专题02 数轴上的九类动态模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版2024）

专题02 数轴上的九类动态模型 数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 2 模型2.单（多）动点匀速模型 5 模型3.单（多）动点变速模型 8 模型4.动点往返运动模型 13 模型5.动态中点与n等分点模型 16 模型6.动态定值（无参型）模型 19 模型7.动态定值（含参型）模型 23 模型8.数轴折叠（翻折）模型 26 模型9.数轴上的线段移动模型 29 33 【知识储备】 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB的中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）在数轴上，点表示原点，现将点A从点开始沿数轴如下移动，第一次点A向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 例2．（2023·山东·七年级期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 变式1．（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且|a+6|+（b+3）2=0，又b，c互为相反数．    （1）求a，b，c的值．（2）若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向右移动2个单位长度；第3次向左移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向右移动6个单位长度；第7次向左移动7个单位长度；第8次向左移动8个单位长度…依次操作第2019次移动后到达点P，求P点表示的数． 变式2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，点的初始位置位于数轴上的原点，现对点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点，第2次从点向左移动4个单位长度至点，第3次从点向右移动7个单位长度至点，第4次从点向左移动10个单位长度至点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 ．这样移动2023次后该点到原点的距离为 ． 模型2.单（多）动点匀速模型 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1．（2023·河北·邯郸七年级阶段练习）在数轴上标出数所对应的点；两点间距离=____；两点间距离= ；数轴上有两点，点对应的数为，点对应的数为，那么两点之间的距离= ；若动点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设运动时间为，问：①为何值时两点重合？②为何值时两点之间的距离为？ 变式1．（23-24七年级上·山西晋中·期中）综合与探究：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：    (1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来． (2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示______的点重合；②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____．(3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒．①当时，求甲、乙两个小球之间的距离；②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离． 变式2．（2023·江苏七年级课时练习）已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 模型3.单（多）动点变速模型 例1．（2023·湖北·七年级阶段练习）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．(1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值；②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 变式1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．(1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值；②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 变式2．（2023·重庆·七年级期中）数轴上点A表示－12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．（1）当秒时，求M，N两点在折线数轴上的和谐距离； （2）当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值； （3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由． 模型4.动点往返运动模型 例1．（2023·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数．(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 变式1．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题：(1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ；(2)①时，那么 ， ；②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个；(3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．①当 时，；②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 变式2．（2023春·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 模型5.动态中点与n等分点模型 例1．（2023·成都市七年级期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且，动点以点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数_________；点表示的数_________（用含的代数式表示）． （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，问多少秒时、之间的距离恰好等于2？（3）若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 变式1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①对应的数是；②点到达点时，；③时，；④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A． B． C． D． 