第2章 整式及其加减 章末培优专练 2024-2025学年华东师大版数学七年级上册

2.1 列代数式 课时1 用字母表示数 1 知识点1 用字母表示数的书写要求 1.[2024菏泽期末]下列式子符合规范书写要求的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 A项,中的带分数应写成假分数；B项,应写成 ；C 项, 中的3应写在字母的前面；D项,符合规范书写要求. 2 2.下列表示实际意义的式子，书写不规范的是( ) C A.三角形的面积为 B.高铁的速度为 C.香蕉的价格为 元/ D.圆的面积为 【解析】 C项书写不规范，应改为香蕉的价格为元 / . 3 知识点2 用字母表示数 3.[2024洛阳期末]妈妈在超市购买物品共需 元，结账时买塑料袋又花了0. 2元，妈妈共花了( ) A A.元 B.元 C.元 D. 元 4 4.[2024秦皇岛段考]小明比小强大2岁，比小华小4岁.如果小强 岁，那么 小华( ) D A.岁 B.岁 C.岁 D. 岁 【解析】 小强岁，小明比小强大2岁，则小明 岁；小明比小华小 4岁，则小华 岁． 5 5.若三角形的一边长为 ,该边上的高比该边短1,则该三角形的面积为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 因为三角形的一边长为 ,该边上的高比该边短1,所以该边上的 高为.根据三角形的面积 （底×高）,得该三角形的面积为 . 6 6.教材P84练习T2变式若一个三位数的百位数字为 ，十位数字为0，个位 数字为 ，则这个三位数可以表示为( ) B A. B. C. D. 7 7.[2023河南中考]某校计划给每个年级配发 套劳动工具，则3个年级共需 配发____套劳动工具. 8 8.教材P118复习题T1（1）变式如果 表示一个不为0的有理数，那么它的 倒数是__. 9 9.[2024无锡段考]请用字母, 表示有理数减法法则：_________________. 10 10.水结成冰后，体积会增大，则体积为 的水，结成冰后的体积为_____. 11 11.新情境[2023长春中考]2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开 跑，某同学参加了健康跑项目，他从起点开始以平均 的 速度跑了，此时他离健康跑终点的路程为____________ . 【解析】 易知总路程为，该同学跑了 ，根据“总路程 -已跑的路程 离终点的路程”，可得此时他离健康跑终点的路程为 . 12 12.某种“ ”形零件的尺寸如图所示，则该零件的周长为_________,面积为 __________. 13 用字母表示图形面积的方法 （1）直接运用相关图形的面积公式表示面积;（2）当不能直接用面 积公式表示图形（尤其是不规则图形）的面积时,常将图形进行“割补”， 再利用图形面积的和或差表示. 14 $$2.1 列代数式 课时2 代数式 1 知识点1 代数式的定义 1.[2024怀化期末]下列各式中,是代数式的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 “”“ ”“ ”都不是运算符号，所以用这些符号连接的式子都 不是代数式. 2 知识点2 代数式的意义 2.[2023河北中考]代数式 的意义可以是( ) C A.与的和 B.与的差 C.与的积 D.与 的商 3 3.新趋势·结论开放[2023郑州期末]代数式“ ”可以理解为“若一个长方形 的长是，宽是，则这个长方形的面积是 ”，还可以理解为 _____________________________________________________________. 若某种铅笔每支元，需购买支，则一共花费元（答案不唯一） 4 代数式的意义主要从以下三个方面考虑:（1）几何意义，主要从图形 的周长、面积、体积考虑；（2）从运算的角度考虑；（3）联系生活实际， 对代数式中的字母赋予实际意义. 5 知识点3 用代数式表示 4.[2022长沙中考]为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书 香满校园”的读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其 中甲种读本的价格为10元/本，乙种读本的价格为8元/本.若购买甲种读本 本，则购买乙种读本的费用为( ) B A.元 B.元 C.元 D. 元 【解析】 已知购买甲种读本本，则购买乙种读本 本，因为乙 种读本的价格为8元/本，所以购买乙种读本的费用为 元． 6 5.教材P85例2（4）变式，两地相距，甲每小时行 ，乙的速 度是甲的1.2倍，则乙从地到 地所用的时间为( ) B A. B. C. D. 【解析】 根据题意，得乙的速度为.因为A,B两地相距 ,所 以乙从A地到B地所用的时间为 （时间 ）. 7 6.教材P88习题T3（5）变式某项工作，甲单独做需 天完成，乙单独做需 天完成，若两人合作7天，则可以完成的工作量是( ) A A. B. C. D. 【解析】 由题意可知，甲、乙每天的工作量分别为, ,则甲、乙合作7天 可以完成的工作量是 . 8 第7题图 7.教材P95习题T7变式[2023吕梁期中]如 图是某年11月份的月历表，按如图所示 的方式用阴影任意圈出4个数，设这四 个数中最小的数为 ，则这四个数中最 大的数为( ) B A. B. C. D. 【解析】 根据题意知，其他三个数分别为， ， ，所以这四个数中最大的数为 ． 9 第8题图 8.[2024石家庄长安区期中]下面四个代数式中，不能 表示图中阴影部分面积的是( ) D A. B. C. D. 10 9.教材P86练习T2（1）变式[2024镇江丹徒区期中]某商品每件成本为 元， 按成本增加定价，受环境影响，库存积压，现按定价降低 出售， 现在每件商品的售价为_______元. 