精品解析：河北省雄安新区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期期末学业质量监测 八年级数学（人教版） 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2.答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 3.答案须用黑色字迹的签字笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若二次根式有意义，则值不可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 1.5 D. 2 2. 若函数是正比例函数，则的值为（ ） A. -7 B. 7 C. 0 D. 1 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 表中记录了甲、乙、丙、丁四名学生最近三级跳远成绩的平均数与方差，根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（m） 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，7，8 D. 1，， 6. 二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过14小时的节气是（　　） A. 惊蛰 B. 立夏 C. 夏至 D. 大寒 7. 已知一次函数，且y随着x的增大而减小，则在直角坐标系内它的图象可能是（ ） A. B. C D. 8. 如图，中，，分别以为边作正方形与正方形，已知边，正方形的面积是1，则正方形的面积是（ ） A. 5 B. 3 C. D. 9. A、B、C、D、E五名学生在一次语文测验中的平均成绩是80分，而A、B、C三同学的平均成绩是78分，那么下列说法一定正确的是（ ） A. D、E的成绩比其他三个都好 B. D、E两人的平均成绩是82分 C. 最高分得主不是A、B、C、D D. D、E中至少有一个成绩不少于83分 10. 现有一矩形，借助此矩形作菱形，两位同学提供了如下方案： 方案I： 取边的中点，顺次连接这四点，围成的四边形即为所求． 方案II： 连接，作的垂直平分线交于点，连接，四边形即为所求． 对于方案Ⅰ，Ⅱ，说法正确的是（ ） A. I可行、Ⅱ不可行 B. I不可行、Ⅱ可行 C. I、Ⅱ都可行 D. I、Ⅱ都不可行 11. 某农科所利用大棚栽培技术培育一种优质瓜苗，这种瓜苗早期在农科所的温室中培养，生长到后移至大棚内，沿插杆继续向上生长到．研究表明：这种瓜苗生长的高度（）与生长的时间（天）之间的关系大致如图所示，已知瓜苗生长到时开始开花结果．下列结论不正确的是（ ） A. 这种瓜苗在温室中生长天 B. 这种瓜苗在大棚内生长的平均速度为每天长高 C. 这种瓜苗在大棚内生长时间比在温室中生长时间多天 D. 这种瓜苗开花结果时，在大棚内生长的时间为天 12. 甲、乙、丙三位同学在探索下面这道题： 如图，菱形中，与相交于点，延长至，使得，连接和． 甲说：四边形平行四边形； 乙说：若的面积为10，则菱形的面积为20； 丙说：有可能平分． 则下列说法正确是（ ） A. 只有甲和乙正确 B. 只有甲和丙正确 C. 只有乙和丙正确 D. 甲、乙、丙都正确 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．其中第16小题第一个空2分，第二个空1分） 13. __________． 14. 如图，在中，，，则的长为_________． 15. 如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1＜kx+b的解集为_____． 16. 如图，在四边形中，分别是的中点． （1）若，则__________； （2）若，则的度数为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 为了加强心理健康教育，某校组织九年级（1）班和（2）班两个班的学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如图所示的统计图． （1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数； （2）请根据上面的信息求下表中a、b、c的值． 统计量 平均数 众数 中位数 （1）班 8 8 c （2）班 a b 8 19. 有一块长方形木板，沿图中实线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）分别求出原长方形木板的长和宽； （2）求阴影部分长方形的面积． 20. 如图，平行四边形的两条对角线与相交于点是线段上的两点，连接，已知． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求证：四边形为菱形． 21. 已知一次函数． （1）补全表中自变量对应的函数值后，画出该函数的图象； 0 1 （2）若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积； （3）求时的取值范围． 22. 如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m. （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 23. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． （1）品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； （2）当时，写出的函数关系式为________； （3）如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 24. 如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期期末学业质量监测 八年级数学（人教版） 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2.答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 3.答案须用黑色字迹的签字笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若二次根式有意义，则的值不可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”列式计算即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项中的0不在范围内，故符合题意， 故选：A． 2. 若函数是正比例函数，则的值为（ ） A. -7 B. 7 C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，“形如的函数是正比例函数”．据此求解即可． 【详解】解：根据正比例函数定义可得， 故选：C． 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边平行，得，再根据平行四边形的性质得出答案即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，确定各角之间的关系是解题的关键． 4. 表中记录了甲、乙、丙、丁四名学生最近三级跳远成绩的平均数与方差，根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（m） 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】比较平均数可得甲、丙的成绩更好，比较方差可得甲的成绩更稳定，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴甲、丙的成绩更好， ∵， ∴甲的成绩更稳定， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用平均数、方差作决策．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 5. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，7，8 D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，∴不能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 6. 二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过14小时的节气是（　　） A. 惊蛰 B. 立夏 C. 夏至 D. 大寒 【答案】C 【解析】 【分析】观察横轴上哪个节气对应的白昼时长超过14小时即可． 【详解】解：根据图象可知，白昼时长超过14小时的节气由小满和夏至． 故选C． 【点睛】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是看懂所给图象． 7. 已知一次函数，且y随着x的增大而减小，则在直角坐标系内它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和性质选取答案即可． 【详解】解：由题意可得， ∵y随着x的增大而减小， ∴必过二、四象限， ∵， ∴函数图象过一、二、四象限， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数的图象性质： ①当时，图象过一、二、三象限； ②当时，图象过一、三、四象限； ③当时，图象过一、二、四象限； ④当时，图象过二、三、四象限． 8. 如图，中，，分别以为边作正方形与正方形，已知边，正方形的面积是1，则正方形的面积是（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，因为，则根据勾股定理列式，代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，分别以边作正方形与正方形， ∴ 则则正方形的面积是5 故选：A 9. A、B、C、D、E五名学生在一次语文测验中的平均成绩是80分，而A、B、C三同学的平均成绩是78分，那么下列说法一定正确的是（ ） A. D、E的成绩比其他三个都好 B. D、E两人的平均成绩是82分 C. 最高分得主不是A、B、C、D D. D、E中至少有一个成绩不少于83分 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的定义计算即可，本题考查了平均数的应用，熟练掌握平均数的意义和计算是解题的关键． 【详解】∵A、B、C、D、E五名学生在一次语文测验中的平均成绩是80分，而A、B、C三同学的平均成绩是78分， ∴D、E两人的平均成绩是分， ∴D、E两人的平均成绩比其他三个都好， ∴D、E中至少有一个成绩不少于83分 故A，B错误；D正确； 无法确定最高成绩， 故C错误； 故选D． 10. 现有一矩形，借助此矩形作菱形，两位同学提供了如下方案： 方案I： 取边的中点，顺次连接这四点，围成的四边形即为所求． 方案II： 连接，作的垂直平分线交于点，连接，四边形即为所求． 对于方案Ⅰ，Ⅱ，说法正确的是（ ） A. I可行、Ⅱ不可行 B. I不可行、Ⅱ可行 C. I、Ⅱ都可行 D. I、Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】方案Ⅰ：利用全等三角形判定，可证得，，，是全等三角形，进而得到，根据菱形判定定理得出结论； 方案Ⅱ：如图，令与的交点为，由矩形性质得，再证明，得到，即可证得四边形是平行四边形，再由对角线，根据菱形判定定理可得出结论． 【详解】解：方案Ⅰ： 四边形是矩形，为的中点， ，， ，， ， ， 四边形是菱形， 故方案Ⅰ可行． 方案Ⅱ： 如图，令与的交点为，则， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又是对角线，且， 四边形是菱形， 故方案Ⅱ可行． 故答案选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形性质，全等三角形判定与性质，菱形的判定定理，熟练掌握矩形的性质及菱形的判定定理，合理运用全等三角形判定与性质是解题关键． 11. 某农科所利用大棚栽培技术培育一种优质瓜苗，这种瓜苗早期在农科所的温室中培养，生长到后移至大棚内，沿插杆继续向上生长到．研究表明：这种瓜苗生长的高度（）与生长的时间（天）之间的关系大致如图所示，已知瓜苗生长到时开始开花结果．下列结论不正确的是（ ） A. 这种瓜苗在温室中生长天 B. 这种瓜苗在大棚内生长的平均速度为每天长高 C. 这种瓜苗在大棚内生长时间比在温室中生长时间多天 D. 这种瓜苗开花结果时，在大棚内生长的时间为天 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象即可求解． 【详解】解：A：由图象可知，瓜苗在温室中生长天，故A正确； B：瓜苗在大棚内生长的平均速度为：，故B正确； C：瓜苗在大棚内生长时间为：（天），在温室中生长时间为天，故瓜苗在大棚内生长时间比在温室中生长时间多天，故C正确； D：（天），故瓜苗开花结果时，在大棚内生长的时间为天，故D错误． 故选：D 【点睛】本题考查函数图象，从函数图象中获取信息是解题的关键． 12. 甲、乙、丙三位同学在探索下面这道题： 如图，菱形中，与相交于点，延长至，使得，连接和． 甲说：四边形是平行四边形； 乙说：若的面积为10，则菱形的面积为20； 丙说：有可能平分． 则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲和乙正确 B. 只有甲和丙正确 C. 只有乙和丙正确 D. 甲、乙、丙都正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，平行四边形的判定，以及角平分线的性质，牢记菱形的性质、角平分线的性质以及平行四边形的判定定理是解题的关键．可证明 ，，即可确定甲的说法是否正确；根据和，以及与，与之间的关系，即可确定乙的说法是否正确；过点作的垂线，交于点，判断与的大小关系，即可确定丙的说法是否正确． 【详解】①∵四边形为菱形， ∴， ． 又， ∴ ，． ∴四边形为平行四边形． 故甲的说法正确． ②∵四边形为平行四边形， ∴， ． ∵四边形为菱形， ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故乙的说法正确． ③假设平分． 如图，过点作的垂线，交于点． ∵平分，，， ∴． 又， ∴． ∵， ∴，这与相矛盾． ∴不可能平分． 故丙的说法错误． 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．其中第16小题第一个空2分，第二个空1分） 13. __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解题的关键． 先将除法转化为乘法，然后进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 14. 如图，在中，，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理和二次根式的运算，题目较为基础，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 15. 如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1＜kx+b的解集为_____． 【答案】x＜1． 【解析】 【分析】根据y=x+1确定a的值，进而可得P点坐标，由图象可得在直线x=1的左边x+1＜kx+b，进而可得不等式解集． 【详解】∵直线l1：y=x+1过点P（a，2）， ∴2=a+1， 解得：a=1， 则不等式x+1＜kx+b的解集为x＜1， 故答案为：x＜1． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确确定a的值． 16. 如图，在四边形中，分别是的中点． （1）若，则__________； （2）若，则的度数为__________． 