1.2 认识一元二次方程 课件 2023--2024学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 2.1.2 认识一元二次方程 第二课时 温故知新 1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c = 0 (a，b，c为常数， a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的一般形式： ax2+bx +c = 0 (a ，b ， c为常数，a≠0) ax2 称为二次项，a 称为二次项系数. bx 称为一次项，b 称为一次项系数. c 称为常数项. 探索新知 问题：x = 3是一元二次方程 x2 - 3x+2 的解吗？x = 1，2呢？ 能使一元二次方程左、右两边都相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 1. 一元二次方程的解的概念： 探索新知 问题1： 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 如果设所求的宽为 x m，我们知道 x 满足 方程： ( 8 - 2x )( 5 - 2x ) = 18 (1) x 可能小于0吗? 可能大于4吗? 可能大于2.5吗? 解：(1) x 不可能小于0， 没有意义；x 不可能大于4，此时( 8 - 2x ) 小于0，没有意义；x 不可能大于2.5，此时( 5 - 2x )小于0，没有意义； 探索新知 如果设所求的宽为 x m，我们知道 x 满足 方程： ( 8 - 2x )( 5 - 2x ) = 18 (2) 你能确定 x 的大致范围吗？ 解：(2) 0 < x <2.5 (3) 填写下表： x 0.5 1 1.5 2 (8－2x)(5－2x) 28 18 15 4 (4) 你知道所求宽度 x (m)是多少吗? 还有其他求解方法吗? 与同伴进行交流． 解：当 x =1时，(8－2x)(5－2x)=18 ∴ 方程的解为x=1 做一做 问题2：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m. 如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？ 在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足 方程: (x+6)2+72=102 也就是 x2 + 12 x - 15 = 0 在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足 方程: (x+6)2+72=102 也就是 x2 + 12 x - 15 = 0 (1) 小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗? 为什么? (2) 底端滑动的距离可能是2 m吗? 可能是3 m吗? 为什么? (3) 你能确定 x 的大致范围吗？ 解：(1)当 x =1时，x² +12x - 15 = -2 ≠0， ∴ x = 1不是方程的解 (2)当x=2时，x² +12x - 15 =13 ≠0， ∴ x = 2不是方程的解 当x=3时，x² +12x - 15 =30 ≠0， ∴ x = 3不是方程的解 (3) x 的大致范围：1< x <2 (4) x 的整数部分是几? 十分位是几? x2 + 12 x - 15 = 0 解：(1) 列表 x 0 0.5 1 1.5 2 … x2+12x - 15 -15 - 8.75 - 2 5.25 13 … ∴ x 的取值范围是：1< x <1.5 ∴ x 的取值范围是：1.1＜x＜1.2 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2 + 12x - 15 - 0.59 0.84 2.29 3.76 (2) 进一步计算： ∴ x 的整数部分是1 ，十分位是1 归纳小结 1. 估计一元二次方程的解 应先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值. 如果把一个值代入方程使得左边的计算结果小于右边的计算结果，把另一个值代入方程使得左边的计算结果大于右边的计算结果，那么方程的解就在这两个值之间. 基础练习 1. 根据下表确定方程 x2 - 8x + 7.5 = 0 的解的范围是 . x 1.0 1.1 1.2 1.3 x2 - 8x + 7.5 0.5 - 0.09 - 0.66 - 1.21 2. 为估算方程 x2 - 2x - 8 = 0 的解，填写下表，由此可判断方程 x2 - 2x - 8 = 0 的解为 ． x -2 -1 0 1 2 3 4 x2 - 2x - 8 0 -5 -8 -9 -8 -5 0 3. 五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。你能求出这五个整数分别是多少吗？ 基础练习 典例精析 例1 若 m 是方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的根，则式子 4m2 + 6m + 2019的值为 . 变式 已知 m 是方程 x2 - x - 1 = 0 的一个根，求 m(m+1)2 - m2(m+3) + 4 的值. 基础练习 4. 若一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有一个根为 x = 1，则 a+b+c = . 5. 若关于x的一元二次方程 (m - 1)x2 + 2x + m2 - 1 = 0 有一个根为0，则 m 的值是( ) A. 1 B. -1 C. ±1 D. ±2 6. 为改善校园环境，计划在一块长 80 m，宽 60 m 的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为 3500 m2，四周为宽度相等的人行走道，如图，设人行走道宽为 x m. (1) 请列出相应的方程. (2) x可能小于0吗？请说明理由. (3) x可能大于40吗？可能大于30吗？请说明理由. (4) 人行走道的宽 x 是多少？写出求解过程. 基础练习 归纳总结 2. 估计一元二次方程的解 应先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值. 如果把一个值代入方程使得左边的计算结果小于右边的计算结果，把另一个值代入方程使得左边的计算结果大于右边的计算结果，那么方程的解就在这两个值之间. 能使一元二次方程左、右两边都相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 1. 一元二次方程的解的概念： $$