【解析】 根据题意,得该商品的定价为 元,因为按定价降低 出售,所以现在每件商品的售价为 （元）. 11 10.[2024三门峡期中]某市出租车的收费标准：起步价为8元（含 ）， 超过的部分，每千米收费1.8元.若某出租车行驶 ，则司机 应收________________元. 【解析】 因为起步价为8元，超过的部分费用为 元,所以司 机应收 元. 12 11.[2023临沂中考]观察下列式子：， ， ， ，按照上述规律，__________________ . 13 用代数式表示等式变化规律的步骤 先从简单的已知数量关系入手,抓住随着“行数”或“序号”增加时,等号 左边的加数在数量上的变化规律,找出等号右边数量上的变化规律,从而推 出一般性的结论,进而用字母表示出这个一般性的结论并验证. 14 12.[2023山西中考]如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片 组成.第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图 案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片……依此规律，第 个 图案中有 _________个白色圆片（用含 的代数式表示）. 15 【解析】 第1个图形中有 （个）白色圆片；第2个图形中有 （个）白色圆片；第3个图形中有 （个）白色 圆片……由此可推出第 个图形中有 个白色圆片. 16 $$2.1 列代数式 课时3 列代数式 1 1.[2024保定期末]“与 的和的2倍”用代数式表示是( ) B A. B. C. D. 2 2.[2024上海期中]甲数比乙数的5倍少3，则下列说法正确的是( ) A ①设乙数为，甲数为; ②设甲数为，乙数为 ; ③设甲数为，乙数为; ④设甲数为，乙数为 . A.①③ B.①② C.②④ D.①④ 【解析】 设乙数为，甲数为； 设甲数为，乙数为 ，故 正确的是①③. 3 列代数式时的注意点 （1）抓住关键性词语，如“大”“小”“多”“少”“和”“差”“积”“商”“倍”等， 弄清题目中的数量关系；（2）弄清运算顺序，通常按照“先读先写”的顺 序列式. 4 3.[2024南阳期末]“与 两数的平方差”可以用代数式表示为( ) A A. B. C. D. 5 变式 [2024泉州期末]用代数式表示“的2倍与 的差的平方”，正确的是 ( ) C A. B. C. D. 列代数式时，要遵循“先读先写”的原则，如与 两数的平方差 （先平方，再求差），的2倍与 的差的平方（先求差，再平方）. 6 4.[2023洛阳期中]用代数式表示“除以 与1的差所得的商”，正确的是 ( ) D A. B. C. D. 7 5.教材P87练习T2（2）变式[2024福州仓山区期末]三个连续偶数，最大的 一个是 ，则最小的一个可以表示为( ) C A. B. C. D. 【解析】 因为三个连续偶数中，最大的一个偶数是 ，易知相邻偶 数之间相差2，所以最小的一个偶数为 ． 8 6.教材P89习题T6（2）变式被7除商为 余2的数是________. 【解析】 因为被除数除数×商余数,所以被7除商为余2的数是 . 9 7.[2024无锡新吴区期中]数轴上有一动点从表示的 点出发，以每秒2 个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点 表示的数为_________. 【解析】 运动秒后点向右移动了个单位长度，所以此时点 表示的 数为 ． 10 8.现有30个数，其中所有正数之和为10，所有负数之和为 ，则这30个数 的绝对值之和为________. 【解析】 由题意知，所有正数之和的绝对值为10，所有负数之和的绝对 值为，所以这30个数的绝对值之和为 . 11 9.设某数为 ，用代数式表示： （1）比该数的一半大5的数； 解： . （2）该数的与它的 的和； . （3）该数的4倍与 的差的3倍. . 12 10.用代数式表示： （1）与 的和的倒数； 解： . （2）的2倍与的一半的和的平方与， 两数平方的和的2倍的差； . （3）甲数为，乙数为 ，甲、乙两数的积与乙的倒数的差. . 13 ［回顾与思考］用代数式表示数量关系时，关键要弄清数量的意义及相互 关系，对此你积累了哪些经验？ $$2.2 代数式的值 1 知识点1 代数式求值 1.[2022梧州中考改编]若，则 的值为( ) A A.1 B. C.2 D. 【解析】 把代入，得 ． 2 2.[2023无锡中考]当，时，代数式 的值为 ( ) A A.13 B.27 C. D. 【解析】 当， 时， . 3 3.教材P90例1变式[2023攀枝花期末]如表表示对每个 的取值，某个代数 式的相应的值，则满足表中所列所有条件的代数式是( ) 的值 1 2 3 代数式的值 D A. B. C. D. 【解析】 当，3时，的值分别为 ，0，故选项A不符合题意 （找到一个不符合要求的即可排除该选项）；当，2，3时， 的值分别是，，，故选项B不符合题意；当 ，2，3时， 的值分别是，，，故选项C不符合题意．将 的值分别 代入选项D中的代数式，所得代数式的值均满足要求，所以选项D符合题意. 4 4.[2024合肥瑶海区期末]已知，则 的值为 ( ) A A.12 B.10 C.6 D.0 【解析】 因为，所以 ，所以 （点拨：整体代入法）. 5 5.按如图所示的程序，若开始输入的 值为4，则输出的结果是( ) B A.1 750 B.1 540 C.1 950 D.2 020 【解析】 把代入题图中的程序，得，把 代入题图中的程序,得，把 代入题图中的程序, 得 ，故最后输出的结果是1 540. 6 6.若,,互为倒数，则 的值是___. 7 【解析】 因为,互为倒数,所以,又因为 ,所以 . 7 7.若,则 的值为___. 9 【解析】 因为,所以, （绝对值的 非负性）,所以,,所以 . 8 8.[2023泉州泉港区期中]当分别等于1和时，代数式 的两 个值______.