10.1 分式（分层作业，9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十章 分式 10.1 分式（9大题型提分练） 知识点1：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 题型一 分式的判断 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）下列各式中：，，，，，分式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）下列各式：，，，，，0中，是分式的有 ，是单项式的有 ． 4．（22-23八年级上·黑龙江绥化·期末）式子①，②，③，④，是分式的有 ． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，，，，，． 题型二 分式的规律性问题 1．（2023·云南曲靖·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·湖南长沙·期中）一列数，，，…，其中，（为不小于的整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·云南文山·期末）观察分式：，，，……，以此类推，第6项是 ． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）观察下列分式：按此规律第10个分式是 ． 5．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）观察一组算式： ，，，， (1)求出前四个算式的值①____________②____________③____________④____________； (2)第10个算式有____________项，它的值是____________， (3)第n个算式是____________． 题型三 按要求构造分式 1．（21-22七年级下·广西贺州·期末）春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）甲、乙两地相距千米，高速列车原计划每小时行驶千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 3．（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）小玉要打一份字的文件，第一天她打字小时，打字速度为字/分．第二天她打字速度比第一天快了字/分，两天打完全部文件，用含的式子表示第二天打字用的时间为 分. 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少 元． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）给出6个整式：，，，2，，． (1)从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式； (2)从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行加法运算，并将运算结果进行因式分解． 题型四 分式有意义的条件 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）分式 有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若分式有意义，则实数x的取值范围为 ． 4．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x满足什么条件时，下列分式有意义？ (1)； (2)． 题型五 分式无意义的条件 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）要使分式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知时，分式无意义，则 ． 5．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知分式． (1)当为何值时，该分式无意义； (2)当为何整数值时，该分式的值为正整数． 题型六 分式值为零的条件 1．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）分式的值等于零，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为0，则x的值是 ． 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）若分式的值为零，则 ． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 题型七 分式的求值 1．（2024·河北张家口·三模）若与互为相反数，且，均不为0，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．不确定 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末），则代数式的值为 ． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，则的值为 ． 5．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，求分式的值． 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 3．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 4．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若的值为非负数，则的取值范围是 ． 5．（23-24八年级上·湖北·周测）（1）已知，求与的值． （2）当的取值范围是多少时？ ①分式有意义； ②分式值为负数． 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 1．（2024七年级·全国·竞赛）若为整数，则整数可取的值有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 2．（2023八年级下·全国·专题练习）若使分式的值为正整数，则符合条件的整数x的值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知值为正整数，则整数值为 ． 4．（21-22八年级上·河北廊坊·期末）①若成立，则的取值范围是 ． ②若分式的值为0，则 ． ③已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 1．（23-24七年级下·浙江·期末）已知对任意实数x，分式都有意义，则实数k的值可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若分式的值为，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24八年级下·河北张家口·期中）分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 6．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 7．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知不论为何实数，分式总有意义，试求的取值范围是 ． 8．（2024·上海·模拟预测）已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0： 9．（2024八年级下·全国·专题练习）若，则 ． 10．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的不等式的解集为，且分式的值为整数，则满足上述条件的整数m的值是 ． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 12．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 13．（23-24八年级下·陕西西安·期中）分式的定义告诉我们：一般地，用A、B表示两个整式，可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式．我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负．请运用这些知识解决下列问题： (1)如果，求x的取值范围； (2)如果，求x的取值范围． 14．（23-24七年级下·河南周口·期末）阅读下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则，若，，则． 请解答下列问题： (1)①若，则或________； ②若，则________或________； (2)根据上述规律，求解分式不等式的解集． 15．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 分式 10.1 分式（9大题型提分练） 知识点1：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 题型一 分式的判断 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，根据分式的定义进行逐一判断即可：对于两个整式、，其中中含有字母，那么形如的式子叫做分式． 