22.1.2二次函数y=ax²的图象与性质（第2课时 九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

22.1.3二次函数y=ax²+k的图象与性质（九大题型提分练） 题型一、二次函数y=ax²+k的开口方向与形状 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是（    ） A．向右 B．向上 C．向左 D．向下 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与性质，掌握“，开口向上，，开口向下，”即可求解． 【详解】解：中二次项系数为，， 抛物线开口向上． 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像的形状与二次项系数的关系，熟悉二次项系数对图像形状的影响是解题关键．根据题意可知，两个二次函数的图像形状相同，那么它们的二次项系数相等，由此即可解题． 【详解】解：图像的形状与二次函数相同， 二次项系数为， 故选：A． 3．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线开口向下，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 4．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，请你写出一个符合条件的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解题的关键．根据题干提供信息，写出符合题意的二次函数的解析式即可； 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴， ∴该抛物线的解析式的二次项系数为负数，不含一次项， ∴这个二次函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 题型二、二次函数y=ax²+k的对称轴与顶点 5．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）二次函数的对称轴是(    ) A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线， 即对称轴是y轴， 故选：A． 6．（17-18九年级上·全国·课后作业）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：． 7．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 【答案】9 【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案． 【详解】解：∵为14， ∴令， 解得， ∴， ∴， 故答案为：9 8．（2023九年级下·安徽·专题练习）已知，是抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，为线段AB的中点，轴，交抛物线于点． （1）抛物线的顶点坐标是 ； （2）线段的长为 ． 【答案】 ； ． 【分析】（）根据二次函数表达式特点可求顶点坐标； （）由题意写出、的坐标，再根据中点坐标得出点坐标，再由轴得出点坐标即可． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：， （2）依据题意可知，点的坐标为，点的坐标为，， ∵为线段的中点， ∴的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∴CD＝． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键． 题型三、二次函数y=ax²+k的增减性 9．（2023·河南新乡·一模）点，是抛物线上的点，且，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大． 根据函数解析式得出图象开口向上，对称轴为y轴，结合，即可解答． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∵，， ∴图象开口向上，对称轴为y轴， ∵， ∴， 故选：A． 10．（2024·甘肃武威·三模）已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．首先确定在第三象限，、在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可． 【详解】解：， 正比例函数的图象经过一、三象限， 点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点，且， 在第三象限，在第一象限， 由二次函数可知抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， 在第一象限， ，， ． 故选：D． 11．（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据二次函数的定义得到，由抛物线的性质得到，由此求得m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数，且当时，y随x的增大而增大， ∴，， 整理得：，且， 解得：． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴开口向下，当x时，函数值随着自变量的增大而增大， 又∵直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大， ∴， 故答案为：． 题型四、二次函数y=ax²+k的最值与函数值范围 13．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）二次函数的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的对称轴为：，将其代入原函数得，进而可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的对称轴为：， 则当时，， 二次函数的最大值是， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的对称轴为y轴， 在时，当时，y最小，最小值为， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知抛物线，则当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小，然后把的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：， 时，随的增大而减小， ， 时，的最大值； 当时，最小． 的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 16．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 【答案】 【分析】 根据题意得出对称轴为直线，在时，当时取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时取得最大值， ∴ 解得： 题型五、二次函数y=ax²+k的图象问题 17．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知二次函数的图象如图所示，将其抛物线的表达式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据由图象得抛物线开口向下，排除C、D两个选项，由图象得抛物线顶点在y轴正半轴上，排除A选项，问题得解． 【详解】解：由图象得抛物线开口向下，故C、D两个选项不合题意， 由图象得抛物线顶点在y轴正半轴上，故A选项不合题意． 故选：B 18．（2023·江西九江·二模）下列图象中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：函数的对称轴为y轴， A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意； C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意； 故选：D． 19．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题抛物线的性质，能判断出抛物线开口向下是解题的关键．由已知条件得抛物线开口向下，得到，即可求出a的取值范围． 【详解】解：抛物线（a为常数）恒过点，且经过了平面直角系的四个象限， 抛物线开口向下， ， 解得：， 故答案：． 20．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)向下；y轴；；减小； (3) 【分析】本题考查二次函数的基础知识点， （1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可； （3）观察函数图象求解即可； 解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 【详解】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 题型六、二次函数y=ax²+k的性质综合问题 21．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知点，是抛物线上的两点，其中，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意，得到抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴或， 当时，，， ∴， ∴， ∴， 当时，，； ∴， ∴， ∴； 综上：； 故选B． 22．（22-23九年级上·山东威海·期末）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； 根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，据此解答． 【详解】化为顶点式解析式为： 二次函数的对称轴为直线，开口方向向上， 在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小， 时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， 实数a的取值范围是， 故选：B． 23．