（填“相等”“互为相反数”或“互为倒数”） 相等 【解析】 当时, ； 当时, .故 当分别等于1和时,代数式 的两个值相等. 9 知识点2 代数式求值的应用 9.[2024郑州金水区期中]现代营养学家用身体 质量指数 衡量人体胖瘦程度，这个指数等 于“人体体重”与“人体身高 的平方”的 商，即 .若张宇（成年人）的身高是 超重 【解析】 当，时， ，所以张宇的体重 超重． ，体重是 ，他的体重属于______. （填“过轻”“适中”或“超重”） 10 10.[2023重庆中考A卷改编]用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案， 其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用 了19根木棍，第④个图案用了24根木棍， ，按此规律排列下去，则第 ⑧个图案用的木棍根数是____. 44 11 【解析】 解题思路：根据已知图形所需要的木棍的数量，找到木棍数量 的变化规律并写出相关代数式，最后代入求值即可解答本题． 第①个图案有（根）木棍，第②个图案有 （根）木 棍，第③个图案有（根）木棍……所以第个图案有 根小木棒.当时， ，即第⑧个图案有44根木棍. 12 11.教材P92练习T3变式[2024广安期末]如图，某市有一块长为 ， 宽为 的长方形空地，某部门计划将部分区域（阴影部分）进行 绿化，并在中间边长为 的正方形空地上修建一座雕像. 13 （1）该长方形空地中绿化区域的面积是____________________________ ； （2）若， ，求绿化区域的面积. 解：当， 时， . 14 $$2.3 整式 课时1 单项式 1 知识点1 单项式的定义 1.[2022攀枝花中考]下列各式不是单项式的为( ) C A.3 B. C. D. 【解析】 单独一个数（如3）或单独一个字母（如 ）或数与字母的乘积 组成的式子（如 ）都是单项式.分母中含有字母的式子不是单项式 （如 ）. 2 2.[2023重庆万州区期末]在代数式，，， 中，单项式是__. 【解析】 因为 是一个确定的数（表示圆周率），所以 也是一个数， 所以是单项式.（含有加法运算的式子不是单项式），， （分子中含有加法运算的式子不是单项式）都不是单项式. 3 知识点2 单项式的系数、次数 3.下列代数式书写规范的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 A项应为,B项应为,C项应为 . 4 4.[2024咸宁期末]单项式 的系数是( ) A A. B.3 C.1 D. 5 5.[2024桂林期末]单项式 的次数是( ) D A. B.1 C.2 D.3 【解析】 的指数是1，的指数是2，故该单项式的次数是 ． 6 6.[2023海南期末]下列式子中，是二次单项式的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 不是单项式, （没有写指数的字母，其指数是1）是二 次单项式,是三次单项式, 是一次单项式. 7 7.易错题[2024广东一模]单项式表示球的体积，其中 表示圆周率， 表示球的半径，下列说法正确的是( ) B A.系数是，次数是3 B.系数是 ，次数是3 C.系数是，次数是4 D.系数是 ，次数是4 【解析】 的系数是 （易错点： 是常数，不是字母），次数是3． 8 8.若是关于，的系数为1的单项式,则 __. 【解析】 因为是关于,的系数为1的单项式,所以 ,所以 . 9 9.[2024淄博淄川区期末]已知单项式与 的次数相同，则 的值为___. 1 【解析】 因为单项式与的次数相同，所以 ， 解得，所以 . 10 10.[2024永州期末]单项式的系数为，次数为，则 ____. 【解析】 因为单项式的系数为，次数为3，所以 ， ，所以 . 11 11.教材P101习题T5变式[2024珠海期末]写出一个只含有， ，且系数为2、 次数为3的单项式：_________________. （或） 12 12.如果是关于,的六次单项式，求 的值. 解：根据题意，得,所以 , 所以或,所以或 . 当时,原单项式为0,不符合题意,所以 . 13 13.观察单项式,,,， 的特点. （1）按此规律写出第2 024个单项式； 解：第2 024个单项式为 . （2）试写出第 个单项式,并写出它的系数和次数. 由题意可知,第个单项式为,它的系数为 ,次数为 . 14 解决与单项式有关的规律探究型问题的技巧 解决与单项式有关的规律探究型问题时，一般应从系数规律 （包括符号规律）、字母的规律、字母指数的规律等方面去观察，最后找 出规律. 15 $$2.3 整式 课时2 多项式 过基础 教材必备知识精练 1 知识点1 多项式的定义 1.在式子,, ,, 中，多项式有( ) A A.1个 B.3个 C.4个 D.5个 【解析】 多项式有 ,共1个（分母中含有字母的式子不是多项 式）. 2 2.下列说法不正确的是( ) D A.是多项式 B. 不是多项式 C. 是多项式 D.单独一个字母是多项式 3 知识点2 多项式的项、常数项、项数、次数 3.多项式 的各项分别为( ) C A.,, B.,,1 C.,, D., ,1 4 4.[2024广州荔湾区期末]多项式 的次数和项数分别是 ( ) B A.3，3 B.4，3 C.3，2 D.2，2 【解析】 多项式的各项分别是，， ，共3项， 其中次数最高项是 ，次数是4，故该多项式的次数和项数分别是4和3. 5 5.[2024秦皇岛期末]在下列给出的四个多项式中，为三次二项式的多项式 是( ) C A. B. C. D. 【解析】 选项A是二次二项式，选项B是三次三项式，选项C是三次二项 式，选项D是二次三项式. 6 变式 [2024宜春期末]若是关于， 的三次二项式，则 ， 的值是( ) B A.， B.， C.， D.， 【解析】 由题意，得，，所以， . 7 6.