【详解】解：代数式，，，，，中属于分式的有，，共3个， 故选：B． 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）下列各式中：，，，，，分式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义：分母含有未知数的式子即为分式，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：，，是分式 ∴分式的个数是3个； 故选：C 3．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）下列各式：，，，，，0中，是分式的有 ，是单项式的有 ． 【答案】 ， ，，0 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，分母有字母，故是分式． 单项式有，，0． 故答案为：，；，，0． 【点睛】本题考查分式的定义，单项式的识别，解题的关键注意区分是否为分式不应化简，π是常数，不是字母． 4．（22-23八年级上·黑龙江绥化·期末）式子①，②，③，④，是分式的有 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据分式的定义对选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①是分式，②是整式，③是分式，④是整式， 分式有①③， 故答案为①③． 【点睛】本题考查了分式的定义，解题关键是掌握分式和整式的区别，分母中含有未知数的为分式． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，，，，，． 【答案】整式：，，，，，，；分式：，，， 【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：整式有：，，，，，，； 分式有：，，，． 题型二 分式的规律性问题 1．（2023·云南曲靖·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案. 【详解】解：∵，，，，…… ∴第个代数式为：， 当是，第9个代数式为：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键. 2．（22-23九年级下·湖南长沙·期中）一列数，，，…，其中，（为不小于的整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，代入计算，根据分式的混合运算即可求解． 【详解】解：，（为不小于的整数）， ∴，，，， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的运算，掌握代入求值，分式的运算法则是解题的关键． 3．（22-23八年级下·云南文山·期末）观察分式：，，，……，以此类推，第6项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的符号、分子以及分母变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键．根据分式式的符号、分母以及分子的变化得出一般性规律得出第6个分式即可． 【详解】解：观察分式：，，，，……， 第一个分式：； 第二个分式：； 第三个分式：； 第四个分式：； ……； 第n个分式：； 故第6个分式是． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）观察下列分式：按此规律第10个分式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第10个分式为， 故答案为：． 5．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）观察一组算式： ，，，， (1)求出前四个算式的值①____________②____________③____________④____________； (2)第10个算式有____________项，它的值是____________， (3)第n个算式是____________． 【答案】(1)，，， (2)21,11 (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的计算，分式， （1）根据已知的式子计算，并找到规律，即可作答； （2）根据已知的式子，找到项数的规律即可作答； （3）按照已知的式子来书写即可作答． 【详解】（1）第1个式子，， 第2个式子，， 第3个式子，， 第4个式子，， 依次类推可知：第n个式子，和为； 故答案为：，，，． （2）第1个式子，项， 第2个式子，项， 第3个式子，项， 依次类推：第n个式子，项， 当时，项， 即：第10个式子有21项，根据（1）的结论可知：其和为11， 故答案为：21,11； （3）根据规律可知：第n个算式是， 故答案为：． 题型三 按要求构造分式 1．（21-22七年级下·广西贺州·期末）春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的天数，再求出实际用的天数，作差即可． 【详解】解：由题意得，原计划用的天数为天，实际用的天数为天， 这些消毒液提前天用完． 故选：C． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）甲、乙两地相距千米，高速列车原计划每小时行驶千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，找已知量，确定数量关系，列方程是解题关键． 【详解】解：甲、乙两地相距千米，原计划每小时行驶千米， 原计划所需时间为：小时， 实际每小时降速千米， 实际每小时行驶千米， 实际所需时间为：小时， 列车从甲地到乙地所需时间比原来增加：小时． 故选：C． 3．（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）小玉要打一份字的文件，第一天她打字小时，打字速度为字/分．第二天她打字速度比第一天快了字/分，两天打完全部文件，用含的式子表示第二天打字用的时间为 分. 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，求出第二天打字的数为，第二天打字速度为即可求得打字的时间． 【详解】小时分钟 由题意得：第一天打字的个数为个， 第二天打字用的时间为分钟 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少 元． 【答案】 【分析】本题考查列分式，根据题意列出代数式可求得结果，准确理解题意是解题的关键． 【详解】解：计划平均每人需分摊的车费是：元， 当增加了两人时，实际平均每人需分摊的车费是：元， 则实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少：元， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）给出6个整式：，，，2，，． (1)从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式； (2)从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行加法运算，并将运算结果进行因式分解． 【答案】(1)等，答案不唯一 (2)，答案不唯一 【分析】（1）根据分式的概念求解即可； （2）首先根据整式的加法运算法则计算，然后利用因式分解的方法求解即可． 【详解】（1）分式有：等，答案不唯一； （2） ，答案不唯一 【点睛】此题主要考查了分式的定义，整式的加减运算，因式分解，正确把握分式的定义，整式的加减运算和因式分解的方法是解题关键．判断分式的依据是看分母中是否含有未知数，如果含有未知数则是分式，如果不含有未知数则不是分式． 题型四 分式有意义的条件 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义即可得出，从而得出结果． 【详解】解：分式有意义， ， ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）分式 有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零成为解题的关键． 根据分式有意义的条件列出关于x的不等式求解即可． 【详解】∵分式 有意义， ∴，解得． 故选：B． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若分式有意义，则实数x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，明确当分母不为0时分式有意义是解答本题的关键．根据分式有意义时分母不为0，列式计算即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 4．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x满足什么条件时，下列分式有意义？ (1)； (2)． 【答案】(1)x为任意实数 (2)且 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0． （1）根据分母不为0可得x的取值范围； （2）根据分母不为0可得x的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴x为任意实数． （2）解：， 解得且． 