4.5相似三角形判定定理的证明 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第四章　图形的相似 *5　相似三角形判定定理的证明 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 课前预习 典例讲练 目录 CONTENTS 课前导入 数学 九年级上册 BS版 0 1 课前预习 三角形相似的判定定理. （1）定理一： ⁠； （2）定理二： ⁠； （3）定理三： ⁠. 两角分别相等的两个三角形相似　 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似　 三边成比例的两个三角形相似　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 课前导入 0 2 问题：相似三角形的判定方法有哪些？ ① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. ③ 三边对应成比例，两三角形相似. 导入新课 新课讲授 证明相似三角形的判定定理 在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明． 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A =∠A'，∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'． A′ B′ C′ A B C A′ B′ C′ A B 证明：在 △ABC 的边 AB (或它的延长线) 上截取 AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则∠1=∠B，∠2 =∠C， E D F 过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，则 ∴ ∴ ∵ DE∥BC，DF∥AC， ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形． ∴ DE = CF . ∴ ∴ 而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2 =∠ C， ∴ △ADE ∽ △ABC. ∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'， ∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ． ∴ △ABC ∽△A'B'C'. 1 2 我们来证明一下前面得出的结论： 证明：在△A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， 交 A′C′ 于点 E. 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′. ∴ ∵ A′D = AB, ∴ ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A，A′D = AB， ∴ △A′DE ≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC. 9 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， 求证：△ABC ∽ △A'B'C' . C′ B′ A′ B C A D E ∴ ∴ 又 ，AD = A′B′， ∴ DE = B′C′，EA = C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′，∴△A′B′C′ ∽△ABC. 证明：在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′，过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. 数学 九年级上册 BS版 0 3 典例讲练 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D ， E ， F 分别是三边上的点，且 AE ＝BF ＝CD ，那么△ ABC 与△ DEF 相似吗？请说明理由. 解：△ ABC ∽△ DEF . 理由如下： ∵△ ABC 是等边三角形，∴ AB ＝ BC ＝ AC ， ∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°.∵ AE ＝ BF ＝ CD ，∴ EB ＝ FC ＝ DA . 在△ AED 和△ BFE 中， ∴△ AED ≌△ BFE （SAS）. 同理可得，△ AED ≌△ CDF . ∴△ AED ≌△ BFE ≌△ CDF . ∴ ED ＝ EF ＝ DF . ∴△ EDF 是等边三角形. ∴∠ EDF ＝∠ A ＝∠ B ＝∠ DEF ＝60°. ∴△ ABC ∽△ DEF . 【点拨】在等边三角形三边上取三点，截取三条相等线段，无论三截点怎么变化，截出的含顶角的三个小三角形都全等，中间小三角形一定是等边三角形.特别地，若截点是各边中点，则四个三角形都是等边三角形. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在Rt△ ABC 中,已知∠ACB ＝90°,CD⊥AB 于点 D ,分别以 AC , BC 为边向三角形外部作等边三角形 ACE 和等边三角形 BCF ，连接 DE , DF . 证明：△ ADE ∽△ CDF . 证明：∵∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB ， ∴∠ CAD ＋∠ ACD ＝90°，∠ ACD ＋∠ BCD ＝90°. 又∵∠ ADC ＝∠ CDB ＝90°，∴∠ CAD ＝∠ BCD . ∴△ ACD ∽△ CBD . ∴ ＝ . ∵△ ACE 和△ BCF 都是等边三角形， ∴ AE ＝ AC ， CF ＝ CB ，∠ EAC ＝60°， ∠ FCB ＝60°. ∴ ＝ . ∵∠ EAD ＝∠ EAC ＋∠ CAD ＝60°＋∠ CAD ， ∠ FCD ＝∠ BCF ＋∠ BCD ＝60°＋∠ BCD ， ∴∠ EAD ＝∠ FCD . ∴△ ADE ∽△ CDF . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E , F 分别在边 AD ,AB 上,且 AE ＝ AF ,连接 BE ,过点 A 作 AG ⊥ BE 于点 G ，连接 CG ,FG . 