[2024重庆万州区期末]对于多项式 ，下列说法中，正确 的是( ) C A.一次项系数是3 B.最高次项是 C.常数项是 D.是四次三项式 【解析】 多项式的一次项系数是，最高次项是 ， 常数项是 ，是三次三项式. 8 7.已知关于的多项式，，且， 次数相 同，次数最高项的系数互为相反数，则 ___. 1 【解析】 因为关于的多项式, 次数相同,次数最高项的系数互为相反数, 所以,.故 . 9 8.教材P98例3变式按要求完成下表. 多项式 次数最高项 _____ _______ ___________ 一次项 ____ ____ ____________ 几次几项式 ____________ ____________ ____________ , 没有一次项 二次三项式 二次二项式 三次三项式 10 9.新趋势·结论开放已知单项式,,,, ,请你用这些 单项式按下列要求,分别写出一个符合题意的多项式. （1）三次二项式; 解：三次二项式为 .（答案不唯一） （2）二次二项式; 二次二项式为 . 11 （3）三次三项式; 三次三项式为 .（答案不唯一） （4）四次三项式. 四次三项式为 .（答案不唯一） 知识点3 整式的定义 10.给出下列式子：，，，，0， . 其中整式有( ) C A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【解析】 题中所给代数式中，,,,0, 是整式,共有5个. 13 11.给出下列式子：；；；； .其 中单项式有________，多项式有______，整式有____________.（填序号） ①②⑤ ③④ ①②③④⑤ 14 2.3 整式 课时2 多项式 过能力 学科关键能力构建 15 12.下列说法不正确的是( ) B A.多项式 是二次三项式 B.四次多项式是指多项式中各项均为四次单项式 C. 既是多项式，也是整式 D.多项式的项是，， 【解析】 四次多项式是指多项式中次数最高项的次数为四,而不是多项式 中各项均为四次单项式,故B项错误. 16 13.易错题 若,为自然数，则多项式 的次数是( ) D A. B. C. D., 中较大的数 【解析】 因为一个多项式中,次数最高项的次数是这个多项式的次数,而 是常数,所以的次数是, 中较大的数. 17 14.如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫做齐次多项 式，如是三次齐次多项式.若 是 齐次多项式，则 的值为( ) C A. B.0 C.1 D.2 【解析】 由题意,得,所以 . 18 15.新趋势·结论开放[2024南阳期末]如图是一位同学数学笔记可见的一部 分.若要将这个代数式补充完整，你补充的内容是___________________. （答案不唯一） 19 16.观察下列多项式：,,,, .则第 个多项式 为______________. 【解析】 观察发现,每个多项式都是二项式.字母 的系数从2开始依次增 加1,字母的指数从1开始依次增加1,所以第个多项式为 . 20 17.[2024聊城期末]已知关于的多项式与 的次 数相同，求 的值 解：当时， ，次数为2, 即， ； 当时， 次数为3， 即， . 综上，可知的值是或 ． 21 18.[2024株洲期末]多项式不含 项 和 项. （1）求， 的值； 解：因为多项式不含项和 项， 所以，，解得， ． （2）当 时，求多项式的值. 由题意可知，多项式为 ， 当时，原式 . 22 19.[2023黄石期中]已知关于的整式 . （1）若该整式是单项式，求 的值； 解：因为当时，整式 不是单项式， 所以若该整式是单项式,则且,所以 . （2）若该整式是二次多项式，求 的值； 根据题意，得,且,所以 . （3）若该整式是二项式，求 的值. 根据题意，得,且或, 且 , 所以 或0. 23 缺项问题指的是多项式中不含某项的问题，解决这类问题的方法是根 据题目要求，不含哪一项则令该项的系数为0，只要该项系数为0，这项的 值就为0，从而该项不存在.若不存在项是常数项，则令常数项为0. 24 素养提升 20.推理能力[2023西安期中]一个含有多个字母的整式，若把其中任意两个 字母互换位置，所得的结果与原式相同，则称该整式为对称整式.例如： 是对称整式，不是对称整式，原因是将 中的,互换得到 ,与原式不同.给出以下说法：①若一个多项式 是对称整式，则该多项式中各项的次数一定相同；②单项式不可能是对称 整式；③若某对称整式中只含有字母，，，且其中有一项为 ，则 该对称整式的项数至少为6.其中错误的是______.（填序号） ①② 25 【解析】 为对称整式，但 中各项的次数不完全相同，故①错误； 为单 项式，也是对称整式，故②错误；对称整式中只含有字母，， ，且其 中有一项为，因为该对称整式中有一项为，所以将, 互换，该整 式中有一项为，因为该对称整式中有一项为，所以将， 互换， 该整式中有一项为，因为该对称整式中有一项为，所以将， 互 换，该整式中有一项为，因为该对称整式中有一项为，所以将 ， 互换，该整式中有一项为，因为该对称整式中有一项为 ,所以将 ，互换，该整式中有一项为 ，综上可知，对称整式 26 满足题中条件，其项数为6，若再添加 ，共 项，则该整式为 ，依然 是对称整式且满足题中条件，其项数为 ，所以该对称整式的项数至 少为6.故③正确． $$2.3 整式 课时3 升幂排列和降幂排列 1 知识点1 单一字母的升（降）幂排列 1.[2023天水期末]将多项式按 的升幂排列正确的是 ( ) D A. B. C. D. 2 2.把多项式按 的降幂排列为___________________. 3 知识点2 多个字母的升（降）幂排列 3.[2024重庆北碚区期末]把多项式按 的升幂排 列正确的是( ) C A. B. C. D. 4 4.[2024牡丹江期中]多项式 是( ) D A.按的升幂排列 B.按的降幂排列 C.按的升幂排列 D.按 的降幂排列 5 5.