第4章 相似三角形单元检测【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

相似三角形 单元检测 一、单选题 1．选项图形与如图所示图形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似图形的性质，根据形状相同排除A、B、C，可得出答案． 【详解】因为相似图形的形状相同， A、B、C三个选项中的图形形状与题干所给图形形状不同，均不符合题意； D选项中的图形形状与题干所给图形形状相同，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查相似图形的概念理解，准确把握图形相似的概念是本题的解题关键． 2．下列说法正确的是（   ） A．所有的菱形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．所有的正方形都是相似形 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似图形的判定，熟练应用判定方法是解题关键．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、所有的菱形不一定是相似形，对应角不一定相等，故此选项错误； B、对应边成比例的两个多边形不一定相似，对应角不一定相等，故此选项错误； C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误； D、所有的正方形都是相似形，对应边成比例且对应角相等，故此选项正确； 故选：D 3．如图，是边上一点，连接，则添加下列条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断是解题的关键． 【详解】A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； C．当时，再由，无法判定，故此选项符合题意； D．当，即时，再由，可得出，故此选项不符合题意． 故选C． 4．如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，先由平行四边形的性质得到，，根据，得出，根据平行线分线段成比例定理得出，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故A、D不符合题意； ∴，故C符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意． 故选：C． 5．已知：，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，掌握“用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数”是解本题的关键．由可得，再代入要求值的分式中，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．0.618是黄金分割率的比值，它被认为是最美的数值．研究发现，当成人的体重（）与身高（）的比达到时，那么这个成人的体重就比较理想．若王老师的身高是，下列选项中，最接近她的理想体重的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是读懂黄金分割． 根据黄金分割直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵王老师的身高是， ∴根据题意得，体重． ∴最接近她的理想体重的是． 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为，点C的坐标为，且，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形．正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 过点A作轴于点M，过点D作轴于点N．利用相似三角形的性质求出，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于点M，过点D作轴于点N． ∵与是以点C为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵轴， 轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F．若四边形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 连接，根据三角形重心的性质可知：在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接． 点是的重心，点是边的中点， 在上，， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为，则的面积为，的面积为， 四边形的面积为6， ， ， 的面积为9， 的面积是18． 故选：B． 9．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（    ） A．增加1米 B．减少1米 C．增加2米 D．减少2米 【答案】D 【分析】此题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，则米， ∴， ，， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图， 即，，， ∴， 则米， ∴光源与小明的距离减少（米）， 故选：D． 10．如图，在正方形中，为上一点，连接与交于点，点在上，点在上，连接交于点，且，垂足为．若为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练运用相关知识，运用特殊值法与反证法是解决本题的关键．过点作于点，证明即可判断①；采用特殊值法判断②，若点是的中点，则，又，得到，从而，故②错误；过点作，交于点，交于点，证得，得到，，根据正方形的性质与得到，进而有，从而可证得，有，因此，故③正确；利用反证法证明④，假设成立，则，根据同角的余角相等推出，即，而是定值，随着点的变化而变化，故不成立，从而不成立，故④错误． 【详解】解：如图，过点作于点， ， 在正方形中，， 四边形是矩形， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ；故①正确； 如图，若点是的中点，则， 设正方形的边长为，即， ， 在中，， 点是的中点， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， 在矩形中，， 在正方形中，， ， ， ，故②错误； 过点作，交于点，交于点， ，， 点是的中点， ， ， ，， 在正方形中，平分， ， ， ， ， ， ， 由①知，， ， ， ，即， 由①得，四边形是矩形， ， ， ，， ， ，， ， ， ，故③正确； 对于④，假设成立，则， ， ， ， ， ， 是定值，随着点的变化而变化， 不成立， 不成立．故④错误． 综上所述，结论正确的有2个． 故选：B 二、填空题 11．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：由于线段，，，是成比例线段， 故， 即 解得 故答案为：． 12．如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据两三角形相似列出比例式进而求解即可． 【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则， 解得． 故答案为：3． 13．将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 【答案】2或 【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论． 【详解】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况： ①时， ， 又∵， ∴ 解得； ②时， ， ， 而，即 解得． 故的长度是2或 故答案为：2或 14．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键． 首先求出是三角形的中位线，得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理 ， 根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， 为中点， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理 ， 故答案为∶ 15．如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∵， ∴的周长：的周长， ∵的周长为4， ∴的周长为8， 故答案为：8． 16．如图，在矩形中，，若分别是边上的动点，且，与交于点，连接．则的最小值为 ．    【答案】2 【分析】通过证明相似得出，再确定点是在以为直径的上，进而确定当在同一直线上时， 最小，再用直角三角形的性质和勾股定理求解即可. 【详解】解：取的中点，连结，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴点在以为直径的上， ∴， ∴当在同一直线上时， 最小， 的最小值为：， 故答案为：2.    【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，矩形的性质和直角三角形的性质，确定点在以为直径的上是解题的关键. 三、解答题 17．已知：．（均不为） (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用内项之积等于外项之积求解即可； （）利用合比性质即可求解； 本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 18．如图，相交于点．求证∶ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，由平行线的性质，得出，再结合两个对应角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． 【详解】证明∶， ， ． 19．