变式2．（2023·吉林·七年级期末）点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d（d≥0）个单位长度．（1）当t＝1时，d＝　 　；（2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；（4）当d＝5时，直接写出t的值． 模型6.动态定值（无参型）模型 设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当代数式的计算结果中不含有未知数t，则代数式为定值。 例1．（2023·成都·七年级专题练习）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且（a+2）2+|b﹣4|＝0，记AB＝|a﹣b|． （1）求AB的值；（2）如图，点P、Q分别从点A、B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，当BQ＝2BP时，P点对应的数是多少？ （3）在（2）的条件下，点M从原点与P、Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（1＜x＜2），若在运动过程中，2MP—MQ的值与运动的时间t无关，求x的值． 变式1.（2023·福建·厦门市七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；(1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.） (3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样　. 变式2．（2023·山东·七年级统考期中）问题一： 如图1，数轴上的点A表示2，点B表示5，点C表示7，易得，我们记为． (1)现将数轴的原点向左拖动1个单位长度，如图2所示，此时还成立吗？若不成立，怎样移动点C就能使之成立？(2)若将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使成立，应该怎样移动点C？ (3)若点A表示m，点B表示n，点C表示t，如果，那么仍然有．现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，①为了使成立，应该怎样移动点C？②为使成立，应该怎样移动点B？ 问题二：如图3，数轴上的点A表示，点B表示1，点C表示5，易得，我们记为． (4)现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，还成立吗？请说明理由． (5)若点A表示m，点B表示n，点C表示t，当m，n，t满足什么关系时，都能使成立？ 模型7.动态定值（含参型）模型 例1．（2023·浙江·七年级专题练习）已知：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|c|>|a|． （1）若|a+10|=20，b2=400，c的相反数是30，求a、b、c的值； （2）在（1）的条件下，a、b、c分别是A、B、C点在数轴上所对应的数， ①线段AC的长是________，将数轴折叠使得点A和点C重合，则折痕处在数轴上表示的数是__________ ②数轴上是否存在一点P，使得P点到C点的距离加上P点到A点的距离减去P点到B点的距离为50，即PC+PA−PB=50?若存在，求出P点在数轴上所对应的数；若不存在，请说明理由；③点C，B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点A以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得3CA+2mOB-mOA为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由. 变式1．（2023·江苏·七年级专题练习）已知a、b满足，，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C． (1)则______，______，______．(2)点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为中点，当点D运动时，线段的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值； (3)若点A、B、C在数轴上运动，其中点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A和点B分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动请问：是否存在一个常数m使得不随运动时间t的改变而改变若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 例1．（2023·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ； （2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ； （3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 变式1．（2023·浙江·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合； （2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 变式2．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 模型9.数轴上的线段移动模型 例1．（2023·广东佛山·七年级阶段练习）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15． （1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______； （2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？ 变式1．（2023·山东济南·七年级期末）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8． (1)求m和n的长度；(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）； ②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值． 变式2．（2023·河南信阳·七年级校考期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣12|+（n+3）2＝0 （1）则m＝　 　，n＝　 　；（2）①情境：有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为　 　个单位长度：②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？（3）在（2）①的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB运动后对应的位置为A′B′．