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 【答案】(1)5，3 (2)-2或2 (3)或 (4)或 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得； （3）根据函数图象即可求得； （4）根据图象求得答案即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：观察图象可得： 直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 题型七 、二次函数y=ax²+k的性质与几何综合问题 24．（23-24九年级上·山东泰安·期中）平面直角坐标系中，已知点，过点作轴，垂足为，若抛物线与的边总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程与二次函数的关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，再结合二次函数的性质即可解答，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 【详解】解：设所在直线的函数解析式为， 把代入得，， 解得， ∴所在直线的函数解析式为， ∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为， 如图， ∵点，轴， ∴点坐标为， 将代入得，， 解得， ∴时，抛物线向上移动，抛物线与的边有两个交点， 如图， 当抛物线经过原点时，有两个交点，将代得，， 当抛物线向上平移，且与直线：只有一个交点时， 由得，， 解得， ∴时与三角形有两个交点， 综上，， 故选：C． 25．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知抛物线，直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，轴对称的性质，本题先画出函数的简易图象，计算当的函数值，对折后可得函数值取全体实数，从而可得的范围． 【详解】解：如图，把代入， ∴， 由图象可得直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变， 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上， ∴； 故选A 26．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与它到轴的距离始终相等．若点的坐标为是抛物线上的一个动点，则周长的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，勾股定理，垂线段最短等等，过点M作轴于H，过点P作轴于E，连接，利用勾股定理求出，根据题意推出的周长，则当三点共线时，最小，即此时的周长最小，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点M作轴于H，过点P作轴于E，连接， 由题意得，， ∵， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∵， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：5． 题型八 、二次函数y=ax²+k图象与性质综合应用 27．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 【答案】(1)，图见解析 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，用描点法画函数图象即可； （2）根据图象列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入中得到： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 1 … 画图如下：    （2）根据题意，作图如下：    ∵函数的开口向上，且对称轴也是y轴，要使当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5， ∴只需保证当时，，且当时，， 即 解得：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解题的关键． 题型九、二次函数y=ax²+k与新定义问题 28．（2019·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．      (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A1的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A2的坐标． 【详解】（1）解：将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线， 如图：      （2）解：由题意，得点的“关联点”为， 由点在抛物线上，可得， ∴， 又在抛物线上， ， 解得． 将代入，得； （3）解：点的“待定关联点”为， ∵在抛物线的图象上， ， ． 又 , 当时，， 故可得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 29．（2022·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，对于点和．给出如下定义：如果，那么称点为点的“变换点”．例如点（1，2）的“变换点”为点（1，2），点（－1，2）的“变换点”为点（－1，－2）． (1)在点（4，0），（2，5），（－1，－1），（－3，5）中， 的“变换点”在函数的图象上； (2)如果一次函数图象上点的“变换点”是，求点的坐标； (3)如果点在函数的图象上，其“变换点”的纵坐标的取值范围是，结合图象写出实数的取值范围． 【答案】(1)和 (2)点 (3) 【分析】（1）先求出每个点的“变换点”坐标，然后看是否满足一次函数解析式即可； （2）分当时和当时，两种情况讨论求解即可； （3）先画出“变换点”的函数图象，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：由题意得点（4，0），（2，5），（－1，－1），（－3，5）的变换点分别为（4，0）、（2，5）、（-1，1）、（-3，-5）， 当时，， ∴点（4，0）不在函数的图象上， 同理可得点（2，5）、（-3、-5）在函数的图象上，点（-1、1）不在函数的图象上， ∴和的“变换点”在函数的图象上； （2）解：由题意得当时，点，则， 解得：（舍去）； 当时，点，则 ，解得：， ∴点； （3）解：如右图所示为“变换点”函数图象： 从函数图象看，“变换点”Q的纵坐标的取值范围是， 而， 函数图象只需要找到最大值（直线）与最小值（直线） 直线从大于等于0开始运动，直到与有交点结束，都符合要求， ∴，解得：（舍去负值）， 观察图象可知满足条件的a的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了求一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的性质等等，正确理解题意是解题的关键． 一、单选题 1．（2024·山东济南·三模）已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征．求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的的值，即可求得取值范围，根据抛物线的对称性求得，从而求得的取值范围． 【详解】解：令，整理得， 解得，， 直线与抛物线的交点的横坐标为5，0， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 把代入， 解得， 若，，则，， ， 故选：A． 2．（23-24九年级上·山东烟台·期末）对于抛物线，若y的最小值是5，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，确定，问题随之得解． 【详解】∵，且， ∴， ∵y的最小值是5， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，现将进行等分，分点分别为点，过各分点的垂线分别交二次函数的图象于点，记的面积分别为、，当越来越大时，最接近的常数是（    ）．    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，理解二次函数图象的特点，运用极限思想分析问题是关键．先求出函数：的图象与轴的正半轴相交于点坐标，再根据题意得到三角形的面积计算方法，最后根据计算结果可推出最佳答案． 【详解】解：由题意可得：的图象与轴的正半轴相交于点 ， ， 当越来越大时，最接近的值为． 故选：B． 4．（21-22九年级上·广西梧州·阶段练习）对于二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线，且开口向上，再由可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出答案． 【详解】解：二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， ， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键． 二、填空题 5．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴，解得． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】根据函数解析式可得对称轴，开口向上，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：由题意得抛物线的对称轴， 又， ∴抛物线开口向上． ∴当时，随的增大而增大． ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如果一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则 ． 【答案】 【分析】把代入求得，根据二次函数的顶点坐标为，把代入求得，把，代入，即可求得a值． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴， 解得， ∴， ∵一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点， ∴另一个交点为， 把代入，得， 把，代入，得 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质、一次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的图象性质和二次函数的图象性质解答． 