题型五 分式无意义的条件 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）要使分式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件：分母等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ． 故选：A． 2．（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为0的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为0可得，求出a，b的值，再把a，b的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， 解得：， 当时，分式的值为0， 即， 解得：， ∴， 故选：D． 3．（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式无意义，分母等于0分别列方程求解即可． 【详解】∵当时，分式无意义， ∴当时，， 代入得，解得， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知时，分式无意义，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式意义的条件，关键在于通过分式无意义算出a的值． 当分式无意义时分母为0，据此可求出a的值． 【详解】解：∵分式无意义， ∴，此时， 即： 解得：． 故答案为：2． 5．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知分式． (1)当为何值时，该分式无意义； (2)当为何整数值时，该分式的值为正整数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据分母等于零，分式无意义可得，求出m的值即可，熟练掌握分式有无意义的条件是解题的关键； （2）根据题意分别令或，求解即可，利用分母是分子的正约数求解是解题的关键． 【详解】（1）解：该分式无意义， ， 解得， 即当时，该分式无意义． （2）解：该分式的值为正整数，且也为整数， 或， 解得或， 即当或时，该分式的值为正整数． 题型六 分式值为零的条件 1．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为0的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为0可得，求出a，b的值，再把a，b的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， 解得：， 当时，分式的值为0， 即， 解得：， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）分式的值等于零，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查分式的运算求解等相关知识，根据分式值为零求出值之后一定要记得检验才能得出正确答案． 根据分式值为零的条件，列出方程，求解，利用分式有意义检验即可得出答案． 【详解】解：根据分式值为零及分式有意义，可得： 解得：． 故选：B． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为0，则x的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．据此求解即可． 【详解】解∶∵分式的值为0， ∴且， ∴， 故答案为∶3． 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，解方程和不等式等知识点，利用分式值为零的条件得到且，然后解方程和不等式即可，熟练掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解决此题的关键． 【详解】根据题意得且， 解得， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 题型七 分式的求值 1．（2024·河北张家口·三模）若与互为相反数，且，均不为0，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查分式的求值，根据相反数的定义得到，将分式化简后，进行计算即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值．熟练掌握分式的求值是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：B． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末），则代数式的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了代数式求值，根据已知将代入式子求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：7． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式的求值，掌握相关知识是解题关键． 将方程两边同时除以字母x即可求解． 【详解】解：将方程两边同时除以字母x得：， ． 故答案为：3． 5．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，再把代入所求式子中约分化简即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 3．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 4．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若的值为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据题意，列出不等式组，即可求解， 本题考查了，解一元一次不等式组，解题的关键是：根据题意列出不等式组． 【详解】解：根据题意得：或， 解得：或， 故答案为：或． 5．（23-24八年级上·湖北·周测）（1）已知，求与的值． （2）当的取值范围是多少时？ ①分式有意义； ②分式值为负数． 【答案】（1）13，6  （2）① ② 【分析】本题考查完全平方公式的变形和分式有意义条件以及分式值的符号的确定，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据完全平方公式的变形进行计算即可； （2）①分式有意义的条件是分母不为0，进行计算即可得到答案；②分式值是负数的条件是分子分母异号，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， （2）①∵分式有意义 ∴， 解得：； ②∵值为负数，， ∴， 解得：． 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 1．（2024七年级·全国·竞赛）若为整数，则整数可取的值有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】本题考查了分式为整数时求未知数的整数值，熟练掌握整数的性质，找到使分式为整数时的所有可能情况，是解答本题的关键． 根据题意，得到可取的值有：，，，，共八种情况，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得：，为整数， 可取的值有：，，，，共八种情况， 整数可取的值有个， 故选：． 2．（2023八年级下·全国·专题练习）若使分式的值为正整数，则符合条件的整数x的值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的值为正整数的条件，熟练的利用值为正整数建立方程求解是关键，本题可建立方程为或．再解方程可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正整数， ∴的可能值为1或5． ∴或． ∴或． ∴符合条件的整数x的值共有2个． 故选：B． 3．（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知值为正整数，则整数值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了分式的值，正整数的定义，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键； 根据题意列出关于m的方程，求出方程的解即可 【详解】解：值为正整数， 或， 解得：或， 故答案为：1或 4．（21-22八年级上·河北廊坊·期末）①若成立，则的取值范围是 ． ②若分式的值为0，则 ． ③已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 5 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，以及分式值为零的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． ①根据分式有意义的条件求解即可； ②根据分式为零的条件求解即可； ③首先将化简为，然后根据题意求出或或或，然后由分式有意义得到，求出a所有可能的值，然后求和即可． 