15.3　分式方程　讲义　　　2024—2025学年人教版数学八年级上册

第八讲：分式方程 分式知识梳理： 分式的定义： 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．对分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零． 分式基本性质： 分式的基本性质是：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示是： （） 约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分．约分的依据是分式的基本性质． 通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式叫通分。通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母。最简公分母由下面的方法确定：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积。 分式的乘除： 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．用式子表示为： 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为： 分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方．用式子表示为：= 解分式方程： 1. 分式方程的概念：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 如何解分式方程 （1）解分式方程的基本思想;“转化”的数学思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。 （2）解分式方程的步骤： ①转化：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； ②解这个整式方程； ③检验：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。 （3）“增根”是怎样产生的？ 把分式方程“转化”为整式方程时，需要用最简公分母乘方程的两边，如果所得的解恰好使最简公分母为零，那么这个根就是“增根”。 （4）无解的情况讨论： 在分式方程中的无解情况有两种，需分类讨论：①分式方程化为整式方程后，整式方程无解；②整式方程求出的解为分式方程的增根。 基础例题讲解： 例1、约分：（1）， （2） ， （3）. 例2、通分： （1）， （2）. 例3、已知, 求的值. 例4、有四块小场地：一块边长为a米的正方形，一块边长为b米的正方形，两块长a为米，宽为b米的长方形．另有一块大长方形场地，它的面积等于上面四块场地面积的和，它的长为2（a+b）米，试用最简单的式子表示出大长方形场地的周长． 例5、 计算：（1） ， （2）. 例6、 先化简,再求值 ,其中. 例7、解下列分式方程 （1）； （2）； （3）. 例8、若关于的分式方程有增根，求的值. 例9、“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田的边长为（-1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了m千克． （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 例10、两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？ 例11、要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，恰好在规定的日期内完成，如果乙单独做， 则要超过规定如期3天才能完成，现甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成，问规定的日期是多少天？ 提升例题讲解： 例1、小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程（　　） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 例2、若分式方程的解是正数，求的取值范围. 例3、已知关于的分式方程无解，试求的值. 例4、已知a,b,x,y是有理数，且，求式子 的值. 例5、甲、乙两人分别从相距S（km）的两地同时出发，若同向而行，经过（h）甲追上乙；若相向而行，经过(h)甲、乙两人相遇，设甲的速度为,乙的速度为（其中，单位是km/h），那么等于多少？（用，的式子表示，并说明理由） 例6、已知，求的值． 例7、某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度时原计划的1.5倍，这样提前2填超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个； （2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （3）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且120＜a＜136，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 学科网（北京）股份有限公司 $$