8．（2022九年级·江苏·专题练习）对于两个实数，规定表示a，b中的较小值，当时，，当时，，例如：．则函数的最大值是 ． 【答案】2 【分析】观察图像结合函数的意义可得函数在时取得最大值，据此解答． 【详解】解：在同一坐标系中画出函数和的图象，如图； 结合图象，可得函数的最大值是2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解决此题的关键． 9．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）对于二次函数，当x取，时，函数值相等，则当x取时，函数值为 ． 【答案】3 【分析】根据抛物线的顶点式得到二次函数图象的对称轴为y轴，所以函数值相等，则自变量互为相反数，然后计算自变量为0时的函数值即可． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为y轴，当x分别取，时，函数值相等， ∴， ∴当时，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 10．（2022·河南周口·一模）如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ． 【答案】2 【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案． 【详解】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|， 当点P在x轴上方时，∴x2-1>0, ∴PH=|x2-1|=x2-1， 在Rt△OHP中，由勾股定理，得 OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2， ∴OP=x2+1， ∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键． 11．（2022·江苏南京·一模）如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 ． 【答案】或 【分析】根据对称性表示出A，B两点的坐标，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】∵A，B关于直线对称， ∴设，则， 如图所示， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， ∴， ∵在上， ∴， 即， 整理得：， 解得，， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为或； 故答案是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及对称点的表示，解题的关键是设点的坐标，表示出AB的长度． ( 30 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.3二次函数y=ax²+k的图象与性质（九大题型提分练） 题型一、二次函数y=ax²+k的开口方向与形状 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是（    ） A．向右 B．向上 C．向左 D．向下 2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，请你写出一个符合条件的表达式： ． 题型二、二次函数y=ax²+k的对称轴与顶点 5．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）二次函数的对称轴是(    ) A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 6．（17-18九年级上·全国·课后作业）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 8．（2023九年级下·安徽·专题练习）已知，是抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，为线段AB的中点，轴，交抛物线于点． （1）抛物线的顶点坐标是 ； （2）线段的长为 ． 题型三、二次函数y=ax²+k的增减性 9．（2023·河南新乡·一模）点，是抛物线上的点，且，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 10．（2024·甘肃武威·三模）已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ． 12．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是 ． 题型四、二次函数y=ax²+k的最值与函数值范围 13．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）二次函数的最大值是 ． 14．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 15．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知抛物线，则当时，的取值范围为 ． 16．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 题型五、二次函数y=ax²+k的图象问题 17．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知二次函数的图象如图所示，将其抛物线的表达式可能为（   ） A． B． C． D． 18．（2023·江西九江·二模）下列图象中，函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 19．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ． 20．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 题型六、二次函数y=ax²+k的性质综合问题 21．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知点，是抛物线上的两点，其中，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（22-23九年级上·山东威海·期末）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 题型七 、二次函数y=ax²+k的性质与几何综合问题 24．（23-24九年级上·山东泰安·期中）平面直角坐标系中，已知点，过点作轴，垂足为，若抛物线与的边总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 25．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知抛物线，直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 26．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与它到轴的距离始终相等．若点的坐标为是抛物线上的一个动点，则周长的最小值是 ． 题型八 、二次函数y=ax²+k图象与性质综合应用 27．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点． (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 题型九、二次函数y=ax²+k与新定义问题 28．（2019·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点． (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标．      29．（2022·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，对于点和．给出如下定义：如果，那么称点为点的“变换点”．例如点（1，2）的“变换点”为点（1，2），点（－1，2）的“变换点”为点（－1，－2）． (1)在点（4，0），（2，5），（－1，－1），（－3，5）中， 的“变换点”在函数的图象上； (2)如果一次函数图象上点的“变换点”是，求点的坐标； (3)如果点在函数的图象上，其“变换点”的纵坐标的取值范围是，结合图象写出实数的取值范围． 一、单选题 1．（2024·山东济南·三模）已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 2．（23-24九年级上·山东烟台·期末）对于抛物线，若y的最小值是5，则（    ） A． B． C．5 D． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，现将进行等分，分点分别为点，过各分点的垂线分别交二次函数的图象于点，记的面积分别为、，当越来越大时，最接近的常数是（    ）． A． B． C． D．1 4．（21-22九年级上·广西梧州·阶段练习）对于二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 6．（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”） 7．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如果一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则 ． 8．（2022九年级·江苏·专题练习）对于两个实数，规定表示a，b中的较小值，当时，，当时，，例如：．则函数的最大值是 ． 9．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）对于二次函数，当x取，时，函数值相等，则当x取时，函数值为 ． 10．（2022·河南周口·一模）如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ． 11．（2022·江苏南京·一模）如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 ． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$