是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 1．（2023·浙江宁波·七年级期末）如图，数轴上点表示的数分别为现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动当时，运动的时间为 (  ) A．15秒 B．20秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒 2．（2023·浙江邵外七年级阶段练习）如图所示，A、B是数轴上的两点，O是原点，AO=10，OB=15，点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，设运动的时间为t（t≥0） 秒，M、Q两点到原点O的距离相等时，t的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）数轴上有一动点，从原点出发沿着数轴移动，第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 4．（2023·广东广州·七年级期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒．（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t． 5．（2023·河北·景县七年级期中）自主学习：连接两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离． [问题1]数轴上任意两点之间的距离与这两点对应的数的关系．观察数轴如图，填空： ①点与点的距离是2；②点与点的距离是________；③点与点的距离是________； [发现1]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则、两点之间的距离是________（用含，的代数式表示） 如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点． [问题2]以数轴上任意两点为端点的线段中点所表示的数与这两个点对应的数的关系． ①的中点表示的数是1；②的中点表示的数是________；③的中点表示的数是________； [发现2]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是________（用含，的代数式表示） [应用]在数轴上，点表示的数为-6，且、两点之间的距离是9，则线段的中点表示的数是______． 6．（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．(1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ；(2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为．①求点、对应的数（用含的式子表示）；②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度．    7．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 0 _____空（1）______ B点在数轴上的位置 _______空（2）____ (2)A、B两点在___________秒时相遇，相遇点对应的数是___________； (3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离小于或等于6时会一直发出震动提示．则A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？提示持续多长时间？ 8．（23-24七年级上·湖北荆门·期中）已知有理数a，b，c在数轴上所对应的点分别是A，B，C三点，且a，b，c满足：① 多项式是关于x的二次三项式；② b是最小的正整数；③，且点C在原点的右边．数轴上 A， B 两点间的距离记作 AB．    (1)请在数轴上描出A，B，C三点，并直接写出A，C两点之间的距离AC＝_____； (2)若数轴上有一动点P，且满足，求点P表示的数； (3)若点A在数轴上以每秒1个单位的速度向左运动，同时点B和点C在数轴上分别以每秒m个单位长度和4个单位长度的速度向右运动（其中），若在整个运动过程中，点B到点C的距离与点B到点A的距离差始终不变，求运动几秒后点B与点A的距离为18个单位长度． 9．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位长度，点N从点B出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位长度．（1）求A、B两点的距离为　 　个单位长度． （2）若点M向右运动，同时点N向左运动，求经过多长时间点M与点N相距54个单位长度？ （3）若点M、N、P同时都向右运动，当点M与点N相遇后，点M、P继续以原来的速度向右运动，点N改变运动方向，以原来的速度向左运动，求从开始运动后，经过多长时间点P到点M、N的距离相等？ 10．（23-24七年级上·安徽六安·期末）结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 11．（2023·江苏·七年级专题练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c满足．（1）填空：______，______，______；（2）点A，B，C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度，1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．①当AC长为6时，求t的值；②当点A在点C左侧时（不考虑点A与B，C重合的情况），是否存在一个常数m使得的值在某段运动过程中不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 12．（2023·江苏无锡·七年级期末）在数轴上，点A表示，点B表示20，动点P、Q分别从A、B两点同时出发．(1)如图1，若P、Q相向而行6秒后相遇，且它们的速度之比是2：3（速度单位：1个单位长度/秒），则点P的速度为 个单位长度/秒，点Q的速度为 个单位长度/秒； (2)如图2，若在原点O处放一块挡板．P、Q均以（1）中的速度同时向左运动，点Q在碰到挡板后（忽略球的大小）改变速度并向相反方向运动，设它们的运动时间为t（秒），试探究： ①若点Q两次经过数轴上表示12的点的间隔是5秒，求点Q碰到挡板后的运动速度； ②若点Q碰到挡板后速度变为原速度的2倍，求运动过程中P、Q两点到原点距离相等的时间t． 13．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在数轴上，点表示的数为，点是数轴上位于点右侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设点的运动时间为秒．    (1)点表示的数是______．(2)①点表示的数是______（用含的代数式表示）． ②当点将线段分成的两部分的比为：时，求的值． (3)若点从原点出发，沿数轴移动，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，， ①点第次移动后，表示的数是______． ②点在运动过程中，______（填“能”或“不能”）与点重合，当点与重合时，移动了______次． 