专题22.1 二次函数y=ax²(a≠0)和y=ax²+c(a≠0)的图象与性质（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题22.1 二次函数y=ax²(a≠0)和y=ax²+c(a≠0)的图象与性质 （知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】二次函数的概念 1、二次函数：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2、二次函数必须同时具备的条件 （1）含有自变量的代数式必须是整式； （2）化简后自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不为0. 【知识点二】二次函数y=ax²(a≠0)的图象和性质 1、 抛物线：二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线，它是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点. 抛物线y=ax²的对称轴是y轴，顶点是原点. 2、 用描点法画二次函数y=ax²的图象的一般步骤 （1） 列表：让x取一些有代表性的值，求出对应的y的值，列出表格； （2） 描点：在平面直角坐标系内，以自变量x的值为横坐标，以相应的值为纵坐标，描出相应的点； （3） 连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接各点，并向两端无限延伸. 3、 二次函数y=ax²的图象和性质 y=ax²(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y有最小值为0. 当x=0时，y有最大值为0. 【知识点三】二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象和性质 1、二次函数y=ax²+k与y=ax²的图象间关系 二次函数y=ax²+c与y=ax²的图象形状相同，只是位置不同，抛物线y=ax²+c可由抛物线y=ax²沿y轴向上（下）平移个单位长度得到.当，沿y轴向上平移个单位，当时，向下平移个单位. 2、二次函数y=ax²+c的图象和性质 y=ax²+c(a≠0) a>0 c>0 a<0, c>0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y有最小值为c. 当x=0时，y有最大值为c. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数的概念 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 【题型2】二次函数y=ax²的图象和性质 【例2】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？ （3）当m为何值时，该函数有最小值？ （4）试说明函数的增减性． 【变式1】（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【题型3】二次函数y=ax²+c的图象和性质 【例3】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … （1）填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． （2） 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． （3）利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【变式1】（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列图象中，有可能是函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ． 【题型4】二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象平移关系 【例4】（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； （2）抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【变式1】关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）． A． 对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到 D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降 【变式2】（21-22九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）将抛物线y＝x2先向右平移6个单位长度，向下平移8个单位长度，此时抛物线的顶点与原点O的距离为 ． 【题型5】二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象和性质几何应用 【例5】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． （1）求证：； （2）设点，求的最小值及此时点的坐标． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东佛山·二模）如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【例2】（2023·广东广州·中考真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 2、拓展延伸 【例1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为， （1）求和． （2）求另一个交点的坐标． 【例2】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点，横轴上有一动点，连接，作的中垂线，过点作横轴的垂线和交于点．设点的坐标为，当点在横轴上运动时，解决下列问题： （1）求之间满足的函数关系式； （2）已知在此函数图象上，请求出的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.1 二次函数y=ax²(a≠0)和y=ax²+c(a≠0)的图象与性质 （知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】二次函数的概念 1、二次函数：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2、二次函数必须同时具备的条件 （1）含有自变量的代数式必须是整式； （2）化简后自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不为0. 【知识点二】二次函数y=ax²(a≠0)的图象和性质 1、 抛物线：二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线，它是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点. 抛物线y=ax²的对称轴是y轴，顶点是原点. 2、 用描点法画二次函数y=ax²的图象的一般步骤 （1） 列表：让x取一些有代表性的值，求出对应的y的值，列出表格； （2） 描点：在平面直角坐标系内，以自变量x的值为横坐标，以相应的值为纵坐标，描出相应的点； （3） 连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接各点，并向两端无限延伸. 3、 二次函数y=ax²的图象和性质 y=ax²(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y有最小值为0. 当x=0时，y有最大值为0. 【知识点三】二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象和性质 1、二次函数y=ax²+k与y=ax²的图象间关系 二次函数y=ax²+c与y=ax²的图象形状相同，只是位置不同，抛物线y=ax²+c可由抛物线y=ax²沿y轴向上（下）平移个单位长度得到.当，沿y轴向上平移个单位，当时，向下平移个单位. 2、二次函数y=ax²+c的图象和性质 y=ax²+c(a≠0) a>0 c>0 a<0, c>0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y有最小值为c. 当x=0时，y有最大值为c. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数的概念 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数，回答下列问题： （1）m取什么值时，此函数是二次函数？ （2）m取什么值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1) (2)或或或或 【分析】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义； （1）由二次函数的定义得，即可求解； （2）由一次函数的定义得①当时，②当时，③当时，进行求解，即可求解； 理解二次函数的定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”，能根据一次函数的定义进行分类讨论是解题的关键． （1）解：由题意得 ， 解得：； 故时，此函数是二次函数； （2）解：①当时， 解得：； ②当时， 解得：，； ③当时， 解得：，； 综上所述：取或或或或，此函数为一次函数． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金． 解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 【答案】敏敏 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键． 解：是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故敏敏正确． 【题型2】二次函数y=ax²的图象和性质 【例2】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？ （3）当m为何值时，该函数有最小值？ （4）试说明函数的增减性． 【答案】(1)或 (2)当时，该函数图像的开口向下 (3)当时，原函数有最小值 (4)见解析 【分析】(1)由二次函数的定义可得故可求m的值． (2)图像的开口向下，则，结合（1）中的结果，即可得m的值； (3)函数有最小值，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；； (4)根据（1）中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定． 解：（1）根据题意，得， 解得， ∴当或时，原函数为二次函数． （2）∵图像开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴当时，该函数图像的开口向下． （3）∵函数有最小值， ∴， 则， ∴， ∴当时，原函数有最小值． （4）当时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 【点拨】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察． 【变式1】（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【答案】 抛物线 轴 向下 【分析】本题考查二次函数的性质．熟记知识点是关键． 解：图像为抛物线；对称轴为轴；顶点坐标为；，开口向下； 故答案为：抛物线；轴；；向下． 【题型3】二次函数y=ax²+c的图象和性质 【例3】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … （1）填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． （2） 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． （3）利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)向下；y轴；；减小； (3) 【分析】本题考查二次函数的基础知识点， （1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可； （3）观察函数图象求解即可； 解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． （1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列图象中，有可能是函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，若开口向上，则；反之，．对称轴为轴；图象与轴交点在轴上方，则；反之，则，据此即可求解． 解：若，则图象开口向上，对称轴为轴，与轴交点在轴上方，故A满足题意； 若，则图象开口向下，对称轴为轴，与轴交点在轴下方； 故选：A 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据二次函数的定义得到，由抛物线的性质得到，由此求得m的值． 解：∵函数为二次函数，且当时，y随x的增大而增大， ∴，， 整理得：，且， 解得：． 故答案为：． 【题型4】二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象平移关系 【例4】（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； （2）抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【答案】(1)答案见解析 (2)上，3 【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． （1）解：如图所示，    ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键． 【变式1】关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）． A． 对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到 D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可． 解：A.二次函数 的对称轴为直线，故A选项不符合题意； B. 二次函数 的顶点坐标，故B选项不符合题意； C. 二次函数 的图像可以由二次函数 的图像向上平移1个单位得到，故C选项不符合题意； D. 二次函数 的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，故D选项符合题意． 故答案为：D． 【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的关键． 【变式2】（21-22九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）将抛物线y＝x2先向右平移6个单位长度，向下平移8个单位长度，此时抛物线的顶点与原点O的距离为 ． 【答案】10 【分析】先得到抛物线的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（6，﹣8），然后根据勾股定理即可求得． 解：∵抛物线的顶点坐标为（0，0） ∴抛物线向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度后得到对应点的坐标为（6，-8） ∴抛物线的顶点与原点O的距离为：． 故答案为：10． 【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，求得平移后的顶点坐标是解题的关键． 【题型5】二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象和性质几何应用 【例5】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． （1）求证：； （2）设点，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 解：（1）证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； （2）解：， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出点横坐标为，代入解析式进行求解即可． 解：∵关于y轴对称，线段轴， ∴线段关于y轴对称， ∵且点A在第二象限， ∴点A的横坐标为， 把代入，得， ∴点A的坐标为． 故选D． 【变式2】（2024·广东佛山·二模）如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 解：过点作轴交轴于点， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把代入， ∴， ∴， 故答案为： 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 解：连接，交y轴于点D，如图所示：    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． 【例2】（2023·广东广州·中考真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题． 解：的对称轴为y轴， ∵， ∴开口向上，当时， y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性． 2、拓展延伸 【例1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为， （1）求和． （2）求另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． （1）解：把代入可得： ， ∴交点坐标为：； 把代入可得： ， 解得：； （2）由（1）得：， ∴， ∴， 解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建立方程组解题是关键． 【例2】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点，横轴上有一动点，连接，作的中垂线，过点作横轴的垂线和交于点．设点的坐标为，当点在横轴上运动时，解决下列问题： （1）求之间满足的函数关系式； （2）已知在此函数图象上，请求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，作于点H，根据中垂线的性质得到，再利用勾股定理，从而建立x和y之间的函数关系式； （2）将点D，C，B的坐标分别代入（1）中得到的解析式中，得到D，C，B的坐标，数形结合利用割补法得到的面积. （1）解：连接，过点作轴于． 则，， ，． ． （2）由（1）知，，如图， . 【点拨】本题考查了一次函数的性质、二次函数的基本性质、中垂线的性质、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$