1.1.1集合及其表示方法（同步课件）数学人教B版2019必修第一册

《人教B版2019高中数学必修第一册》 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法 1.了解集合的含义与特性，掌握集合的区间及其表示，体会元素与集合的关系.（重点） 2.掌握常用数集及集合的列举法和描述法，并能够用其解决有关问题.（难点） 学习目标 新知探究1——集合 在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类．例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的（如图 所示 ），作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类 ...... 你能说出数学中其他分类实例吗 ？试着分析为什么要进行分类． 【新知生成】在数学中 ，我们经常用 “集合 ”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的 、不同的对象汇集在一起 ，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素． 构建新知 1.集合的概念： （1）元素：一般地，我们把___________统称为元素.元素通常用小写拉丁字母 ， ， ，表示. （2）集合：把一些元素组成的_______叫作集合（简称为_____）.集合通常用大写拉丁字母 ， ， 表示. 研究对象 总体 集 （3）元素与集合的关系：如果 是集合 中的元素，就说 _______集合 ，记作 ;如果 不是集合 中的元素，就说 _________集合 ，记作________. 属于 不属于 <m></m> 例1：如果A是由所有小于１０ 的自然数组成的集合 ， 则０ A，0.5 A. 典例精讲 ∈ ∉ 例2：如果 B是由方程X２ ＝１ 的所有解组成的集合 ，则-1 B，0 B，3 B. ∈ ∉ ∉ 例3：如果 C是平面上与定点O的距离等于定长r(r＞０） 的点组成的集合 ， 则对于以 O为圆心 、r为半径的圆O上的每个点P来说 ， 都有P C． ∈ 构建新知 （4）空集：一般地， 我们把不含任何元素的集合称为 空集 ，记作∅  思考：方程x＋１＝x＋２的所有解组成的集合里面的元素是什么？ 由于该方程无解 ，因此这个集合不含有任何元素 确定性：集合的元素必须是确定的； 互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的； 无序性：集合中的元素可以任意排列. （5）集合中元素的三个特性： （6）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. （7）集合分类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集 空集可以看成包含０个元素的集合 ， 所以空集是有限集 ． 典例精讲 例4：（多选题）下列各组对象能组成集合的是( ). A.2022年北京冬奥会的5个冰上项目和10个雪上项目 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数 y=x 图象上所有的点 【解析】选项A，C，D 中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有明确标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合. 温馨提示：三个特性是用于判断集合的关键. 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ____ ___________ ____ ____ ____ <m></m> <m></m> 或 <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 新知探究2——常用数集 有一些数的集合经常要用到，为了方便起见，人们用约定俗成的符号来表示它们. 【自然数集】 全体自然数组成的集合，包括0，1，2…等，记作N，也叫非负整数集 【正整数集】 全体正整数组成的集合，记作N*或N+； 【整数集】 全体整数组成的集合，记作Z； 【有理数集】 全体有理数组成的集合，记作Q； 【实数集】 全体实数组成的集合，记作R； 注意写法 例5 下列五个关系中，正确的个数为( @39@ ). ① ；② ；③ ；④ ；⑤ . A. B. C. D. C [解析] 由于 ， ， 是无理数，故①②⑤正确，因为 是无理数， 是自然数，所以③④错误.故选C. 典例精讲 新知探究3——列举法 问题1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？ 问题2：方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何表示呢？ 问题3：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的特点吗？ 