【详解】①∵成立， ∴ ∴， 故答案为：； ②∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：； ③ ∵分式的值是整数， ∴或或或 ∴或或或 ∵ ∴ ∴或或 ∴ ∴满足条件的所有整数的和为5， 故答案为：5． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)，，，． 【分析】本题考查了分式和新定义，解题的关键是正确理解新定义和分式的运算． （1）根据题中阅读材料中的真假分式定义即可判断； （2）根据题中阅读材料中的方法把假分式化为带分式即可； （3）把假分式化为带分式，然后根据的值为整数即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真． （2）解：∵， 故答案为：． （3）解：， ∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，， ∴的值为：，，，． 故答案为：，，，． 1．（23-24七年级下·浙江·期末）已知对任意实数x，分式都有意义，则实数k的值可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，分式有意义的条件，解一元一次不等式； 先利用完全平方公式对分式的分母进行变形，然后根据分式有意义分母不为0得出关于k的不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：， ∵对任意实数x，分式都有意义， ∴， ∴， 则实数k的值可以是10， 故选：D． 2．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若分式的值为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得:， 故选：． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 4．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，先根据分式的加减运算法则将原式化简为，结合题意得出或或，求解即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵为整数，且为正整数， ∴或或， 解得：或或， ∴则满足条件的的值有个， 故选：C． 5．（23-24八年级下·河北张家口·期中）分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的有意义的条件、分数值为零的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零． 根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果． 【详解】当时， ， 即， 解得： ， 当，时，分式的值为零 故选：D． 6．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 7．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知不论为何实数，分式总有意义，试求的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，完全平方公式．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，由，可知当，始终为正数，分式总有意义，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴当，即，始终为正数，分式总有意义， 故答案为：． 8．（2024·上海·模拟预测）已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0： 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件及分式不为零的条件，由有意义时，即可得到答案，熟记分式有意义的条件及分式不为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：有意义， ，即， 解得，且， ，则是一个含的二次分式，当它有意义时，可能大于0，可能小于0，不可能等于0， 故答案为：． 9．（2024八年级下·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求解，分两种情况进行计算即可，熟练掌握知识点的应用及利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【详解】解：若，则0． 若，则每项都除以得，每项都除以得， ∴， 则， ∴的值为或， 故答案为：或． 10．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的不等式的解集为，且分式的值为整数，则满足上述条件的整数m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的值．熟练掌握解一元一次不等式，分式的值是解题的关键． 由题意可得，，即，然后根据分式的值为整数，确定整数m的值，进而可得满足条件的整数m的值． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， ， ∴， 解得，， ∵分式的值为整数， ∴整数的值为，，0，1， 又∵， ∴满足条件的整数m的值为， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是分式的值为正数或负数时，字母的取值范围，一元一次不等式组的应用，理解题意是关键； （1）由分式的值为负数可得，再解不等式即可； （2）由分式的值为正数可得或，再解不等式组即可； （3）结合（2）的结论可得分式的值为负数时的范围． 【详解】（1）解：，， ， ， 时，分式值为负数． （2）∵分式的值为正数， ∴或， 当时， 解得：， 当时， 不等式组无解， 综上：当时；分式的值为正数， （3）∵由（2）得：当时；分式的值为正数， ∴分式的值为负数时，则或； 12．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)整数的值为0，1，3 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． （1）根据使得分式无意义，时分式的值为0，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【详解】（1）解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为0，1，3． 13．（23-24八年级下·陕西西安·期中）分式的定义告诉我们：一般地，用A、B表示两个整式，可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式．我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负．请运用这些知识解决下列问题： (1)如果，求x的取值范围； (2)如果，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组，运用转化思想是解决本题的关键． （1）由，将转化为解即可； （2）由，将其转化为或，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴时，， 解得：； （2）解：由得：或， 解第一个不等式组得：， 解第二个不等式组得：该不等式组无解集， ∴当时，． 14．（23-24七年级下·河南周口·期末）阅读下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则，若，，则． 请解答下列问题： (1)①若，则或________； ②若，则________或________； (2)根据上述规律，求解分式不等式的解集． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查利用有理数除法法则解分式不等式． （1）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”即可求解； （2）易得与异号，可得两个不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：①若，则a、b同号， 则或； ②若，则a、b异号， 则或； 故答案为：；，； （2）（2）原不等式可转化为： （1）或（2） 解（1）得：无解，解（2）得： 所以原不等式的解集是 15．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小 (2)3 【分析】（1）根据题中材料所给变化情况即可得到变化情况； （2）按照材料中的恒等变形方式将表示为，令，则，根据题中材料所给变化情况即可得到答案． 【详解】（1）解：由题中材料可知，对于： 当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小； 中值的变化只与值的变化有关， 当时，随着的值的增大，的值随之减小；当时，随着的值的增大，的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：， 令，则， 当时，即，随着的值的增大，值也增大，则值随之减小，并无限接近0，则的值随之减小，并无限接近0， 的值无限接近3． 【点睛】本题考查规律探究，涉及阅读理解、分式定义、分式的化简等知识，读懂材料中的方法是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$