2.5 一元二次方程的根与系数的关系　课件　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 温故知新 1. 一元二次方程的一般形式是什么？ 2. 一元二次方程根的判别式是什么？ 3. 一元二次方程的求根公式是什么？ ax2＋bx＋c＝0 (a ≠ 0) Δ = b2－4ac 通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式. 除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢? 探究一：一元二次方程的根与系数的关系 解下列方程： 做一做 方程 两根 x1 x2 两根和 x1 + x2 两根积 x1 · x2 1 1 1 1 -1 思考：每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？ 探索新知 对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？与同伴交流 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 当 b2 - 4ac ≥ 0 时有两个根： 于是，两根之和为 两根之积为 探索新知 归纳小结 如果方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )有两个实数根 x1，x2，那么 1. 一元二次方程的根与系数的关系： 在使用根与系数的关系时，应注意： (1)不是一般式的要先化成一般式； (2)能用公式的前提条件为 △ = b2 - 4ac≥0 (韦达定理) 典例精析 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 + 7x + 6 = 0 (2) 2x2 - 3x - 2 = 0 解：∵ a=1 , b=7 , c=6. 解：∵ a = 2, b=-3, c =-2. Δ = b2 -4ac = (-3)2 - 4×2×(-2) = 25 > 0 ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, ∴ x1 + x2 = , x1 x2 = -1 . Δ = b2 - 4ac = 72 - 4×1×6 = 25 > 0 ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2， ∴ x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. 利用根与系数的关系求方程的两根的和与积 例1 A 知识点一 利用根与系数的关系求方程的两根的和与积 变式 小明和小华分别求了方程 9x2 + 6x - 1 = 0 的根 小明： 小华： 他们的答案正确吗？说说你的判断方法. 你有不同的判断方法吗？ 知识点一 利用根与系数的关系解决已知一根求另一根的问题 知识点二 解：设方程的两个根分别是 x1、x2，其中x1=3 . ∴ 3x2 = -7 ∴ x2 = ∴ 方程的另一个根是 变式 已知方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 已知方程的一根求另一根，可以直接代入，先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根． 也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值． 归纳小结 利用根与系数的关系求与方程两根有关的代数式的值 例3 知识点三 4 1 = 14 = 12 知识点三 另外几种常见的求值: 基础练习 5、方程 2x2 - 3x + 1 = 0 的两根记作 x1，x2，不解方程，求： （1） ;（2) ; (3) 基础练习 能力提升 1、已知方程　 的两个实数根是　 　 ,且　　　 ,求k的值. 2、方程 有一个正根，一个负根， 求m的取值范围。 能力提升 3、方程 x2－(m＋6)x＋m2＝0 有两个相等的实数根，且满足 x1＋x2＝x1x2，则m的值是 (　 　) A．－2或3　　 B．3　　　 C．－2　　 D．－3或2 4、设 a，b 是方程 x2＋x－2 016＝0 的两个实数根，则 a2＋2a＋b 的值为 (　 　) A．2 013 B．2 014 C．2 015 D．2 016 归纳总结 如果方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )有两个实数根 x1，x2，那么 1. 一元二次方程的根与系数的关系： 在使用根与系数的关系时，应注意： (1)不是一般式的要先化成一般式； (2)能用公式的前提条件为 △ = b2 - 4ac≥0 (韦达定理) 2. 利用根与系数的关系求与方程两根有关的代数式的值 归纳总结 $$