【答案】 ①. ②. ##21度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质： （1）根据三角形的中位线定理，即可求解； （2）根据三角形的中位线定理可得，，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：（1）∵分别是的中点， ∴， ∵， ∴； 故答案为∶3 （2）∵分别是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用多项式乘以多项式展开，然后化最简二次根式进行合并即可． 小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 为了加强心理健康教育，某校组织九年级（1）班和（2）班两个班的学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如图所示的统计图． （1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数； （2）请根据上面的信息求下表中a、b、c的值． 统计量 平均数 众数 中位数 （1）班 8 8 c （2）班 a b 8 【答案】（1）（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人 （2），， 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、平均数、众数和中位数相关知识，根据统计图得出相应的数据是解题的关键． （1）先计算总人数，再根据所占百分比即可求解； （2）根据扇形统计图相关数据即可求得平均数，再利用中位数及众数的定义进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意知，（1）班和（2）班人数相等， 均为（人）， （人）． 答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人． 【小问2详解】 解：由题意知，（2）班学生测试成绩的平均数为：（分）． 由统计图可得，扇形统计图中9分的人数占，占比最多，条形统计图中第25，26个数均为8分， （2）班学生测试成绩的众数为9分，（1）班学生测试成绩的中位数为8分， ，，． 19. 有一块长方形木板，沿图中实线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）分别求出原长方形木板的长和宽； （2）求阴影部分长方形的面积． 【答案】（1）原长方形木板的长是宽是 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，求出两个正方形的边长，即可求出原长方形木板的长和宽； （2）结合图形先计算出阴影长方形的长和宽，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：原长方形的长：； 原长方形的宽：； 答：原长方形木板的长是宽是； 【小问2详解】 解：由题意得阴影部分长方形的宽：； 长：， ∴阴影部分长方形的面积是． 20. 如图，平行四边形的两条对角线与相交于点是线段上的两点，连接，已知． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定等知识点；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证明，得，进而得，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）证明平行四边形是菱形，得，再由菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形， ． 由（1）可知，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 21. 已知一次函数． （1）补全表中自变量对应的函数值后，画出该函数的图象； 0 1 （2）若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积； （3）求时的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）的面积 （3） 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数的作图及性质，交点问题，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）将与代入函数求解即可，然后描点、连线即可； （2）根据题意确定交点坐标，然后结合图形求解即可； （3）分别求出对应自变量的值，然后结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，当时，， 补全表格如下： 0 1 4 6 描点、连线，画出函数图象，如图所示． , 【小问2详解】 当时，， 解得， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为， 的面积． 【小问3详解】 当时，． 当时，． ， 随的增大而增大， 当时，的取值范围是． 22. 如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m. （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】（1）旗杆距地面3m处折断；（2）距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险． 【解析】 【分析】（1）由题意可知：AC+BC=8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因为AB=4米，即可求得AC的长；（2）易求D点距地面3-1.25=1.75米，BD=8-1.75=6.25米，再根据勾股定理可以求得AB=6米，所以6米内有危险． 【详解】（1）由题意可知：AC+BC=8米， ∵∠A=90°， ∴AB2+AC2=BC2， 又∵AB=4米， ∴AC=3米，BC=5米， ∴旗杆距地面3m处折断； （2）如图， ∵D点距地面AD=3-1.25=1.75米， ∴BD=8-1.75=6.25米， ∴AB==6米， ∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 23. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． （1）品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； （2）当时，写出的函数关系式为________； （3）如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 【答案】（1） （2） （3）小明选择品牌共享电动车更省钱，可以省元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用，理解一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据一次函数图象可得骑行10分钟后的路程和费用，由此即可求解； （2）根据的图象，运用待定系数法即可求解； （3）分别算出两种品牌的费用进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，（元），（）， ∴（元/）， 故答案为； 【小问2详解】 解：设时，，且函数图象过， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ∴， 设品牌的费用为，且图象过， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，品牌的费用为（元）， 品牌的费用为（元）， ∵，且（元）， ∴小明选择品牌共享电动车更省钱，可以省元． 24. 如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：①如图，过点E作于，于， 正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接， ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$