2.1 用配方法求解一元二次方程　课件　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.2.1 用配方法求解一元二次方程 第一课时 温故知新 在上一节的问题中，梯子底端滑动的距离 x ( m ) 满足方程 x2 + 12 x - 15 = 0. 我们已经求出了 x 的近似值，你能设法求出它的精确值吗？ 1. 填空： 如果一个数的平方等于9，则这个数是 ， 若一个数的平方等于7，则这个数是 . 一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？ 2. 用字母表示因式分解的完全平方公式。 ±3 温故知新 正数有两个平方根，它们互为相反数 议一议 (1) 你会解下列一元二次方程吗？ x2 = 5 2x2 + 3 = 5 x2 + 2x + 1 = 5 x = 解： 2x2 = 5 - 3 ( x + 1 )2 = 5 解： 2x2 = 2 x2 = 1 解： x + 1 = ( x + 6 )2 + 72 = 102 解： ( x + 6 )2 = 102 - 72 ( x + 6 )2 = 51 x + 6 = 议一议 (2) 你能解方程 x2 + 12 x - 15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？ 与同伴进行交流. ( x + 6 )2 + 72 = 102 x2 + 12 x - 15 = 0 我们可以将 x2 + 12 x - 15 = 0 转化为 ( x + 6 )2 + 72 = 102 化简得到 因此方程 x2 + 12 x - 15 = 0 有两个根 x1，x2 都符合 原问题的要求吗？ 归纳小结 1. 解一元二次方程的思路： 将方程转化为 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当 n ≥ 0 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根. 2. 直接开平方法求解一元二次方程： 如果方程是 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的形式，就可左右两边直接开平方得 x + m = ； 做一做 填上适当的数，使下列等式成立. x2 + 12x + = (x + 6)2 x2 - 6x + = (x - 3)2 x2 - 4x + = (x - )2 x2 + 8x + = (x + )2 62 32 22 2 42 4 上面等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？ 对于形如 x2 + ax 的式子如何配成完全平方式？ 典例精析 例1 解方程：x2 + 8x - 9 = 0 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 8x ＝ 9 两边都加上一次项系数 8 的一半的平方，得 x2 + 8x ＋ 42 = 9 ＋ 42 即 (x + 4)2 = 25 两边开平方，得 x + 4 = ±5 所以 x1 = 1， x2 = - 9 即 x = ±5 - 4 3. 配方法求解一元二次方程的概念和具体步骤： 归纳小结 (1) 概念: 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. (2) 具体步骤: ① 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ② 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为 (x + m)² = n 的形式； ③ 开方：如果方程的右边是非负数，即 n ≥ 0 ，就可左右两边开平方得 x + m = ； (2) 具体步骤: ① 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ② 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为 (x + m)² = n 的形式； ③ 开方：如果方程的右边是非负数，即 n ≥ 0 ，就可左右两边开平方得 x + m = ； 归纳小结 ④ 求解：方程的解为 x = - m . 注意：如果是解决实际问题，还要判断求得的结果是否合理. 解下列方程： 随堂练习 (1) x2 - 10x + 25 = 7 (2) x2 - 14x = 8 解下列方程： (3) x2 + 3x = 1 (4) x2 + 2x + 2 = 8x + 4 随堂练习 典例精析 例2 若一元二次方程 x2 = m 有解，则 m 的取值为( ) A. 正数 B. 非负数 C. 一切实数 D. 零 变式1 如果 x 的方程 (x - 2)2 = 1 - m 无实数根，那么 m 满足的条件是( ) A. m＞2 B. m＜2 C. m＞1 D. m＜1 变式2 已知关于 x 的一元二次方程 (x + 1)2 - m = 0 有两个实数根，则 m 的取值范围是 . 基础练习 1. 填上适当的数，使下列等式成立： 基础练习 2. 用配方法解方程. 能力提升 3. " a ≥ 0 " 这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式. 例如： 请用"配方法"解决下列问题. (1) 配方 (2) 已知 ，求x+y的值. (3) 比较代数式： 与 的大小. 归纳总结 1. 解一元二次方程的思路： 将方程转化为 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当 n ≥ 0 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根. 2. 直接开平方法求解一元二次方程： 如果方程是 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的形式，就可左右两边直接开平方得 x + m = ； 归纳总结 3. 配方法的概念和具体步骤： (1) 概念: 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. (2) 具体步骤: ① 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ② 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为 (x + m)² = n 的形式； ③ 开方：如果方程的右边是非负数，即 n ≥ 0 ，就可左右两边开平方得 x + m = ； 归纳总结 (2) 具体步骤: ① 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ② 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为 (x + m)² = n 的形式； ③ 开方：如果方程的右边是非负数，即 n ≥ 0 ，就可左右两边开平方得 x + m = ； ④ 求解：方程的解为 x = - m . 注意：如果是解决实际问题，还要判断求得的结果是否合理. $$