1.1菱形的性质与判定（第三课时）课件　　2024——2025学年北师大版数学九年级上册

第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定（第三课时） 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 课前预习 典例讲练 目录 CONTENTS 课前导入 数学 九年级上册 BS版 课前预习 0 1 菱形的两个面积公式. （1）S＝ ⁠； （2）S＝ ⁠. 注：在对角线互相垂直的四边形中，一条对角线将四边形分成 有公共底边的两个三角形，这两个三角形的高的和恰好是四边 形的另一条对角线的长.由三角形的面积公式可得，对角线互相 垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半. 底×高　 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 课前导入 0 2 1．平行四边形的对边 ， 对角 ，对角线 ． 2．菱形具有 的一切性质． 3．菱形是 图形也是 图形． 4．菱形的四条边都 ． 5．菱形的两条对角线互相 ． 平行且相等 相等 互相平分 平行四边形 轴对称 中心对称 相等 垂直且平分 复习引入 导入新课 菱形的面积 问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢? A B C D 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢? 能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，则 S菱形ABCD = 底×高 = BC·AE. E 新课讲授 问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积. A B C D O 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. ∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC = AC·BO + AC·DO = AC·(BO + DO) = AC·BD. 你有什么发现？ 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 如图的两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？ 做一做 平行四边形 菱形的判定与性质的综合问题 如图的两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是什么图形？为什么？ 菱形 A C D B 分析：易知四边形 ABCD 是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可. 由题意可知 BC 边上的高和 CD 边上的高相等， 然后通过证△ABE≌△ADF，即可得 AB = AD. E F 数学 九年级上册 BS版 典例讲练 0 3 如图，两张宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边缘的夹角α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ⁠. 2　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】如图，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ， AF ⊥ CD 于点 F ，则AE ＝ AF ＝1.∵ AD ∥ BC ， AB ∥ CD ，∴四边形 ABCD 是平行四边形.∴▱ ABCD 的面积＝ BC · AE ＝ CD · AF . ∴ BC ＝ CD . ∴▱ ABCD 是菱形.∴ AD ＝ CD . ∵∠ ADC ＝α＝30°，∠ AFD ＝90°，∴ CD ＝ AD ＝2 AF ＝2. ∴菱形 ABCD 的面积＝ CD · AF ＝2×1＝2. 故答案为2. 【点拨】熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，证明四边形 ABCD 为菱形是解决本题的关键. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，已知菱形 ABC D的周长为20， AC ∶ B D＝1∶2，则菱形ABC D的面积是 ⁠. 20　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在四边形 ABC D中，已知 A D∥ BC ，点E为 BC 的中点BC ＝2 A D， E A ＝ED＝2， AC 与ED相交于点F. （1）当 AB 与 AC 具有什么位置关系时，四边形 A E C D是菱形？ 解：（1）当 AB ⊥ AC 时，四边形 AECD 是菱形.理由如下： ∵点 E 为 BC 的中点， BC ＝2 AD ， ∴ BE ＝ EC ＝ AD . 又∵ AD ∥ BC ， ∴四边形 ABED 和四边形 AECD 均为平行四边形. ∴ AB ∥ ED . ∵ AB ⊥ AC ，∴ DE ⊥ AC . ∴四边形 AECD 是菱形. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）在（1）的条件下求出此时菱形 A E C D的面积. （2）如图，过点 A 作 AG ⊥ BE 于点 G . 由（1）知 EA ＝ AD ＝ EC ＝ BE ， AB ＝ ED . ∵ EA ＝ ED ＝2， ∴ AE ＝ BE ＝ AB ＝ EC ＝2. ∴△ ABE 是等边三角形. ∴∠ AEB ＝60°. ∴ AG ＝ . ∴ ＝ EC · AG ＝2× ＝2 . 【点拨】掌握平行四边形和菱形的性质和判定是解决本题的关键，在求菱形的面积时，若没有告诉对角线的长度，作底边上的高是关键，用底乘高得到菱形的面积. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在▱ ABC D中， A E⊥ BC ， A F⊥ C D，垂足分别为E，F，且 B E＝DF. （1）求证：▱ ABC D是菱形； （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ B ＝∠ D . ∵ AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD ， ∴∠ AEB ＝∠ AFD ＝90°.在△ AEB 和△ AFD 中， ∴△ AEB ≌△ AFD （ A S A ）. ∴ AB ＝ AD . ∴▱ ABCD 是菱形. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）若 AB ＝5， AC ＝6，求四边形 ABC D的面积. （2）解：如图，连接 BD 交 AC 于点 O . ∵四边形 ABCD 是菱形， AC ＝6， ∴ AC ⊥ BD ， AO ＝ CO ＝ AC ＝ ×6＝3. ∵ AB ＝5， AO ＝3， ∴ BO ＝ ＝ ＝4. ∴ BD ＝2 BO ＝8. ∴ S菱形 ABCD ＝ AC · BD ＝ ×6×8＝24. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在四边形 ABC D中， AC ⊥ B D于点O， A O＝ C O＝4， BO＝DO＝3，点 P 为线段 AC 上的一个动点.过点 P 分别作 PM ⊥ AD于点 M ，作 PN ⊥D C 于点 N ，连接 PB . 在点 P 运动的过程中，求 PM ＋ PN ＋ PB 的最小值. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：∵ AO ＝ CO ＝4， BO ＝ DO ＝3， ∴ AC ＝8，四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AC ⊥ BD 于点 O∴▱ ABCD 是菱形 AD ＝ ＝ ＝5. ∴ CD ＝ AD ＝5.如图，连接 PD . ∵ ＋ ＝ ， ∴ AD · PM ＋ DC · PN ＝ AC · DO ， 即 ×5· PM ＋ ×5· PN ＝ ×8×3. ∴5×（ PM ＋ PN ）＝8×3∴ PM ＋ PN ＝4.8 ∴当 PB 最短时， PM ＋ PN ＋ PB 有最小值. 由垂线段最短可知，当 PB ⊥ AC 时， PB 最短. ∴当点 P 与点 O 重合时， PM ＋ PN ＋ PB 有最小值，最小值＝4.8＋3＝7.8 【点拨】根据菱形的性质，知 PM ＋ PN 在点 P 的整个运动过程中是定值，最终转化为点到直线的距离问题，运用垂线段最短来解决. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 已知菱形O BC D在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB ＝60°，点 P 是对角线O C 上一个动点，E（0，－ ）.当E P ＋ BP 最小时，求E P ＋ BP 的值和点 P 的坐标. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：连接 ED ，如答图所示.∵点 B 关于 OC 的对称点是点 D ， ∴ DP ＝ BP . 当点 D ， P ， E 共线时， EP ＋ BP 最小， ED 的长即为 EP ＋ BP 的最小值. ∵四边形 OBCD 是菱形，顶点 B （2，0），∠ DOB ＝60°， ∴点 D 的坐标为（1， ），点 C 的坐标为（3， ）. ∵点 E 的坐标为 ，∴由勾股定理，得 ED ＝ ＝ . ∴当 EP ＋ BP 最小时， EP ＋ BP 的值为 . ∵点 C 的坐标为（3， ），∴直线 OC 的函数表达式为 y ＝ x . ∵点 E 的坐标为 ，点 D 的坐标为（1， ）， 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴直线 DE 的函数表达式为 y ＝ x － . 联立解得 ∴点 P 的坐标为 . 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$