14．（2023·湖南·凤凰县七年级期末）已知：A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，O表示原点，且，P是数轴上的一个动点． (1)在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离． (2)已知线段OA上有点C且|AC|=9，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数． (3)在（2）的条件下，点P第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度第四次向左移动7个单位长度，点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请指出，第几次移动与哪一点重合？ 15．（2023·重庆·七年级校考期中）数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等． (1) 则a=______，b=_______．(2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后CB与AO处于水平位置，线段O处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数，记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中AO、OC、CB代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍，动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿CB方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中： (2) ①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少． ②是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 16．（2023·吉林长春·七年级期末）定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数-1，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数-7，点N表示数2． （1）①求的美好点表示的数为__________．②求的美好点表示的数为_____________． （2）数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动．设点P运动的时间为t秒，当点P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点时，求t的值． 17．（2023·安徽合肥·七年级期中）如图，、两点在数轴上，这两点在数轴对应的数分别为、．点、分别从，两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是个单位/秒、个单位/秒，它们运动的时间为秒，点对应的数是．（规定：数轴上两点，之间的距离记为） （1）如果点、在、之间相向运动，当它们相遇时，_____，此时点所走的路程为______，点所走的路程为______，则点对应的数是_______； （2）如果点、都向左运动，当点追上点时，求点对应的数； （3）如果点、在点、之间相向运动，当时，求点对应的数； 18．（2023·浙江·七年级期中）已知数轴上三点对应的数分别为，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为。（1）三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点（把一条线段分成相等部分的点），那么的值是_________．（2）数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是7？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．（3）如果点以每分钟3个单位长度的速度从原点向右运动时，点和点分别以每分钟4个单位长度和每分钟1个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么几分钟后，三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点 19．（2023·黑龙江·七年级期中）已知：且、、分别是点、、在数轴上对应的数.（1）求点与点的距离；（2）若甲、乙两个动点分别从、两点同时出发，沿数轴正方向运动，它们的速度分别是2和1（单位长度/秒），求甲追上乙时所用的时间； （3）在（2）的条件下，甲动点向数轴正方向运动，乙动点向数轴负方向运动.当甲动点开始运动时，丙动点以4个单位长度/秒的速度和甲动点同时从点向数轴正方向运动，当丙动点遇到乙动点时立即返回向数轴负方向运动，当遇到甲动点时也马上返回，如此往复直到甲乙两动点相遇则停止运动，设甲乙两动点在点处相遇，求从开始到停止运动，丙动点走的总路程以及点对应的数字. 20．（2023·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴上的九类动态模型 数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 2 模型2.单（多）动点匀速模型 5 模型3.单（多）动点变速模型 8 模型4.动点往返运动模型 13 模型5.动态中点与n等分点模型 16 模型6.动态定值（无参型）模型 19 模型7.动态定值（含参型）模型 23 模型8.数轴折叠（翻折）模型 26 模型9.数轴上的线段移动模型 29 33 【知识储备】 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB的中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）在数轴上，点表示原点，现将点A从点开始沿数轴如下移动，第一次点A向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】 【分析】观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动，然后再观察每两次平移，点A实际移动的距离，然后计算，即可解答． 【详解】解：观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动； 第一次向左平移一个单位，第二次向右平移两个单位，实际向右平移个单位； 第三次向左平移三个单位，第四次向右平移四个单位，实际向右平移个单位； 第次向左平移一个单位，第次向右平移两个单位，实际向右平移单位；则第100次A点距原点距离为：． 即当时，点与原点的距离是个单位．故答案为： 【点睛】本题是一道规律型试题，通过观察、思考寻找解题思路，其中找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键． 例2．（2023·山东·七年级期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值． 