北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末学业水平调研数学试卷

海淀区2024年高二年级学业水平调研 数学 2024.07 木试卷共5页，共3道大题，19道小题，满分100分。考试时长90分钟。试题答案一律填涂 或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 (1)(x-1)的展开式中，所有二项式系数的和为 (A)0 (B)2 (C)1 (D)2 (2)已知函数fm=smx, 则∫(0)的值为 cOSx (A)0 (B)1 (C)-1 (D)π (3)若等比数列a}的前n项和S。=2”-1,则公比g= N月 ®) (C)2 (D)-2 (4)下列函数中，在区间[-1,0]上的平均变化率最大的是 (A)y=x2 (B)y=x3 (D)y=2 (5)将分别写有2,0,2,4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为 0),则组成的不同四位数的个数为 (A)9 (B)12 (C)18 (D)24 (6)小明投篮三次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响.若投中一次得2分，没 投中得0分，总得分为X,则 (A)E(X)=2.4 (B)E(X)=4.8 高二年级（数学）第1页（共5页） (C)DX)=0.48 (D)D(X=0.96 (7)已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为70%，A、B两 项指标都合格的比例为60%.从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则 该产品的B项指标也合格的概率是 (A)3 (B) 2 (c)3 (D) 6 (8)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a<0,则“Sn有最大值”是“公差d≤0”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)设函数f(x)=ln(1-x)+asinx.若f(x)≤f(0)在(-l,l)上恒成立，则 (A)a=0 (B)a≥1 (C)0<a≤1 (D)a=1 (10)在经济学中，将产品销量为x件时的总收益称为收益函数，记为R(x),相应地把R(x) 称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边 际收益函数R(x)=1000-x(注：经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其 看成连续函数来分析)给出下列三个结论： ①当销量为1000件时，总收益最大 ②若销量为800件时，总收益为T,则当销量增加400件时，总收益仍为T ③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500 其中正确结论的个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 高二年级（数学）第2页（共5页) 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。 (11)1+2x)的展开式中，x2项的系数为一 (12)某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（只包含1个球类项目），每位教师只 能从3个项目中随机选择2个参加.设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量 为X,则X的所有可能取值为，数学期望E(X)=一· (13)已知数列{an+}是公比为2的等比数列.若a,=0,则a,+4+…+an= (14)甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲乙击中无人机的概率分别为0.5,0.4， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为。若无人机恰好被一人击中， 则被击落的概率为0.2：若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那么无人机被击 落的概率为 (15)已知数列a}的前n项和为S.,满足a,=1,当n≥2时，S2-an2=元.给出下列四个 结论： 1 ①当元=0时，4=-4 ②当元=-3时，S24=2: ③当1=4时，n22,Sn>2恒成立： ④当元>1时，{an}从第三项起为递增数列. 其中所有正确结论的序号为 高二年级（数学）第3页（共5页) 三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题8分) 己知函数f(x)=(x-1)e-x2. (1)判断f(x)在(o,0)上的单调性，并证明： (Ⅱ)求f(x)在(0，+o)上的零点个数. (17)(本小题10分) 某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产 的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B两项质量指标值，记为9,9，定义产品的 指标偏差Qq4-1川+9s-21,数据如下表： 甲生产线抽样 产品编号 5 6 8 9 10 指标 9 0.98 0.96 1.07 1.02 0.99 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02 98 2.01 1.97 1.96 2.03 2.04 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02 Q 0.03 0.07 0.11 0.05 0.05 0.09 0.13 0.05 0.18 0.04 乙生产线抽样 产品编号 3 4 5 6 8 指标 9 1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01 98 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04 Q 0.03 0.06 0.20 0.13 0.14 0.04 0.22 0.05 假设用颜率估计概率，且每件产品的质量相互独立， (I）从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足g4>1且9a>2的概率： (Ⅱ)从甲、乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设X表示这两件产品中满足9B>2的 产品数，求X的分布列和数学期望： (Ⅲ)己知Q的值越小则该产品质量越好，如果两条生产线各生产一件产品，根据现有数据 判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由 高二年级（数学）第4页（共5页) (18)(本小题11分) 已知f(x)=X+axnx+b (I)当a=-3,b=-1时，求曲线y=f(x)在点L,f)处的切线方程： (Ⅱ)已知f(x)有两个极值点x,x3，且满足f:)+x)=0,求b的值： (I)在(IⅡ)的条件下，若fx)≥-x+1在[山，+o)上恒成立，求a的取值范围. (19)(本小题11分) 已知数列4：a,a,,am满足a<a<…<ao,集合S={a+a,1≤i<j≤100.