教材P101习题T4变式已知多项式（， 为正整数） 是按的降幂排列的四次三项式，则 的值为( ) C A. B.3或 C.或4 D. 【解析】 因为多项式（, 为正整数）是四次三项 式,所以.又因为多项式是按 的降幂排列的, 所以或3.当时,,；当时, , . 6 6.在中,若把 看成一个整体,则 按 的降幂排列为____________________________________. 7 7.原创题已知多项式，若按 的降幂排列，则 第二项是______；若按 的升幂排列，则第二项是________. 8 8.教材P101习题T7变式已知单项式，，，， ， 请你用这些单项式按下列要求解决问题. （1）写出一个五次三项式. 解： .（答案不唯一） （2）这些单项式可以组成一个多项式，它是几次几项式?并把它按 的升 幂排列. 可以组成一个十次五项式,按 的升幂排列为 . 9 9.已知多项式 是六次四项式，且单项式 的次数与该多项式的次数相同. （1）求， 的值； 解：根据题意,得,所以 . 因为单项式 的次数与该多项式的次数相同, 所以,所以 . （2）把这个多项式按 的降幂排列. 根据（1）,得这个多项式为 . 将这个多项式按的降幂排列为 . 10 $$2.4 整式的加减 课时1 同类项 1 1.[2024上海徐汇区二模]下列单项式中，与单项式 是同类项的是 ( ) C A. B. C. D. 2 同类项必须满足的两个条件 （1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同. 3 2.[2024济宁期末]在下列各组单项式中，不是同类项的是( ) B A.和 B.和 C.和99 D.和 【解析】 同类项与系数无关，与所含字母的顺序无关，且所有的常数项 都是同类项. 4 3.下列说法正确的是( ) B A.次数相同的项一定是同类项 B.同类项中相同字母的指数一定相等 C.含有相同字母的项是同类项 D.同类项的次数有可能不相同 5 4.[2022永州中考]若单项式与是同类项，则 ___. 6 【解析】 同类项中相同字母的指数相同. 6 5.新趋势·结论开放 教材P102练习T2变式写出一个与 是同类项的 单项式：____________________. （答案不唯一） 7 6.指出下列多项式中的同类项. （1） ； 解：与是同类项,与是同类项,1与 是同类项. （2） ； 与是同类项,与 是同类项. （3） ; 与是同类项,与 是同类项. （4） . 与 是同类项,88与888是同类项. 8 7.已知,则与 是同类项吗？为什么？ 解：是.理由如下： 因为,所以, , 所以, , 所以它们是同类项. 9 $$2.4 整式的加减 课时2 合并同类项 1 知识点1 利用合并同类项法则合并同类项 1.[2023乐山中考]计算： ( ) A A. B. C. D.1 【解析】 . 2 2.[2022泰州中考]下列计算正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 ，，与 不是同类项， 不能合并． 3 3.合并多项式 中的同类项后的结果有 ( ) D A.一项 B.二项 C.三项 D.四项 【解析】 因为 ,所以合并多项式 中的同类项后的结果有四项. 4 变式 [2024重庆期末]若关于，的多项式 合 并后只有两项，则合并后的结果是( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为关于，的多项式 合并后只有 两项，所以与是同类项，与 是同类项，所以原式 ． 5 4.[2023吕梁期末]如图，从标有单项式的四张卡片中找出所有能合并的同 类项，若它们合并后的结果为，则代数式 的值为( ) C A. B.0 C.1 D.2 【解析】 题图中的同类项为，， ，因为 ，所以，所以 ． 6 5.[2024周口期末]若单项式与 的和仍为单项式，则这两个 单项式的和为_________. 【解析】 根据题意,得, ,所以 . 7 挖掘隐含条件解决问题 因为只有当两个单项式是同类项时才能合并,且合并的结果是单项式， 所以这两个单项式是同类项. 8 6.[2024渭南临渭区期末]若代数式的值与 的取值无 关，则 的值是 ___. 7 【解析】 ，因为代数式 的值与的取值无关，所以，解得 ． 9 7.新情境[2024大同期末]2023年，10辆无人物流配送车在阳泉邮政正式“上岗”. 如图，邮政员工将快递包裹装进无人物流配送车车厢内， 轻点显示屏操作后，无人车按照系统预设线路自动上路行 驶，并将邮件投送到指定快递自提点.已知某天甲配送车投 【解析】 由题意，得这3辆配送车这一天共投送快递 件. 送快递 件，乙配送车比甲配送车多投送6件，丙配送车投送的件数比甲 配送车的2倍少2件，则这3辆配送车这一天共投送快递__________件. 10 8.易错题[2023保定莲池区期末]若 是一个五次二项式，则 ______. 4或5 【解析】 因为是一个五次二项式，所以与或 是 同类项，所以 或5． 11 9.教材P105练习T1变式已知关于的多项式 的值恒为 0，则 的值为____. 32 【解析】 因为关于的多项式的值恒为0,所以 与是同类项,且系数互为相反数,所以, ,所 以,,所以 . 12 知识点2 利用合并同类项法则化简求值 10.求下列多项式的值. （1）,其中 ； 解： . 当时,原式 . 13 （2）,其中, . . 当, 时, 原式 . 14 11.教材P120复习题T17变式有这样一道题:当, 时,求多项 式 的值.小丽同学指出,题 目中给出的条件“, ”是多余的,她的说法有没有道理?请说 明理由. 15 解：她的说法有道理.理由如下： . 因为计算的结果与, 无关, 所以题目中给出的条件“, ”是多余的， 所以小丽的说法有道理. 16 $$2.4 整式的加减 课时3 去括号和添括号（1） 1 知识点1 应用去括号法则去括号 1.[2024肇庆期末]下列去括号正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 ，， ， . 