 6.解析 不等式tanx≥1的解集为 x kπ+π4≤x< kπ+π2 ,k∈Z .由tan2x≥1可得kπ+π4≤2x<kπ+ π 2 ,k∈Z,解得kπ2+ π 8≤x< kπ 2+ π 4 ,k∈Z,所以不等式 tan2x≥1的解集为 x kπ2+ π 8≤x< kπ 2+ π 4 ,k∈Z 答案 x kπ2+ π 8≤x< kπ 2+ π 4 ,k∈Z 7.解析 若给出条件:周期T=π,则ω=2ππ=2 ,此时y= 3sin2x+φ . 由对称轴方程是x=π6 , 则2×π6+φ= π 2+kπ ,k∈Z. 取k=0,得φ= π 6. 此时y=3sin2x+π6 ,符合题意. 答案 周期T=π(答案不唯一) 8.解析 (1)由f(x)=2sin2ωx-π6 的最小正周期为π, 得 2π 2ω =π ,∵ω>0,∴ω=1,f(x)=2sin2x-π6 ,令 -π2+2kπ≤2x- π 6≤ π 2+2kπ ,得-π6+kπ≤x≤ π 3+kπ ,故f(x)的单调递增区间为 -π6+kπ,π3+ kπ k∈Z . (2)∵x∈ 0,5π12 ,∴2x-π6∈ -π6,2π3 , ∴当2x-π6= π 2 ,即x=π3 时,f(x)取得最大值2. 【真题体验】 1.C 由图可得函数图象过点 -4π9 ,0 ,将它代入函数 f(x)可得cos -4π9 ·ω+π6 =0,又 -4π9,0 是函数 f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点,所以-4π9 ·ω+ π 6=- π 2 ,解得ω=32 ,所以函数f(x)的最小正周期为 T=2πω= 2π 3 2 =4π3. 2.解析 f(T)=cosφ= 3 2 ,且0<φ<π,故φ= π 6 , f π9 =cos π9ω+π6 =0⇒ π9 ω+ π6 = π2 + kπ(k∈Z)⇒ω=3+9k,k∈Z,又ω>0,故ω 的最小值 为3. 答案 3 【易误警示】 [示例1] C 方程3sinx=x 的实根个数等于函数y= 3sinx与函数y=x的交点个数,做出函数y=3sinx与 函数y=x的图象,如下图所示. 由图可知,函数y=3sinx与函数y=x的图象的交点个 数为3个.故选C. [示例 2] 解 析 函 数 f(x)=2sin -2x+π3 = -2sin2x-π3 , 令π 2+2kπ≤2x- π 3≤ 3π 2+2kπ ,k∈Z, 解得5π 12+kπ≤x≤ 11π 12+kπ ,k∈Z,令k=0得5π12≤x≤ 11π 12 ,所以函数f(x)=2sin -2x+π3 在[0,π]上的单 调递增区间为 5π 12 ,11π 12 . 答案 5π12 ,11π 12 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —24—