求证： ＝ . 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB ＝ BC ，∠ DAB ＝90°. ∴∠ GBA ＋∠ AEG ＝90°. ∵ AG ⊥ BE ，∴∠ EGA ＝∠ AGB ＝90°. ∴∠ EAG ＋∠ AEG ＝90°. ∴∠ EAG ＝∠ GBA . ∴△ AGE ∽△ BGA . ∴ ＝ ，即 ＝ . 又∵ AE ＝ AF ， AB ＝ BC ，∴ ＝ . 【点拨】当无法证明“比例式”或“等积式”线段所在的两个三角形相似时，可以考虑“等线段替换”或者“等比替换”，将问题进行转化. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠ ABC ＝60°，点 E 是射线 CB 上一点，点 F 是线段 CD 上一点，且∠ EAF ＝120°，求证： AE · CF ＝ AF · BC . 证明：如答图，连接 AC . ∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ＝ BC ， AD ∥ BC . ∵∠ ABC ＝60°，∴△ ABC 是等边三角形. ∴∠ ACB ＝∠ BAC ＝60°， AC ＝ BC . ∵ AD ∥ BC ，∠ ABC ＝60°，∴∠ BAD ＝120°，∠ CAD ＝∠ ACB ＝∠ ACF ＝60°. 又∵∠ EAF ＝120°，∴∠ EAB ＝∠ FAD . 设∠ EAB ＝∠ FAD ＝α，则∠ E ＝∠ ABC －α＝60°－α. ∵∠ CAF ＝∠ CAD －∠ FAD ＝60°－α， ∴∠ E ＝∠ CAF . 又∵∠ ACF ＝∠ ACB ＝60°， ∴△ ACF ∽△ ECA . ∴ ＝ . ∵ AC ＝ BC ，∴ ＝ . ∴ AE · CF ＝ AF · BC . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 已知点 E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，连接 AE ，过点 E 作 EF ⊥ AE 于点 E ，分别交 AC ,CD 于点 M , F . 过点 B 作 BG ⊥ AC 于点 G ，交 AE 于点 H . （1）如图1，求证：△ ABE ∽△ ECF ； 图1 （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ ABE ＝∠ ECF ＝90°. ∵ EF ⊥ AE ， ∴∠ AEB ＋∠ FEC ＝90°. 又∵∠ AEB ＋∠ BAE ＝90°， ∴∠ BAE ＝∠ CEF . ∴△ ABE ∽△ ECF . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）如图1，找出与△ ABH 相似的三角形，并证明； 图1 （2）解：△ ECM ∽△ ABH . 证明如下： ∵ BG ⊥ AC ， ∴∠ ABG ＋∠ BAG ＝90°. ∵∠ ACB ＋∠ BAC ＝90°， ∴∠ ECM ＝∠ ABH . 由（1）知，∠ CEM ＝∠ BAH ， ∴△ ECM ∽△ ABH . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）如图2，若点 E 是 BC 的中点， BC ＝2 AB ， AB ＝2，求 EM 的长. 图2 （3）解：如图，作 MR ⊥ BC ，垂足为 R . ∵ BC ＝2 AB ，点 E 是 BC 的中点， ∴ BE ＝ EC ＝ AB ＝2.∴∠ AEB ＝45°. ∴∠ MER ＝45°. ∴ MR ＝ ER .易知△ MRC ∽△ ABC ， ∴ ＝ .∴ MR ∶ RC ＝ AB ∶ BC ＝ . ∴ CR ＝2 MR . ∴ MR ＝ ER ＝ EC ＝ ×2＝ . 在Rt△ EMR 中，由勾股定理， 得EM ＝ ＝ ＝ . 【点拨】注意数形结合思想的应用，以及有两组角对应相等的 两个三角形相似的判定定理的应用. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A ， C 分别在 x 轴和 y 轴上，四边形 AOCB 为矩形， AB ＝16， BC ＝12，点 D 与点 A 关于 y 轴对称.点 E ， F 分别是线段 AD ， AC 上的动点（点 E 不与点 A ， D 重合），且∠ CEF ＝∠ ACB . （1）求 AC 的长与点 D 的坐标； （2）说明△ AEF 与△ DCE 相似； （3）若△ EFC 为等腰三角形，且 EF ＝ FC ，求点 E 的坐标. 解：（1）在Rt△ ABC 中，∵ BC ＝12， AB ＝16， ∴ AC ＝ ＝20. ∵点 D 与点 A 关于 y 轴对称， 四边形 ABCO 为矩形， ∴ OD ＝ OA ＝ BC ＝12.∴ D （12，0）. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）说明△ AEF 与△ DCE 相似； 解：（2）∵点 D 与点 A 关于 y 轴对称， ∴∠ CDE ＝∠ CAO . ∵∠ CEF ＝∠ ACB ，∠ ACB ＝∠ CAO ， ∴∠ CDE ＝∠ CEF . 又∵∠ AEC ＝∠ AEF ＋∠ CEF ＝∠ CDE ＋∠ DCE ， ∴∠ AEF ＝∠ DCE . ∵∠ EAF ＝∠ CDE ，∠ AEF ＝∠ DCE ， ∴△ AEF ∽△ DCE . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）若△ EFC 为等腰三角形，且 EF ＝ FC ，求点 E 的坐标. 解：（3）如图，过点 F 作 FM ⊥ CE 于点 M ，则点 M 为 CE 的中点. ∴ CE ＝2 ME . ∵∠ EMF ＝∠ CBA ＝90°，∠ CEF ＝∠ ACB ， ∴△ EMF ∽△ CBA . ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ ME ＝ EF . ∴ CE ＝ EF . ∵点 D 与点 A 关于 y 轴对称， ∴ CD ＝ AC ＝20. ∵△ AEF ∽△ DCE ，∴ ＝ .∴ AE ＝ . ∴ OE ＝ AE － OA ＝ . ∴点 E 的坐标为 . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$