2 2.教材P107例6变式[2024商丘期中] 去括号应得( ) C A. B. C. D. 【解析】 （点拨：去多重括 号时，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号）． 3 3.[2023秦皇岛海港区期末]在化简多项式 时， 小丽和小华的做法如下. 小丽：原式 . 小华：原式 . 你认为下列说法正确的是( ) A A.两人都正确 B.只有小华正确 C.只有小丽正确 D.两人都不正确 【解析】 小丽是先去括号,再合并同类项,小华是将 看成一个整体, 先合并同类项,再去括号,所以两人都正确. 4 4.先去括号，再合并同类项. （1） ; 解： . （2） ; . 5 （3） ； . （4） . . 6 括号前有数字因数时,去括号的方法 若括号前面的系数不是或 ,则应先按照乘法分配律,将括号内各 项都乘系数的绝对值,再按照法则去括号,或者将系数直接与原括号里的各 项分别相乘. 7 知识点2 利用去括号法则解决相关问题 5.[2024平顶山期中]在计算 时，明明同学将括号前面的 “-”号抄成了“”号，得到的运算结果是，则多项式 是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 根据题意可得， ，所以 ． 8 6.[2024唐山古冶区期中]有理数，， 对应的点在数轴上的位置如图所示， 则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 由题中数轴可知，所以， ，所 以 . 9 去绝对值符号时忽略括号致错 去掉绝对值符号后,要注意将去掉绝对值符号后的结果作为一个整体 放在括号里面,再去括号、合并同类项. 10 7.[2024北京朝阳区期中]数学老师写出一个关于 的整式 （其中， 为常数，且表示为系数）， 然后让同学给， 赋予不同的数值进行计算. （1）甲同学先将整式进行了去括号，得到的二次项有__________； , 【解析】 ，其中二 次项有和 . 11 （2）乙同学只给出了一个的数值，算得的结果为 ， 则乙同学给出的 的值是___； 6 【解析】 因为 ，所以，解得 . 12 （3）丙同学给出一组，的数值，计算后发现结果与 的取值无关，求 出丙同学给出的， 的值并计算结果. 解：由（2），得原式 ， 因为计算的最后结果与 的取值无关， 所以，，所以，，所以原式 ． 13 $$2.4 整式的加减 课时4 去括号和添括号（2） 1 知识点1 应用添括号法则添括号 1.[2024南阳期末]下列添括号错误的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 . 2 2.[2024襄阳期末]将多项式 添括号后正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 选项A,添“-”号括号里的项没有都变号，错误；选项C,添“ ”号 括号里的部分项变号了，错误；选项D,交换“ ”位置时变号了，错误. 3 3.教材P109练习T2变式[2024石家庄裕华区期末]在 中 的 内应填的代数式为( ) C A. B. C. D. 【解析】 . 4 4.[2024惠州期末]按要求把多项式添上括号. （1）将多项式 添上两个括号，且两个括号间 用“-”连接，并且使含 的项都在第一个括号内； 解： . （2）把多项式 的中间两项括到前面是“-”号的括 号里. . 5 知识点2 应用添括号法则解决相关问题 5.[2023乐山市中区期中]给出下列各组代数式： 与；与；与； 与 . 请用添括号法则判断其中互为相反数的是( ) B A.①②④ B.②④ C.①③ D.③④ 6 【解析】 ，所以与 互为相反数 （点拨：只有正负号不同的两个数称互为相反数），故①不符合题意，② 符合题意;,所以与 不是互为相反数，故③不符 合题意；，所以与 互为相反数，故④符合 题意.综上，可知符合题意的是②④. 7 6.[2024内江段考]如果代数式 的值等于5，那么代数式 的值等于( ) A A.1 B. C. D. 【解析】 根据题意，得，所以 ，所以 ． 8 7.[2024扬州期末]已知，，则 ____. 【解析】 因为，所以 ，所以 ．因为，所以 ，所以 ． 9 8.用简便方法计算. （1） ； 解： . （2） . . 10 9.[2024南昌期中]如图是一道例题及正确的解答过程，其中， 是两个关 于 的二项式. 例题：先去括号，再合并同类项： 解：原式 ____. （1）二项式为_______，二项式 为_______； 【解析】 因为 ，所以 ， . 11 （2）求 的值. 解：由（1），得， ， 所以 . 12 $$2.4 整式的加减 课时5 整式的加减 过基础 教材必备知识精练 1 知识点1 整式的加减的法则 1.计算与 的和，结果正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 . 2 2.[2024廊坊期末]嘉嘉把错算成 ，结果比原来( ) B A.多4 B.少4 C.多6 D.少6 【解析】 ，所以 ，即 比 少4. 3 3.多项式 的值 ( ) A A.与，， 的大小无关 B.与，的大小有关，与 的大小无关 C.与的大小有关，与， 的大小无关 D.与，， 的大小都有关 【解析】 ，所以该多项式的值与，， 的大小无关. 4 4.[2023泰州中考]若，则 的值为____. 【解析】 ，因为 ，所以，所以原式 ． 5 5.[2023汉中期末]定义：.例如： .则 化简后的结果是____. 【解析】 根据题意，得 ． 6 6.新趋势·结论开放[2024晋城期末]数学课上，老师设计了一个数学游戏： 若两个多项式相减的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式为“友好 多项式”.甲、乙、丙三位同学各有一张多项式卡片，下面是甲、乙、丙三 位同学的对话. 