已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】过点作，构造平行四边形，得到，再根据平行线分线段成比例定理，得到和，结合即可得证． 【详解】证明：过点分别作，， 得到四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形性质、平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 20．如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点位似，且相似比为． (1)在轴下方，画出： (2)直接写出________． (3)直接写出的面积________． 【答案】(1)画图见解析 (2)2 (3) 【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质，确定关键点的位似对应点是解题的关键． （1）分别确定关于的位似对应点，再顺次连接即可； （2）由位似图形的性质可得答案． （3）利用割补法求解三角形的面积即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； ． （2）解：由位似图形的性质可得：； （3）解：． 21．如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分． (1)求证：． (2)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得：，由等边对等角得出，从而得出，再由角平分线的定义得出，即可证明； （2）由题意得出，由相似三角形的性质得出，从而即可得解． 【详解】（1）证明：由题意得：， ， ， 平分， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 22．赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度． 【答案】28米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据已知条件推出，，得到，，代入已知数据计算即可求解． 【详解】解：由题意可得， ，， ，， ，， ，， 解得． 凤凰雕塑顶端到地面的高度为28米． 23．综合与实践：根据以下素材，探索完成任务 问题：你了解黄金矩形吗？ 问题背景 素材一矩形就是长方形，四个角都是，两组对边平行且相等 素材二 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙．    素材三 我们在学习二次根式时．常遇到这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化”． 例如： 素材四 黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的 操作步骤 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图4中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图5）就是黄金矩形．    解决问题 任务一 化简： 任务二 设为，请用含的式子表示，并证明矩形是黄金矩形    任务三 如图5，若，连接，求点到线段的距离（提示：等面积法） 【答案】任务一：；任务二：，理由见解析；任务三： 【分析】本题考查了黄金分割、矩形与折叠及分母有理化问题，解决本题的关键是熟练掌握黄金分割、矩形与折叠及分母有理化． （1）对原式进行分母有理化即可； （2）设，根据题意可得，，，由勾股定理可得，从而可得，再求解即可； （3）由黄金矩形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】任务一： 任务二：解：设， 根据题意可得，，， ， 根据勾股定理可得， ， 矩形是黄金矩形. 任务三：矩形是黄金矩形 ，即， 设点到线段的距离为， ， . 点到线段的距离. 24．【问题提出】在中，，一动点D从点A出发，沿折线运动，连接，将绕点D顺时针旋转90°得到，连接，若点D在上的运动速度为，在上的速度为，设运动的时间为t（s），围成的图形的面积为，探究S与t的关系； 【初步感知】某数学活动小组在研究此类动点问题时，想利用数形结合的思想，通过画图象来解决此类问题． （1）如图1，当点D在线段上时，经探究发现S与t的函数图象如图所示，求所在直线的表达式； 【延伸探究】 （2）若存在3个时刻、、（）对应的的面积均相等． ①________； ②当时，求的面积S的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质； （1）取中点，证明，得到，即可得到S与t的函数关系； （2）①分别求出三种情况下的函数解析式，再根据的面积均相等可得，即可得到的值； ②由可得，，代入解方程计算即可． 【详解】（1）当点D在线段上时，取中点，连，则，，， ∵将绕点D顺时针旋转90°得到， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 当点D在线段上时，，，， ∴， ∴， 当点D在线段上时，，，， ∴， ∴， ∴所在直线的表达式为； （2）①当点D在线段上时，，，， 由题意可得，， ∴， ∴ ∴， ∴， 过作于，则， ∴， ∴， ∵存在3个时刻、、（）对应的的面积均相等， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 相似三角形 单元检测 一、单选题 1．选项图形与如图所示图形相似的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．所有的菱形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．所有的正方形都是相似形 3．如图，是边上一点，连接，则添加下列条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知：，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 6．0.618是黄金分割率的比值，它被认为是最美的数值．研究发现，当成人的体重（）与身高（）的比达到时，那么这个成人的体重就比较理想．若王老师的身高是，下列选项中，最接近她的理想体重的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为，点C的坐标为，且，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F．若四边形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 9．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（    ） A．增加1米 B．减少1米 C．增加2米 D．减少2米 10．如图，在正方形中，为上一点，连接与交于点，点在上，点在上，连接交于点，且，垂足为．若为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 12．如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面 ． 13．将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 14．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 15．如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为 ． 16．如图，在矩形中，，若分别是边上的动点，且，与交于点，连接．则的最小值为 ．    三、解答题 17．已知：．（均不为） (1)求的值； (2)求的值． 18．如图，相交于点．求证∶ 19．已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 20．如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点位似，且相似比为． (1)在轴下方，画出： (2)直接写出________． (3)直接写出的面积________． 21．如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分． (1)求证：． (2)当时，求的值． 22．赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度． 23．综合与实践：根据以下素材，探索完成任务 问题：你了解黄金矩形吗？ 问题背景 素材一矩形就是长方形，四个角都是，两组对边平行且相等 素材二 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙．    素材三 我们在学习二次根式时．常遇到这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化”． 例如： 素材四 黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的 操作步骤 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图4中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图5）就是黄金矩形．    解决问题 任务一 化简： 任务二 设为，请用含的式子表示，并证明矩形是黄金矩形    任务三 如图5，若，连接，求点到线段的距离（提示：等面积法） 24．【问题提出】在中，，一动点D从点A出发，沿折线运动，连接，将绕点D顺时针旋转90°得到，连接，若点D在上的运动速度为，在上的速度为，设运动的时间为t（s），围成的图形的面积为，探究S与t的关系； 【初步感知】某数学活动小组在研究此类动点问题时，想利用数形结合的思想，通过画图象来解决此类问题． （1）如图1，当点D在线段上时，经探究发现S与t的函数图象如图所示，求所在直线的表达式； 【延伸探究】 （2）若存在3个时刻、、（）对应的的面积均相等． ①________； ②当时，求的面积S的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$