2.4.1圆的标准方程 教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 圆的标准方程 教科书 书名： 《数学》选择性必修第一册 出版社： 人民教育 教学目标 教学目标： （1）理解圆的标准方程的推导过程，体会类比的方法和数形结合思想；掌握圆的标准方程； （2）掌握判断点与圆位置关系的方法； （3）会利用给定条件或适当补充条件，求圆的标准方程，提高提出问题的能力，体会数形结 合以及方程思想. 教学内容 教学重点： 掌握圆的定义及标准方程. 教学难点： 会求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系. 教学过程 教学环节 主要师生活动 回顾旧知 引入新知 老师有一张中秋圆月照与大家分享，今月曾经照古人，古代的诗人 留下许多关于月的诗句，如《古朗月行》，图中的“圆月”诗中的“白 玉盘”都可以抽象出什么几何图形呢？圆，如果把天空看作一个平面， 月亮抽象为一个圆，建立一个空间直角坐标系，那么圆的坐标方程如何 表示？今天我们就在学习了直线方程的基础上进一步学习圆的标准方 程。 问题 1 请同学们回忆圆是怎样定义的？ 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心， 定长称为圆的半径. 定义出发 推导方程 简单应用 巩固所学 追问 1 确定圆的要素又是什么呢？ 确定圆的要素：圆心和半径， 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 问题 2 已知圆心为 A(a，b)，半径为 r，圆上点的集合如何表示？ 设圆上任一点 M(x，y) ，P={M | |MA|＝r} 追问 2 能否在此基础上找到圆上任一 点横坐标 x、纵坐标 y 之间的关系？ 由两点间的距离公式，得 两边平方，得 (x − a)2 + (y − b)2 = r2 小结：确定圆的标准方程需要两个条 件： . 例 1 求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； (2)以两点 A(－3,－1)和 B(5,5)为直径端点. 动态演示 小组合作 判断点与 圆位置关 系 实际应用 巩固所学 问题 3 如何判断点 M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2 内？在圆 x2＋y2 = r2 上？在圆 x2＋y2＝r2 外？ (结合几何 演示思考) 圆的半径 r：连接 OC；点到圆心的距离 d：连接 OM0 通过比较 d 与 r 的大小，判断点与圆的 位置关系。 合作探究 圆 C：2 = r2 其圆心为 C(a，b)，半径 为 r，点 P ，设 d＝|PC| ＝完成下表。 位置关系 点在圆外 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 点在圆上 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 点在圆内 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 例 2 如图所示，一桥洞内设双行线公路，其截面由一个半圆（半径为 3 米）构成，已知一货车宽 2 米(|OB|=2m)，车高为 2 米（|BC|=2m）， 请问该货车可以通过桥洞吗？ 综合应用 梳理方法 小结 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小， 并作出判断. 问题 4 红蓝两军演练，蓝军一战士遭遇三辆敌军坦克，他持有 一反坦克手榴弹，假设手榴弹攻击范围为圆形，请问他投掷到何处最 优？手榴弹的攻击范围至少为多大？他方可击溃敌方三辆坦克。 追问 1 如何确定三辆坦克的位置，量化它？ 建系 点 —— 三角形 追问 2 攻击范围为圆形，题目与圆相关，那么投掷到何处对 应？ 圆的圆心 追问 3 攻击范围对应？ 圆的半径 追问 4 那么该圆与三角形有何关联？ 三角形的外接圆 问题 4（转化） △ABC 的三个顶点分别为 A(5,1)，B(7,-3)， 学科思政 科技报国 课堂小结 C(2,-8)，求△ABC 的外接圆的标准方程。 分析：待定系数法．先设圆心的坐标和半径，由 A、B、C 三点在 圆上，将点代入方程可得三个方程，联立方程求解可得三个参数 a 、 b、r 的值，但运算难度较高，引导学生发现两两作差可消去a2 、b2、 c 2，得到二元一次方程组，便可求解出参数的值，解得圆的标准方 程。 几何法， 小结：求圆的标准方程的两种方法 (1) 几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆 的圆心和半径，从而得到圆的标准方程. (2) 待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到 圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程. 刚刚我们是理想化的计算，但历史是真实的血淋淋的，请同学们观 看视频（播放抗美援朝视频） 看完视频相信同学们应该感触良多，希望同学们可以脚踏实地学 知识，志存高远向未来。 课堂小结 1.本节课你学到了什么知识？ 2.在求圆的标准方程时你用到了什么方法？ 作业布置 3.如何判断点和圆的位置关系？ 作业布置（见课后练习单） 【课时作业】 1. 已知 P1 (4,9)，P2(6,3)两点，求以线段 P1P2为直径的圆的标准 方程，并判断点 M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)在圆上、在圆内、还是在圆 外？ 2. 已知△AOB 的三个顶点分别是 A(4,0)，O(0,0)，B(0,3)，求△ AOB 的外接圆的标准方程. 3.已知圆 C 的圆心在直线 l：x－2y－1＝0 上，并且经过原点和点 A(2,1)，求圆 C 的标准方程. 【圆的方程单元作业】 1、查阅资料， 赵州桥的跨度约为 37m,圆拱高约为 7.2m，如何写出 这个圆拱所在的圆的方程？在建造时每隔 7.4m需要用一个支柱支撑， 求支柱的长度（精确到 0.01m）； 2、上网查找圆在生活中的应用，形成报告单。 学科网（北京）股份有限公司 $$