根据他们的对话内容，可以知道丙的多项式是 ______________________________________________.（写出一个即可） （或或） 7 【解析】 根据题意，分情况讨论如下： , , . 8 7.新趋势·过程性学习[2024南阳期末]下面是小彬同学进行整式化简的过程， 请认真阅读并完成相应的问题. 第一步 第二步 （1）以上化简步骤中，第一步的依据是________； （2）以上化简步骤中，第____步开始出现错误，这一步错误的原因是 _____________________. 分配律 一 去括号没变号 9 （3）请写出该整式正确的化简过程，并计算当， 时该整式的值. 解： ． 当，时，原式 ． 10 8.新趋势·代数推理 教材P111例12变式[2024南昌青山湖区期末]已知一个 两位数，它的十位上的数字是，个位上的数字是 . （1）写出这个两位数. 解：这个两位数是 . 11 （2）若把这个两位数的十位数字与个位数字对换，得到一个新的两位数， 这两个两位数的和能被11整除吗？为什么？ 12 这两个两位数的和能被11整除.理由如下： 由题意，得原来的两位数为，对调后的两位数为 ， 因为 . 因为，是整数，所以 也是整数， 所以 是11的倍数， 所以这两个两位数的和能被11整除． 13 判断一个多项式能否被一个数整除的方法 判断一个多项式能否被一个数整除,关键是看这个多项式能否化为这 个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 14 知识点2 整式的加减的应用 9.[2024沧州期末]七年级一班有名男生和 名女生，则男生 比女生少_________人. 【解析】 由题意，得 ，即男生比女生少 人. 15 10.[2024绍兴期末]如图，某长方形花园的长为，宽为 . 现根据实际需要对该花园进行整改，长方形花园的长增加 ，宽增 加，则整改后该花园的周长为__________ . 【解析】 整改后的花园周长为 . 16 2.4 整式的加减 课时5 整式的加减 过能力 学科关键能力构建 17 11.教材P115习题T13变式[2024烟台期末]若，都是五次多项式，则 与 的和一定是( ) D A.五次多项式 B.十次多项式 C.单项式 D.不高于五次的整式 18 第12题图 12.[2024武汉汉阳区期末]把四张形状大小完全相同的 小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方 形（长为，宽为 ）的盒子底部（如图2）， 盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图2中两 块阴影部分的周长和是( ) B A. B. C. D. 19 【解析】 解题思路：本题需先设小长方形卡片的长为，宽为 ，再结合 图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答 案． 设小长方形卡片的长为，宽为，所以 ， ，所以 ，又因为 ，所以 ． 20 13.计算： __________. 【解析】 . 21 第14题图 14.[2024上海崇明区期末]将9个代数式填入九宫格 的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以 及两条对角线上的3个代数式的和都相等.已知九 宫格中的部分代数式如图所示，则 ___________.（用含有 的代数式表示） 22 【解析】 设最中间的代数式为 ，由题意可得， ，所以 ，所以第一列中间的代数式为 ，因为第一列 的三个代数式之和等于第三行的三个代数式之和，所以 ，化简，得 . 23 15.[2024吉安期末]嘉淇准备完成题目： 发现系数“ ”印刷不清楚. （1）他把“ ”猜成3，请你化简： . 解： . 24 （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计 算说明原题中“ ”是几. 设“ ”是 ,则原式 , 因为标准答案的结果是常数,所以,解得 . 16.[2024遂宁期末]为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用 价格调控手段以达到节水的目的.下表是该市自来水收费价目表 （注：水费按月结算）. 每月用水量 单价 不超出 的部分 2元 / 超出但不超出 的部分 4元 / 超出 的部分 8元 / （1）若某户居民2月份用水 ，则应收水费___元. 8 26 （2）若该户居民3月份用水（其中 ），则应收水费 __________元.（用含 的整式表示并化简） 【解析】 根据题意，得应收水费 元. （3）若该户居民4，5月份共用水月份用水量超过了4月份 ，设4 月份用水，求该户居民4，5月份共交水费多少元.（用含 的整式表示 并化简） 28 解：由5月份用水量超过了4月份，得4月份用水量少于 . 当 4月份用水量少于时，5月份用水量超过 ， 则4，5月份共交水费为 元； 当4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于 ， 但不超过 ， 则4，5月份交的水费为 元； 29 当4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过 ， 但少于 ， 则4，5月份交的水费为 （元）． 素养提升 17.运算能力[2024信阳期末]定义：若，则称与 是关于2的平衡数. （1）3与____是关于2的平衡数， 与______是关于2的平衡数. 【解析】 因为,所以3与 是关于2的平衡数.因为 ,所以与 是关于2的平衡数. 31 （2）若，，判断与 是不是 关于2的平衡数，并说明理由. 解：与 是关于2的平衡数.理由如下： 因为, , 所以 , 所以与 是关于2的平衡数. 32 （3）若，，且与是关于2的平衡数， 为正整数， 求非负整数 的值. 