【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列举知①②正确，符合题意； 由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m． ∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22， ∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③错误，不合题意； ∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404， 故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数． 变式1．（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且|a+6|+（b+3）2=0，又b，c互为相反数．    （1）求a，b，c的值．（2）若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向右移动2个单位长度；第3次向左移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向右移动6个单位长度；第7次向左移动7个单位长度；第8次向左移动8个单位长度…依次操作第2019次移动后到达点P，求P点表示的数． 【答案】（1）a=-6，b=-3，c=3；（2）-2.4；（3）-3 【分析】（1）根据非负数的性质得到a和b，根据相反数的定义得到c值； （2）向左为正，向右为负，根据题意列出算式，计算可得答案． 【详解】解：（1）∵|a+6|+（b+3）2=0，b，c互为相反数， ∴a+6=0，b+3=0，∴a=-6，b=-3，c=3； （2）由题意可得：每4次运动为一组，电子蚂蚁向左移动了4个单位长度， ∵2019÷4=504…3，可得：第2019次： -3+（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（2013+2014-2015-2016）+2017+2018-2019 =-3+（-4）×504+2017+2018-2019=-3 【点睛】本题主要考查了数轴，非负数的性质，规律型问题，有理数的混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，列出相应算式． 变式2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，点的初始位置位于数轴上的原点，现对点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点，第2次从点向左移动4个单位长度至点，第3次从点向右移动7个单位长度至点，第4次从点向左移动10个单位长度至点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 ．这样移动2023次后该点到原点的距离为 ． 【答案】 7 3034 【分析】本题考查数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 依次求出每次移动后点所对应的数，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，移动1次后该点对应的数为1；移动2次后该点对应的数为； 移动3次后该点对应的数为；移动4次后该点对应的数为； 移动5次后该点对应的数为；…， 所以移动n次后该点对应的数为（n为奇数）； 又因为 当时，原式， 即移动2023次后该点对应的数为3034，所以该点到原点的距离为3034．故答案为：7，3034． 模型2.单（多）动点匀速模型 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1．（2023·河北·邯郸七年级阶段练习）在数轴上标出数所对应的点；两点间距离=____；两点间距离= ；数轴上有两点，点对应的数为，点对应的数为，那么两点之间的距离= ；若动点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设运动时间为，问：①为何值时两点重合？②为何值时两点之间的距离为？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）（4）①；②2或4 【分析】直接根据数轴上的点与有理数的对应关系即可得出答案； 用数轴上右边的点对应的有理数减去左边点对应的有理数即可求出距离； 根据距离等于两点表示的数之差的绝对值即可得出答案； ①分别用含t的代数式表示出P，Q表示的有理数，通过题意建立方程，解方程即可； ②根据两点之间的距离为1，建立方程，解方程即可． 【详解】如图， 之间的距离为，B，C两点间距离为； 两点之间的距离为； ①设点表示的数为，点表示的数为，令解得， ②间的为，令解得． 【点睛】本题考查数轴上的点与有理数，掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键． 变式1．（23-24七年级上·山西晋中·期中）综合与探究：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：    (1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来． (2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示______的点重合；②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____．(3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒．①当时，求甲、乙两个小球之间的距离；②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离． 【答案】(1)在数轴上把数表示见解析，用“＜”将它们连接起来为 (2)①6；②(3)①甲、乙两个小球之间的距离为3；②甲、乙两个小球之间的距离为 【分析】（1）根据数轴的点的表示解答即可；（2）①根据题意找出对称轴即可；②根据题意列出方程即可；（3）①当时，小球甲在的位置表示的数为，小球乙在的位置表示的数为2，据此回答即可；②设运动的时间为t，根据题意列出代数式即可． 【详解】（1）如图所示．      用“＜”将它们连接起来为． （2）由题意得：折叠点与数轴的交点表示的数为， ，所以表示的点与表示6的点重合，故答案为：6， 设点A表示的数为x，则点B表示的数为，可得，解得：故答案为：； （3）①当时，小球甲在的位置表示的数为，小球乙在的位置表示的数为2， 所以甲、乙两个小球之间的距离为． ②运动前，甲、乙两个小球之间的距离为． 当时，甲、乙两个小球之间的距离为； 当时，甲、乙两个小球之间的距离为．所以甲、乙两个小球之间的距离为． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，一元一次方程的应用，利用数轴比较有理数的大小，明确对折点所表示的数以及数轴上两点之间距离的计算方法是解决问题的关键． 变式2．（2023·江苏七年级课时练习）已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2，列式计算即可． 【详解】根据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2， ∴8-7t=4-2t或7t-8=4-2t，解得t=或，故选C． 【点睛】本题考查了数轴上两动点间的距离，用定数，运动距离表示动点表示的数是解题的关键． 