2.3.1 用公式法求解一元二次方程　课件　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.3.1 用公式法求解一元二次方程 第一课时 温故知新 1. 用配方法解下列方程： 2x2 + 3 = 7x 解： 探索新知 用配方法解一元二次方程：ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 解：方程两边同时除以 a ，得 配方，得 因为 a ≠ 0 ，所以 4a2 ＞ 0. 当 b2 - 4ac ≥ 0 时， 是一个非负数，此时两边开平方，得 移项，得 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，当 b2 - 4ac ≥ 0 时，它的根是： 归纳小结 1. 用公式法解一元二次方程： (求根公式) 归纳小结 ② 求出 b2 - 4ac 的值 ③ 当 b2 - 4ac ≥ 0 时，把 a，b，c 及 b2 - 4ac 的值代入求根公式 ① 把方程化为一般形式，确定 a，b，c 的值. 1. 用公式法解一元二次方程的基本步骤： 求出 x1，x2 典例精析 例1 解方程：(1) x2 - 7x - 18 = 0 (2) 4x2 + 1 = 4x 归纳总结 (1) 当 b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； (2) 当 b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 典例精析 议一议 (1) 你能解一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？ (2) 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，当 b2 - 4ac ＜ 0 时， 它的根的情况是怎样的？与同伴交流. (2) 当 b2 - 4ac ＜ 0 时，它的根 无解， ∴ 方程无实数根 (3) 当 b2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根． 2. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 b2 - 4ac 来判定 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的判别式，通常用希腊字母 " Δ " 来表示． (1) 当 b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； (2) 当 b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 归纳小结 典例精析 (1) 2x2 + 5 = 7x 例2 不解方程，判断下列方程的根的情况： (2) 4x(x - 1) + 3= 0 (3) 4(y2 + 0.09) = 2.4y 解：(1)将方程化为一般形式，得 这里 a = 2，b = - 7，c = 5 ∵Δ = b² - 4ac = ( - 7 )² - 4 × 2 × 5 = 9 ＞ 0 ∴ 方程有两个不相等的实数根 2x2 - 7x + 5 = 0 (1) 2x2 - 9x + 8 = 0 1. 用公式法解下列方程： (4) x(x - 3) + 5 = 0 (2) 9x2 + 6x + 1 = 0 (3) 16x2 + 8x = 3 基础练习 基础练习 2. 一个直角三角形三条边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长. 典例精析 变式 关于 x 的一元二次方程 x2 + 4x + k = 0 有两个相等的实根， 则 k 的值为 . 例3 若关于 x 的方程 (1 - k)x2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围是( ) A. k ＞ 2 B. k ＜ 2 C. k ＜ 2 且 k ≠ 1 D. k ＞ 2 且 k ≠ 1 基础练习 3. 已知 a，b，c 为常数，点 P(a，c) 在第二象限，则关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0 的根的情况是 基础练习 4. 已知：关于 x 的方程 mx2 + (m - 3)x - 3 = 0 ( m ≠ 0 ). (1) 求证：方程总有两个实数根. (2) 如果 m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求 m 的值. 能力提升 1. 等腰三角形的三边长分别为 a，b，2，且 a，b 是关于 x 的一元二次方程 x2 - 8x + n +10 = 0 的两个实根，则 n = 归纳总结 ② 求出 b2 - 4ac 的值 ③ 当 b2 - 4ac ≥ 0 时，把 a，b，c 及 b2 - 4ac 的值代入求根公式 ① 把方程化为一般形式，确定 a，b，c 的值. 1. 用公式法解一元二次方程的基本步骤： 求出 x1，x2 (3) 当 b2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根． 2. 用 b2 - 4ac 判定一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的情况 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的判别式，通常用希腊字母 " Δ " 来表示． (1) 当 b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； (2) 当 b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 归纳总结 $$