【解析】（1）可以这样表示： {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}. （2）该集合表示为 {-1,-2} 构建新知 3.列举法： 把集合中的元素一一列举出来 （相邻元素之间用逗号分隔 ）， 并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 特点是_____________________________. 适用于元素的个数较少的集合 注意：列举法表示集合时的 4 个关注点： (1) 元素与元素之间必须用“，”隔开；(2) 集合中的元素必须是明确的；(3) 集合中的元素不能重复； (4) 集合中的元素可以是任何事物. 新知探究4——描述法 思考：以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以怎样表示？ （1）满足 x＞3的所有实数组成的集合A； （2）所有有理数组成的集合Q. 【解析】（1）不等式 x＞3的解集是有无数个元素，所以不能用列举法表示.所以可以把集合A表示为 A={x丨x是大于3的实数}或A={x丨x＞3} （2）Q中的每一个元素都具有性质“是两个整数的商”，所以可以把Q表示为 Q={x丨x是两个整数的商}或A={x丨x=，m∈Z，n∈Z，n≠0} 构建新知 4.描述法： 一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质P（x）,而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质P（x）称为集合A的一个特征性质.此时，集合A可以用它的特征性质P(x)表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为特征性质描述法，简称为描述法． 描述法表示集合的写法： 在特征性质大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 注意：描述法表示集合时的3 个关注点(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母. 例6 用描述表示以下集合： （1）所有平行四边形组成的集合 （2）所有能被 ３ 整除的整数组成的集合 （3）所有被 ３ 除余 １ 的自然数组成的集合 典例精讲 【解析】（1）{x丨x是一组对边平行且相等的四边形} （2）{x丨x=3n，n∈Z} （3）{x丨x=3n+1，n∈N}，这一集合通常也可以表示为 【归纳】集合｛x｜p（x）｝中所有在另一个集合I中的元素组成的集合 ，可以表示为 ｛x∈I｜p（x）｝ {x∈N丨x=3n+1，n∈N} 1.用适当的方法表示下列集合 （1）方程x(x-1)=0的所有解组成的集合A； （2）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B. 小试牛刀 【解析】（1）因为0,1是方程x(x-1)=0的解，而且这个方程只有两个解，所以 A={0,1} （2）因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此 B={(x,y)丨x＞0,y＞0} 【提示】先判断A 与B 是有限集还是无限集 ， 由此思考该选用哪种表示方法. 新知探究5——区间及其表示 习惯上 ，如果a＜b，则集合｛｜a≤x≤b｝可简写为 ［a，b］，并称为闭区间 ． 例如，集合｛x｜1≤x≤2｝可简写为闭区间［1，2］． 类似地 ， 如果a＜b： 集合｛x｜a＜x＜b｝可以简写为（a,b）并称为开区间； 集合｛x｜a≤x＜b｝可以简写为［a,b），集合｛x｜a＜x≤b｝可以简写为（a,b］，并都称为 半开半闭区间 ． 上述区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的长度．区间可以用数轴形象地表示． 例如，区间［－2，1）可用图1-1-2表示，注意图中－2处的点是实心点，而1处的点是空心点. 新知探究5——区间及其表示 如果用”+∞“表示”正无穷大，用”-∞“表示”负无穷大“则： 实数集R可以表示为区间（-∞，+∞）； 集合｛x｜x≥a｝可以表示为区间 ； 集合｛x｜x＞a｝可以表示为区间 ； 集合｛x｜x≤a｝可以表示为区间 ； 集合｛x｜x＜a｝可以表示为区间 . 类似地，上述区间也可以用数轴来形象地表示． 例如，区间［7，+∞）可以用图1-1-3表示 ［a，+∞） （a，+∞） （-∞，a］ （-∞，a） 2.用区间表示不等式 2x - ＞x的所有解组成的集合A. 小试牛刀 【解析】由 2x - ＞x可知x＞ 课堂练习A ∈ ∉ ∉ ∈ ∉ ∈ 【答案】（1）是无限集；（2）（3）是有限集 课堂练习A {指南针，火药，造纸术，印刷术} {3,5,7,11,13} {-} {x丨x＜1500且x=2n，n∈N+} {x丨x是矩形} （1）［-1，3］ （4）（0，2） （2）（0，1］ （5）（-∞，3） （3）［2，5） （6）［2，+∞） 课堂练习B ∈ ∉ ∉ ∉ {m,a,t,h,e,i,c,s} {(x,y)丨x+2y=7} ∅ ［2，3］ 【解析】由题意知，x-2=-3或x+5=-3，因此x=-1或x=-8 感 谢 $$