模型3.单（多）动点变速模型 例1．（2023·湖北·七年级阶段练习）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．(1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值；②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 【答案】（1）；（2）①19s；②；（3）当秒时，． 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性计算即可求出a和b的值，再根据两点间的距离公式即可求出AC的长度； （2）①分别求出AO，BO和BC的距离，再根据“时间=路程÷速度”计算即可得出答案；②设P点在数轴上所对应的数为y，根据题意列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出MD和ND，令MD=ND，解方程即可得出答案. 【详解】解：（1）； （2）①∵∴ ∴动点从点运动至点时，； ②设两点在点相遇，点在数轴上所对应的数为． 易知点落在线段段，依题意有: 解得: ∴两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数为． （3）若点为线段中点，则D在数轴上表示的数为5 设时间为t时，MD=ND ①当点N在CB上，点M在AO上运动时，M=-10+2t，N=18-t 则MD=15-2t，ND=13-t 即15-2t=13-t，解得t=2； ②当点N在CB上，点M在OD上运动时，M=t-5，N=18-t 则MD=10-t，ND=13-t 即10-t=13-t,无解； ③当点N在OB上，点M在OD上运动时，M=t-5,N=10-2(t-8) 则MD=10-t，ND=5-2(t-8) 即10-t=5-2(t-8)，解得t=11； ④当点N在OB上，点M在DB上运动时，M=t-5，N=26-2t 则MD=t-10，ND=21-2t 即t-10=21-2t，解得t=； ⑤当点N在OA上，点M在BC上运动时，M=2t-20，N=13-t 则MD=2t-25，ND=t-8 即2t-25=t-8，解得t=17； 综上所述，当秒时，． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，难度偏高，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 变式1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．(1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值；②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 【答案】（1）；（2）①19s；②；（3）当秒时，． 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性计算即可求出a和b的值，再根据两点间的距离公式即可求出AC的长度； （2）①分别求出AO，BO和BC的距离，再根据“时间=路程÷速度”计算即可得出答案；②设P点在数轴上所对应的数为y，根据题意列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出MD和ND，令MD=ND，解方程即可得出答案. 【详解】解：（1）； （2）①∵ ∴ ∴动点从点运动至点时，； ②设两点在点相遇，点在数轴上所对应的数为． 易知点落在线段段，依题意有: 解得: ∴两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数为． （3）若点为线段中点，则D在数轴上表示的数为5 设时间为t时，MD=ND ①当点N在CB上，点M在AO上运动时，M=-10+2t，N=18-t 则MD=15-2t，ND=13-t 即15-2t=13-t，解得t=2； ②当点N在CB上，点M在OD上运动时，M=t-5，N=18-t 则MD=10-t，ND=13-t即10-t=13-t,无解； ③当点N在OB上，点M在OD上运动时，M=t-5,N=10-2(t-8) 则MD=10-t，ND=5-2(t-8)即10-t=5-2(t-8)，解得t=11； ④当点N在OB上，点M在DB上运动时，M=t-5，N=26-2t 则MD=t-10，ND=21-2t即t-10=21-2t，解得t=； ⑤当点N在OA上，点M在BC上运动时，M=2t-20，N=13-t 则MD=2t-25，ND=t-8 即2t-25=t-8，解得t=17； 综上所述，当秒时，． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，难度偏高，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 变式2．（2023·重庆·七年级期中）数轴上点A表示－12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒． （1）当秒时，求M，N两点在折线数轴上的和谐距离； （2）当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值； （3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）15；（2）秒或秒；（3）存在，或 或 【分析】（1）当秒时，求出点和点在数轴上相距的长度单位，点和点在数轴上相距的长度单位，据此求出、和谐距离即可； （2）分两种情况：当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，分别列出方程，然后求解即可； （3）分六种情况：①当点在，点在上运动时， ②当点在，点在上运动时，③当点，点在上运动时， ④当点在，点在上运动时， ⑤当点在，点在上运动，且点没有返回时，⑥当点在，点在上运动，且点返回时，分别列出方程，然后求解即可． 【详解】解：（1）当秒时，点和点在数轴上相距个长度单位， 即点在数轴上表示的点是 点和点在数轴上相距个长度单位，即点在点的位置上，在数轴上表示的点是12， 则、和谐距离是：个单位长度； （2）如图示： 点运动到点位置时，用的时间是：秒， 当点在折线数轴上运动4秒时，则在上的运动时间是秒，在上的运动时间是秒， 则，∴，设点，点在在上的运动时间是， 当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时， 依题意得：，解得：，∴总用时是：秒； 当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时， 依题意得：，解得：，∴总用时是：秒； 综上所述，当运动秒或秒时，M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度； （3）存在，理由如下：根据题意可知，点在上的运动，并没返回时，使用的时间是秒，点在上的运动，使用的时间是秒， 可得，点在到达点时，继续返回运动了2秒， ①当点在，点在上运动时，依题意得：解得：，不合题意，舍去； ∵点在到达点时，使用的时间是秒，先于点在上运动， ②当点在，点在上运动时，依题意得：解得：； ③当点，点在上运动时，依题意得：解得：； ④∵点在到达点时，使用的时间是秒，先于点到达点， 当点在，点在上运动时，无法找到任一点，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故不存在这样的时间； ⑤当点在，点在上运动，且点没有返回时，依题意得： 解得：，不合题意，舍去； ⑥当点在，点在上运动，且点返回时，依题意得： 解得：； 综上所述，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等的时间是：或或； 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，利用分类讨论思想，对题目进行分析解答是解题的关键． 