2. 3.2 用公式法求解一元二次方程 课件 2023--2024学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 2.3.2 用公式法求解一元二次方程 第二课时 温故知新 1. 用公式法解方程： 2x2 - 1 = 3x 探索新知 在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半. 你能给出设计方案吗？ 小明的设计方案如图所示. 其中花园四周小路的宽度都相等. 通过解方程，他得到小路的宽为2m或12m. 你认为小明的结果对吗? 为什么? 16m 12m 解：设小路的宽为 x m，根据题意得 (16 - 2x)(12 - 2x) = 解得 答：小路的宽是 2 m. 16m 12m 即 x2 - 14x +24 = 0 (不合题意，舍去) 在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半. 你能给出设计方案吗？ 探索新知 方程的根要符合 题目的实际情况 小亮的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同.你能帮小亮求出扇形的半径 x 吗? 16m 12m x m 解：设扇形的半径为xm，根据题意得 答：小路的宽约是 5.5 m. 探索新知 (不合题意，舍去) 你还有其他设计方案吗？与同伴交流. 16m 12m 16m 12m 8m 8m 6m 6m 16m 12m 6m 4m 6m 2m 2m 12m 16m 12m 8m 8m 16m 12m xm xm xm xm 16m 12m xm xm 16m 12m 16m 12m 16m 12m 16m 12m 16m 12m xm xm 16m 12m xm xm 16m 12m xm xm 16m 12m xm xm xm xm 探究一：几何问题 例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，求道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 20m 32m 还有其他解法吗？ 方法二： 解：设道路的宽为 x 米 (32 - x)(20 - x) = 540 答：道路的宽为 2 米. 整理，得 例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，求道路的宽为多少？ 20m 32m (不合题意，舍去) 转化思想 探究一：几何问题 解：设道路的宽为 x 米 (32 - 2x)(20 - x) = 540 变式1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的三条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，求道路的宽为多少？ 20m 32m 探究一：几何问题 解：设道路的宽为 x 米 (32 - 2x)(20 - 2x) = 540 变式2 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的几条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，求道路的宽为多少？ 20m 32m 探究一：几何问题 解：设道路的宽为 x 米 (32 - x)(20 - x) = 540 变式3 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的几条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，求道路的宽为多少？ 20m 32m 探究一：几何问题 归纳小结 1. 几何问题： 在矩形地面修建同样宽的道路，应运用转化思想把道路平移到矩形的边上，在进行求解。 例2 如图，学校要围一个面积为 48 平方米的矩形花圃，花圃的一边利用10米长的墙，另外三边用总长为 20 米的篱笆恰好围成，求花圃垂直于墙的边长． 当 x = 4 时，20－2x = 12＞10，不合题意，舍去. 解：设垂直于墙的边长为 x 米，则平行于墙的边长为(20－2x)米，根据题意，得 x(20－2x)＝48 解得 x1＝4，x2＝6 答：花圃垂直于墙的边长应为 6 米． 当 x = 6 时，20－2x = 8＜10 探究一：几何问题 变式1 如图，要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的长和宽各是多少米？ 答：羊圈的长和宽都是 20 m. 解：设垂直于墙的边长是 x m. (100 - 4x)x = 400 当 x = 20 时，100 - 4x = 20 < 25 当 x = 5 时，100 - 4x = 80 > 25 ，不合题意，舍去 探究一：几何问题 变式2 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80 平方米？ 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m，则平行于住房墙的一边长 (25 - 2x + 1) m. 由题意得 x(25 - 2x + 1) = 80 当 x = 5 时，26 - 2x = 16 > 12 ，不合题意，舍去 当 x = 8 时，26 - 2x = 10 < 12 答：矩形猪舍的长为10m，宽为8m. 例3 一个群里有 3 个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有 条消息. 变式1 一个群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有 870 条消息，则这个群里的好友个数为 . 2条 2条 2条 ＋ ＋ = 6 条 ... 探究二：握手问题 变式2 某市体委要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排 28 场比赛，应邀请 支球队参加比赛. 例4 某市体委要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，有 5 支球队参赛，则共有 场比赛. 注意区分所有次数中是否有重复情况，如有重复，则结果为 所有次数的一半 探究二：握手问题 归纳总结 2. 握手问题： 有 n 个人，每个人都要和其他人握一次手，则一共要握 次手. 归纳小结 注意在用方程解应用题时，方程的根还要符合题目的实际情况 1. 几何问题： 在矩形地面修建同样宽的道路，应运用转化思想把道路平移到矩形的边上，在进行求解。 2. 握手问题： 有 n 个人，每个人都要和其他人握一次手，则一共要握 次手. $$