1.1 认识一元二次方程 课件 2023--2024学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 2.1.1 认识一元二次方程 第一课时 温故知新 问题1：方程3x+7=9 是什么方程？ 含有一个未知数，而且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程。 列方程的关键是找等量关系. 问题2：方程的定义是什么？什么是一元一次方程？ 问题3：在应用题中，列方程的关键是什么？ 一元一次方程 探索新知 问题1： 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 解：如果设所求的宽为 x m，那么地毯中央长方形图案的长为 m，宽为　 　　 m， 根据题意，可得方程： ( 8 - 2x )( 5 - 2x ) = 18 化简得：2x2 - 13x + 11 = 0 问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为 x ，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， . 根据题意，可得方程： x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 探索新知 化简得：x2 - 8x - 20＝0 问题3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m. 如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？ 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 　　　　m. 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m 根据题意，可得方程： 化简得：x2 + 12 x - 15 = 0 探索新知 72 + (x + 6)2 = 102 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： ( 8 - 2x )( 5 - 2x ) = 18， x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2， 72 + (x + 6)2 = 102 ， 这三个方程有什么共同特点？ 议一议 观察它们化简后的结果发现： x2 - 8x - 20＝0 2x2 - 13x + 11 = 0 x2 + 12 x - 15 = 0 特点：1. 只含有一个未知数; 2. 未知数的最高次数是2; 3. 整式方程 归纳小结 1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c = 0 (a，b，c为常数， a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的一般形式： ax2+bx +c = 0 (a ，b ， c为常数，a≠0) ax2 称为二次项，a 称为二次项系数. bx 称为一次项，b 称为一次项系数. c 称为常数项. 为什么一般形式中 ax2+bx+c=0 要限制 a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 想一想 典例精析 例1 下列方程中，是一元二次方程的是 . 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 典例精析 例2 把方程 (3x + 2)2 ＝ 4(x - 3)2 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解： 方程 (3x + 2)2 ＝ 4(x - 3)2 的一般形式是 5x2 + 36x - 32 = 0 方程二次项系数是 5 ，一次项系数是 36 ，常数项是 -32. 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 1. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 2. 关于 x 的方程 (k2－1) x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0， 当 k 　　　时，是一元二次方程． 当 k 　　　时， 是一元一次方程． 典例精析 例3 某班同学毕业时都向全班其他同学各送一张自己的照片，全班共送出1190张照片，若全班有 x 名同学，根据题意，则可列出方程为 . 基础练习 3. 根据题意，列出一元二次方程并化为一般形式： (1) 有一面积为54 m2 的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ (2) 已知直角三角形的三边长为连续偶数，求它的三边长. 基础练习 4. 某学校为美化校园，准备在长35m，宽20m的长方形场地上修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图①、图②和图③所示. (阴影部分为草坪) 基础练习 请你根据这一问题，在每种方案中都列出方程 (不解方程) (1) 甲方案设计图纸为图①，设计草坪的总面积为600m2； (2) 乙方案设计图纸为图②，设计草坪的总面积为600m2； (3) 丙方案设计图纸为图③，设计草坪的总面积为540m2. 归纳总结 1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c = 0 (a，b，c为常数， a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的一般形式： ax2+bx +c = 0 (a ，b ， c为常数，a≠0) ax2 称为二次项，a 称为二次项系数. bx 称为一次项，b 称为一次项系数. c 称为常数项. $$