因为,,且与 是关于2的平衡数, 所以 , 所以,所以 . 因为为正整数, 为非负整数, 所以当时,,得 , 当时,,得 , 当时,,得 , 所以非负整数 的值为0或1或3. 33 一题练透 整式的加减运算 已知,，为常数 . ［问题1］ 求 ； 解： . ［问题2］ 若的结果不含三次项，求 的值； 因为 的结果不含三次项, 所以,所以 . 34 ［问题3］ 若的值与的值无关，求 的值； 因为的值与 的值无关, 所以且,所以, ， 所以 . ［问题4］ 若,且，求 的值. 因为, , 所以 . 因为,所以, , 所以原式 . 35 整式加减中“无关”类问题的求解方法 在整式加减运算的过程中，若结果与 的取值无关，就是指合并同类 项后不含字母，即含有字母 的项的系数都为0.有时这一问题也会以“某 条件多余”“抄错了 的值，但结果仍正确”等形式出现. 36 课标新增 整式中的代数推理 1.[2024泰州期中]已知， . （1）当，时，求 的值； 解： ， 当， 时， 原式 . 37 （2）试判断， 的大小关系，并说明理由. .理由如下： ， 因为，所以，所以 ． 38 2.[2023保定模拟]定义：对于一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百 位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”.例如， 三位正整数234，因为 ，所以234是“半和数”. （1）判断147是否为“半和数”，并说明理由. 解：147是“半和数”.理由如下： 因为147的百位数字为1，十位数字为4，个位数字为7，且 ，所以 147是“半和数”. 39 （2）小林列举了几个“半和数”：111，123，234，840， ，并且她发 现：，，，， ， 所以她猜测任意一个“半和数”都能被3整除.小林的猜想正确吗？若正确， 请你帮小林说明该猜想的正确性；若不正确，说明理由. 40 小林的猜想正确．理由如下： 设一个“半和数”的百位数字为，个位数字为，均为整数，且 不 为0 ， 则这个“半和数”用含， 的代数式表示为 ， 因为，均为整数，所以 为整数， 所以 是3的倍数， 所以任意一个“半和数”都能被3整除． 故小林的猜想正确． 41 $$数学活动 居民身份证号码与学籍号 1 1.[2024南京鼓楼区期中]若2021年入学的3班5号女生学号为202103052，20 22年入学的13班12号男生学号为202213121，则学号202311232表示______ __________________________. 2023年入学的11班23号女生的学号 2 2.[2023绍兴期中]身份证号码告诉我们很多信息，某人的身份证号码是1305 03196704010012，其中13,05,03是此人所属的省（自治区、直辖市）、市、 县（区）的编码，1967,04,01是此人出生的年、月、日，001是顺序码，2为 校验码，那么身份证号码是321084198101208022的人的生日是__________. 1月20日 3 3.[2023天津东丽区期末]我国现行的二代身份证号码是18位数字，由前17 位数字本体码和最后1位校验码组成.校验码通过前17位数字根据一定规则 计算得出，如果校验码不符合这个规则，那么该号码肯定是假号码.现将 前17位数字本体码记为，其中表示第 位 置上的身份证号码数字值，按下表中的规定分别给出每个位置上的一个对 应的值 . 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 10 5 8 4 2 1 6 1 2 0 1 0 2 2 0 0 10 11 12 13 14 15 16 17 3 7 9 10 5 8 4 2 0 1 1 2 4 1 2 2 现以号码为例，先将该号码 的前17位数字本 体码填入表中（如上表已填好），依照以下操作步骤计算相应的校验码进 行校验： 5 （1）对前17位数字本体码，按下列方式求和，并将和记为 .现经计算，已得出 ，继续求得 _____. 118 【解析】 根据求和规律可得到， ， ，，从而得到 . 6 （2）计算，所得的余数记为，那么 ___. 8 【解析】 . 7 （3）查阅下表得到对应的校验码（其中 为罗马数字，用来代替10）,将 你通过查表所得到的校验码与号码 中的最后一位进行对比，由此判断号 码 是____（填“真”或“假”）身份证号. 值 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 校验码 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 假 【解析】 查表，得所得到的校验码为4，再与原身份证的最后一位是3比 较，判断号码 是假身份证号． 8 素养提升 4.应用意识[2024深圳南山区期末]如图1，商品条形码是商品的“身份证”， 共有13位数字.它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代 码、厂商代码、产品代码、校验码”.其中，校验码是用来校验商品条形码 中前12位数字代码的正确性.它的编制是按照特定的算法得来的.其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和 ，即 ； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和 ，即 ； 9 步骤3：计算与的和，即 ； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即 ； 步骤5：计算与的差就是校验码，即 . 如图2，若条形码中被污染的两个数字的和是5，则被污染的两个数字中右 边的数字是___. 4 11 【解析】 设被污染的两个数字从左到右分别是，，则 .由题 意，得 ， ， ，因为，所以 ，所以 ，因为 为10的整数倍，所以 ，所以，所以 . 12 $$