第六讲、因式分解　讲义　　　2024—2025学年人教版数学八年级上册

第六讲：因式分解 因式分解知识梳理： 分解因式的概念：把一个多项式 →几个整式的积。如：ma+mb+mc=m（a+b+c） 下列各式的变形中,是因式分解的有： （1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2 （2）6x2y3=3xy·2xy2 （3）x4－1=（ x2－1）（x2+1） （4）（x－2）（x+2）=x2－4 （5）4ab+2ac=2a（2b+c） （6）a2－b2=（a+b）（a－b） 注：必须分解到每个多项式因式不能再分解为止 分解因式的方法： 1、提公因式法：公因式的系数、字母、指数有何要求。 例1：把下列各式分解因式 ① 6x3y2－9x2y3+3x2y2 ②－9a+18a2－27a3 ③p（y-x）-q（x-y） ④ 6(x-y)-12(y-x)2 2、运用公式法： ① a2－b2＝（a＋b）（a－b）[ 平方差公式 ] ② a2 ±2ab＋ b2 ＝（a±b）2 [ 完全平方公式 ] 例2：把下列各式分解因式 ①－9y2 +x2 ② 9（x+y）2－(x－y) 2 ③ 3、分组分解法. （1）分组后能直接提公因式 例3、分解因式： （2）分组后能直接运用公式 例4、分解因式： 3、分组分解法的步骤； · 一提：① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。 · 二套：② 对于二项式，考虑用平方差公式分解。对于三项式，考虑用完全平方公式分解。 · 三查：③检查：特别看看多项式因式是否分解彻底 分组分解法与公式法中的思想方法的提炼; (1)直接用公式 1） 25-16x2 2）x2+14x+49 3）(x+y)2-6(x+y)+9 （2）提公因式后用公式 7x2-63 （3）连续用公式 (a2+4)2 -16a2 （4）整体用公式 (2x+y)2 -(x+2y)2 （5） 化简后用公式 1)（a＋b）2－4ab 2) x2++ 3) (x+1)(x+5）+4 (6)变换成公式的模型用公式 1） 2） (x-y)2 - 6x +6y+9 3）x2 -2xy+y2+(-2x+2y)+1 【常见错误】 1．概念不辨，错误出现： 错解：． 2．公式不清，错误入侵： 错解：（1）； （2）． 3．提公因式后，“1”被遗弃： 错解：． 4．混淆变形，无中生有： 错解：． 5．画蛇添足，背道而驰： 错解： 【十字相乘法】 （一）二次项系数为1的齐次多项式 直接利用公式——进行分解。 例1、分解因式： 练习1、分解因式 (1) (2) (3) 例2、分解因式： 分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= = 练习3、分解因式 (1) (2) (3) （二）二次项系数不为1的齐次多项式 条件：（1） （2） （3） 分解结果：= 例1、分解因式： 分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：= 练习1、分解因式：（1） （2） （3） （4） 例2、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式= 练习4、分解因式：（1） （2） 例5 阅读下面学习材料： 已知多项式2x3-x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b）， 则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得：{2a+1=-1a+2b=0b=m，解得{a=-1b=0.5m=0.5，所以m=0.5 解法二：设2x3-x2+m=A（2x+1）（A为整式）．由于上式为恒等式，为了方便计算，取x=-0.5， 得2×（-0.5）3-0.52+m=0，解得m=0.5 根据上面学习材料，解答下面问题： 已知多项式x4+mx3+nx-16有因式x-1和x-2，试用两种方法求m、n的值． 解法1： 解法2： 因式分解中的特殊方法讲解： 换元法 例1、 分解因式 （1） 解：原式= （2） 原式= 变式练习1： 分解因式（1） （2）（2x2+5x+3）（2x2+5x+2）-90 添项、拆项、配方法 例2、分解因式（1） 解法1——拆项。 解法2——添项。 原式= 原式= （2） 变式练习2：分解因式 （1） （2）x4+2x3+2x2+2x+1 学科网（北京）股份有限公司 $$