第二章一元二次方程复习课　课件　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 复习课 温故知新 一元二次方程 一元二次方程 的定义 概念：①整式方程；②一元；③二次. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方程 的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 根的判别式及 根与系数的关系 根的判别式： Δ = b2 - 4ac 根与系数的关系： 一元二次方程的应用 销售问题、平均变化率问题、 细菌传染问题 一般二次函数模型、几何问题、握手问题 知识点一 一元二次方程的定义 1. 定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为 2 的整式方程 2. 一般形式：ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 3. 项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 一次项： 一次项系数： 二次项： 二次项系数： 常数项： 4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程． 典例精析 1. 下列一元二次方程有( ) (1) 4x - x² + 3 = 0 (2) 3x² - y - 1 = 0 (3) x² - 3 = x(x - 1) (4) x + 1 =0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 是 不是 不是 不是 A 2. 将一元二次方程 x(3x - 1) = 2x2 + 5 化为一般形式 ，其中二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 . x2 - x - 5 = 0 -5 -1 1 -1 知识点二 一元二次方程的解法 一元二次方程的 解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 (p2 - 4q ≥ 0) (x + m)2＝n (n ≥ 0) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac ≥ 0) (x + m) (x + n)＝0 1. 直接开平方法 知识点二 一元二次方程的解法 如果方程是 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的形式，就可左右两边直接开平方得 x + m = ； 知识点二 一元二次方程的解法 2. 配方法 (1) 概念: 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. ① 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ② 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为 (x + m)² = n 的形式； ③ 开方：如果方程的右边是非负数，即 n ≥ 0 ，就可左右两边开平方得 x + m = ； (2) 具体步骤: ④ 求解：方程的解为 x = - m . 知识点二 一元二次方程的解法 ② 求出 b2 - 4ac 的值 ③ 当 b2 - 4ac ≥ 0 时，把 a，b，c 及 b2 - 4ac 的值代入求根公式 ① 把方程化为一般形式，确定 a，b，c 的值. 3. 公式法 求出 x1，x2 知识点二 一元二次方程的解法 知识点二 一元二次方程的解法 4. 因式分解法 当一元二次方程的一边为 0 ，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用因式分解法求解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 原理：如果 ab = 0，那么 a = 0 或 b = 0 ① 移项：通过移项把方程的右边化为0 ② 分解因式：方程的左边因式分解 ③ 化：把一元二次方程转化为两个一元一次方程 ④ 写解：写出方程的两个解 知识点二 一元二次方程的解法 4. 因式分解法 注意：选择一元二次方程的解法的优先顺序是：先考虑直接开平方法和因式分解法，如果不能用，再用公式法和配方法。 （直接开平方法） （配方法或求根公式法） （求根公式法） （因式分解法） 1. 用适当的方法解下列方程： (1) (2x - 1)2 = 1 (2) x2 + 6x = 7 (3) 2y2 - 1 = 2y (4) x(x - 2) = x - 2 (5) x2 - 3x = 28 （因式分解法） 典例精析 2. 用配方法解方程 x2 - 8x - 1 = 0 时，原方程应变为( ) A. (x + 4)2 = 17 B. (x + 4)2 = 15 C. (x - 4)2 = 17 D. (x - 4)2 = 15 解析： 先求出方程 x2 - 10x + 21 = 0 的两根，再根据三角形的三边关系得到符合题意的边，进而求得三角形周长 解析：配方法的关键是在二次项系数为 1 时配上一次项系数一半的平方 3. 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2 - 10x + 21 = 0 的根，则该三角形的周长为（　 ） A．12 B．15 C．16 D．12 或 16 典例精析 知识点三 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式： 1. 