1.4-基本不等式专项训练-2025届高三数学一轮复习

第一章　 集合、常用逻辑用语与不等式 第四节　基本不等式 1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（　　） A.x≥2y　 B.x＞2y C.x≤2y　 D.x＜2y 2.若a，b都是正数，则的最小值为（　　） A.5　 B.7 C.9　 D.13 3.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy（　　） A.有最大值为1　 B.有最小值为1 C.有最大值为　 D.有最小值为 4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　） A.80元　 B.120元 C.160元　 D.240元 5.（多选）下列不等式一定成立的有（　　） A.x＋≥2　 B.2x（1－x）≤ C.x2＋≥2－1　 D.＋≥2 6.（多选）若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（　　） A.0＜≤　 B.＋≥1 C.log2a＋log2b＜2　 D.≤ 7.（－6≤a≤3）的最大值为　　　　　. 8.已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则的最小值为　　　　. 9.写出一个关于a与b的等式，使＋是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为　　　　　. 10.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； （2）x＋y的最小值. 11.已知a，b为正实数，且a＋4b－－3＝0，则ab的取值范围是（　　） A.（－∞，2]　 B.［，2） C.（0，］　 D.（0，1] 12.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够利用图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（　　） A.≥（a＞0，b＞0） B.a2＋b2≥2（a＞0，b＞0） C.≤（a＞0，b＞0） D.≤（a＞0，b＞0） 13.（多选）若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是（　　） A.a＋b＋c≤　 B.（a＋b＋c）2≥3 C.＋＋≥2　 D.a2＋b2＋c2≥1 14.已知a，b为正实数，且满足a＋b＝1.证明： （1）a2＋b2≥； （2）≥1＋. 15.甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元. （1）将全程运输成本y（单位：元）表示为速度v（单位：km/h）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？ 参考答案与解析 1.B　因为不等式成立的前提条件是x－2y和均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B. 2.C　因为a，b都是正数，所以（1＋）（1＋）＝5＋＋≥5＋2＝9（当且仅当b＝2a时等号成立）.故选C. 3.C　因为x＞0，y＞0，x＋2y＝2，所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立.所以xy有最大值，且最大值为. 4.C　由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×（2x＋）≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号. 5.CD　对于A，当x＜0时，x＋＜0，故A错误；对于B，2x（1－x）＝－2x2＋2x＝－2（x－）2＋≤，故B错误；对于C，x2＋＝x2＋1＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当x2＝－1时取等号，故C正确；对于D，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，故D正确.故选C、D. 6.BD　因为a＞0，b＞0，所以ab≤（）2≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，则ab≤（）2＝4≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，则≥，a2＋b2≥8，≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，则log2a＋log2b＝log2ab≤log24＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A、C不恒成立，D恒成立；对于B选项，＋＝＝≥4×＝1，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立. 7.　解析：当a＝－6或a＝3时，＝0；当－6＜a＜3时，≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号. 8.3＋2　解析：＝＋＝（＋）（2x＋y）＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即x＝1－，y＝－1时等号成立，所以的最小值为3＋2. 9.a2＋b2＝1（答案不唯一）　解析：该等式可为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件.＋＝（＋）（a2＋b2）＝1＋9＋＋≥10＋2＝16，当且仅当b2＝3a2时取等号，所以＋是一个变量，且它的最小值为16. 10.解：（1）由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1. 又x＞0，y＞0， 则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64， 当且仅当＝，即x＝16且y＝4时，等号成立. 所以xy的最小值为64. （2）由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则x＋y＝（x＋y） ＝10＋＋≥10＋2 ＝18. 当且仅当＝，即x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 11.D　因为a＋4b－－3＝0，所以a＋4b＝＋3≥2，当且仅当a＝4b时取等号，因为a，b为正实数，所以0＜ab≤1.故选D. 12.D　由题意可得圆O的半径r＝OF＝AB＝，又由OC＝OB－BC＝－b＝，在Rt△OCF中，可得FC2＝OC2＋OF2＝（）2＋（）2＝，因为FO≤FC，所以≤，当且仅当a＝b时取等号.故选D. 13.BD　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝±时，等号成立.∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥.若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3＜2.因此A、C错误，B、D正确. 14.证明：（1）因为a＋b＝1，a＞0，b＞0， 所以a2＋b2＝（a2＋b2＋a2＋b2）≥（a2＋b2＋2ab）＝（a＋b）2＝（当且仅当a＝b时取等号）. （2）＋＝（a＋b）＝3＋＋≥3＋2＝3＋2＝（1＋）2（当且仅当＝，即a＝－1，b＝2－时等号成立），所以≥1＋. 15.解：（1）由题意，得可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为， 所以y＝（v2＋a）＝1 000（v＋），定义域为（0，80]. （2）y＝1 000（v＋）≥1 000×2＝1 000（元），当v＝时，得v＝2，因为0＜v≤80， 所以当0＜a≤1 600时，货车以v＝2 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当a≥1 600时，函数y＝1 000（v＋）在（0，80]上单调递减，故货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 学科网（北京）股份有限公司 $$