设S 中有m个元素，从小到大排列顺次为：久，，…，b· (I)若an=n,请写出m,久，b的值： (Ⅱ)若an=2”,求bo: (D若bs=a,+a,(<),求j的最小值. (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 高二年级（数学）第5页（共5页） 海淀区2024年高二年级学业水平调研 数学参考答案 2024.07 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)B (2)B (3)C (4)B (5)A (6)B (7)C (8)C (9)D (10)D 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） (11)24 (12)0,1: (13)2"-n-1 (14)0.7:0.22 (15)①③④ 三、解答题（共4小题，共40分） (16)(共8分) 解：(1)f(x)在(-o,0)上单调递增，证明如下： 因为fx)=(x-1)e-x2, 所以f(x)=c+(x-1)e3-2x=xe-2x=x(e-2), 又因为xe(-m,0),从而e-2<1-2<0, 所以f(x)=x(e-2)>0, 所以f(x)在(-∞，0)上单调递增. (Ⅱ)由(I)知：(x)=x(e-2), 因为x∈(0，+∞)， 令f'(x)=0,得x=n2. f(x)与f(x)在区间(0，+o)上的情况如下： (0,1n2) in2 (ln2,+o0) f(x) 0 f(x) 极小 数学参考答案第1页（共6页） 因为f(0)=(0-0e°-02=-1<0， f(2)=(2-10e2-22=c2-22>0, 所以由零点存在定理及f(x)单调性可知，f(x)在(0，∞)上恰有一个零点. (17)(共10分) 解：(I)记A表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足g,>1且9>2”， 用频率估计概率，则P()= 10 所以该产品满足94>1且9a>2的概率为 0 (Ⅱ)由题意，X的所有可能取值为0,1,2， PX=0=3x是=1 Px=D=点x+点x2-l 10816 Γ1081082 PX=2=2x7-Z 10816 所以X的分布列为 X 0 1 2 1 1-2 16 1 所以X的数学期望为EX=0×号+1×+2×？= 16 2 168 (Ⅲ)甲生产线上的产品质量更好， 因为甲生产线上Q值的平均位@，- =0.08, >01. 乙生产线上Q值的平均值Q。=0,87 所以甲生产线上Q值的平均值明显比乙小， 所以甲生产线上的产品质量更好， 其它理由：计算甲生产品的Q值小于乙的概率7+4+4+5+5+4+3+5+2+6.9、1 8×10 162 数学参考答案第2页（共6页） (18)(共11分) 解：(1)当a=-3b=-时，闭=x-3nx-子0=0， 所以/0-2草 所以了)=-1. 所以曲线y=f(x)在点(1，f()处的切线方程为y=-x+1. (I)因为f)=x+ahx+,xe0,切). 所以f)=1+0-b=x2+-b x 因为(x)有两个极值点，。， 所以f(x)有两个大于0的变号零点， 所以方程X2+ax-b=0有两个不等正根， △=a2+4b>0 a2>-4b 所以x5=-b>0,解得b<0 +为=-0>0 a<0 又因为f(x)+f2)=0, b 即有x+alh,+二+x2+alh b=0, 整理得（伍+）+aln()+b当+龙=0， 2 代入x=-b,x+x3=-a, 可得(-a+aln(-b)+b2=0,解得b=-1. -b 又因为 a2>-4b <0”,所以可得a<-2. 经检验，符合题意 ()由(I)可知b=-1且a<-2,从而f)=x+anx-1 因为f(x)≥-x+1在，+o)上恒成立， 数学参考答案第3页（共6页） g(x)-f(x)+x-1-2x+alnx-I-1.xe[l+0). 则有g(x)≥0在[L,+o)上恒成立，易得g(①=2+an1-1-1=0, 因为g树=2++-2+r,所以g0=a+3, 令)=2x2+ar+1,x∈L,+o),h()=3+a,对称轴x=- “4 0当-35a<-2时，0=3+a20,=-号号 所以h(x)在[L,+o)单调递增，从而hx)≥h)=3+a之0恒成立， 所以g)=四之0在L,+网)也恒成立， 所以g(x)在[L,+0)单调递增，从而g(x)≥g)=0恒成立 (2)当a<-3时，h()=3+a<0, 所以22+ax+1=0有两个不等实根x,x,(不妨设x1<x), 所以为<1<，且当xe0x)时，M)<0,从而g=<0, x 所以g(x)在L,x]上单调递减， 所以g(x)<g①)=0，与“g(x)20在[L,+0)上恒成立”矛盾！ 综上，a的取值范围是-3，-2). 数学参考答案第4页（共6页） (19)(共11分) 解：(I)m=197,九=3，b=199 (Ⅱ)因为对任意1≤i<j≤100，都有a,+a=2+21<22<a,+a2,1≤i≤98， 所以，b,,b依次为 b=2+22, b=2+2,b=22+23 b,=2+2,…,b。=23+24, b=2+2,…,b。=24+2, b,=2+2,…,bs=2+2 b6=2+2,…,b21=2+27,… 所以b。=2+22=160 ()jmn=25, 先证明：j225 方法1： 考虑从a-H,a,4om这102-广个数中任取2个求和， 这些和都不小于a-+a· 因为a+a,≤a-1+a,所以2024+C2-≤4950，从而C2m-,≤2926， 因为C=2926,所以102-j≤76，即j225. 方法2： 假设j≤24，则i≤23 则bs=a+a≤a2+a4' 因为满足a+a4<a23+a24(m<k)的必要条件是m<23(因为若m≥23，则 数学参考答案第5页（共6页）