不解方程判断解的个数： 知识点三 一元二次方程的根的判别式 2. 知道方程解的情况求方程的系数（或取值范围） 3. 证明含字母系数的方程有（无）实根 知识点四 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1、x2，那么 注意：隐含条件 △ ≥ 0 1. 设 x1，x2 是方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 x1+x2 = ，x1 x2 = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - = (x1 - x2)2 = ( )2 – 4x1x2 = _______ x1+x2 2x1x2 4 1 14 12 知识点五 一元二次方程的应用 1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤： ①审：审清题意：已知量，未知量，已知量和未知量之间的关系 ②设：设未知数 ④列：根据等量关系列方程 ⑤解：解方程 ⑥验：检验是否是所列方程的根；是否符合题意； ⑦答：写出答案 ③找：找等量关系 4. 销售问题 5. 平均增长率问题 2. 几何问题 3. 握手问题 6. 细菌传染问题 1. 一般二次函数模型 知识点五 一元二次方程的应用 1. 若两个连续整数的积是 20，则这两个数是( ) A. 4 和 5 B. - 5 和 - 4 C. 4 和 5 或 - 5 和 - 4 D. ± 4 和 ± 5 一般二次函数模型 知识点五 一元二次方程的应用 2. 将一条长为 56 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形. (1) 要使这两个正方形的面积之和等于 100 cm2 ，该怎么剪？ (2) 要使这两个正方形的面积之和等于 196 cm2 ，该怎么剪？ (3) 这两个正方形的面积之和可能等于 200 cm2 吗？ 几何问题 知识点五 一元二次方程的应用 3. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛 90 场，共有多少个队参加比赛． 知识点五 一元二次方程的应用 握手问题 知识点五 一元二次方程的应用 销售问题 4. 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24 元，平均每天能售出 32 件，而当销售价每上涨 2 元，平均每天就少售出 4 件. (1) 若公司每天的销售价为 x 元，则每天的销售量为多少？ (2) 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？ 知识点五 一元二次方程的应用 平均增长率问题 5. 某公司 2017 年的生产成本是 100 万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2019年的生产成本是 81 万元，如果两年生产成本的下降率相同. (1) 求平均每年生产成本下降的百分率。 (2) 假设 2020 年生产成本的下降率和前面相同，请你预测 2020年该公司的生产成本是多少？ 细菌传染问题 知识点五 一元二次方程的应用 经过 n 轮传播后，共有 (x + 1)n 个传染源 6. 冬季是流行感冒的季节，如果某一种流行感冒每轮传染的数量相同，某校有一人感染这种病毒，经过两轮传染后，全校共有 72 人感冒， 则平均一轮中每人会传染多少个？ 解：设每人每轮平均传染 x 个人，根据题意有： 第一轮后：共有　　　　人感冒，第二轮后有　　　　人感冒 (x + 1) (x + 1)x 知识点五 思想方法 1. 整体思想 2. 转化思想 知识点五 思想方法 整体思想 1. 解方程 (x - 1)² - 5(x - 1) + 4 = 0 时，我们可以将 x - 1 看成一个整体，设 x - 1 = y，则原方程可化为 y² - 5y + 4 = 0，解得 y1 = 1， y2 = 4. 当 y = 1 时，即 x - 1= 1，解得 x = 2；当 y = 4 时，即 x - 1= 4，解得 x = 5. 所以原方程的解为 x1 = 2，x2 = 5. 请利用这种方法解方程：(3x + 5)² - 4(3x + 5) + 3 = 0. 转化思想 知识点五 思想方法 2. 我市某单位准备将院内一个长为 30 m，宽为 20 m 的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形） 解：设小道进出口的宽为 x cm （30 - 2x)(20 - x) = 532 x2 - 35x + 34 = 0 x1 = 1，x2 = 34（舍去） 答：小道进出口的宽度应为 1 米. 转化思想 知识点五 思想方法 解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解. （注意：这里的横竖斜小路的的宽度都相等） 平移转化 转化思想 知识点五 思想方法 归纳总结 一元二次方程 一元二次方程 的定义 概念：①整式方程；②一元；③二次. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方程 的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 根的判别式及 根与系数的关系 根的判别式： Δ = b2 - 4ac 根与系数的关系： 一元二次方程的应用 销售问题、平均变化率问题、 细菌传染问题 一般二次函数模型、几何问题、握手问题 $$