模型4.动点往返运动模型 例1．（2023·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数．(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)(2)存在，x的值为2或(3)24 【分析】（1）根据题意可得，利用中点解题； （2）此题分为三种情况，当P在之间时，当点P在B的右边时，当点P在A的左边时，分别列出方程求解即可；（3）设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：进而求出即可． 【详解】（1）解：∵A、B两点之间的距离为，P到A、B两点的距离相等， ∴，∴点P对应的数为； （2）解：①当P在AB之间时，． ②当P在A点左侧时，，解得：； ③当P在B点右侧时，，解得：， 故当点P对应数x的值为2或时，点P到A、B两点距离之和为6； （3）解：设经过x分钟点A与点B重合，由题意可得，点P运动的时间即为点A追上点B的时间， ∴，解得，∴， 故当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是24． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解此题的要点在于根据数轴得出点的位置． 变式1．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题：(1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ；(2)①时，那么 ， ；②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．①当 时，；②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 【答案】(1)①；②或3；(2)①；2；②4； (3)①2或4；②当时，；当时，；当时，；当时， 【分析】此题主要考查有理数与数轴的应用，（1）①根据A、B两点之间的距离公式即可求解； ②根据及A、B两点之间的距离公式分情况讨论即可求解；（2）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和2的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数x的值，即可求解；（3）①先求出点D、点E所表示的数，分当点P还没到达E点时、当点P到达E点返回时两种情况讨论，可得t的值；②根据P点位置分情况讨论，用含t的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【详解】（1）∵点A表示数x，点B表示数1，∴A、B两点之间的距离表示为； ②点A表示数x，点B表示数1， ∵，∴∴或∴或 故答案为：①；②或3； （2）①∵，∴，，∴，， ②代数式的含义为点到和2的距离之和， ∴当x的值为这4个值时，的最小值为3， 即相应的整数x的个数为4个；故答案为：①；2；②4； （3）①在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5， ∴点D表示的数是，点E表示的数是5，D、E之间的距离， ∵点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动，∴ ∵∴点P还没到达E点时，（秒）， 当点P到达E点返回时，（秒），故答案为：2或4； ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，；当时，；当时，；当时，． 变式2．（2023春·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1(2)或4(3)点P所经过的总路程是个单位长度 【分析】（1）若点P对应的数与、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等． （2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程． 【详解】（1）∵，2的绝对值是2， ，的绝对值是2，∴点P对应的数是1． （2）当P在之间，（不可能有） 当P在A的左侧，，得 当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得：，解得．则． 答：点P所经过的总路程是个单位长度． 【点睛】此题考查动点问题，解题关键是正确表示点和点直接的距离，以及根据数量关系列方程求解． 模型5.动态中点与n等分点模型 例1．（2023·成都市七年级期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且，动点以点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数_________；点表示的数_________（用含的代数式表示）． （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，问多少秒时、之间的距离恰好等于2？（3）若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】（1）-12；；（2）2．25秒或2．75秒；（3）长度不变，画图见解析，． 【分析】（1）根据点B和点P的运动轨迹列式即可． （2）分两种情况：①点P、Q相遇之前；②点P、Q相遇之后，分别列式求解即可． （3）分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时；②当点在点的左侧时，分别列式求解即可． 【详解】解：（1）数轴上点表示的数为：， 点表示的数为：．故答案为：-12；． （2）设秒后，之间的距离恰好等于2， ①点，相遇前，由题意可得：，解得， ②点，相遇之后，由题意可得：，解得． 答：若点，同时出发，2．25秒或2．75秒时，，之间的距离恰好等于2． 故答案为：2．25秒或2．75秒． （3）线段的长度不发生变化，都等于10， ①当点在，两点之间运动时， ， ②当点在点的左侧时， ， 综上可得长度不变，且． 【点睛】本题考查了数轴动点的问题，掌握数轴的性质是解题的关键． 变式1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①对应的数是；②点到达点时，；③时，；④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，根据两点间距离进行计算即可判断；利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断；根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 【详解】解：∵已知(在的左侧)是数轴上的两点，点对应的数为，且， ∴对应的数为，故正确； ∵，∴点到达点时，，故是正确的； 当点在点右边时，∵，∴，∴； 当点在点左边时，∵，∴， ∴，∴时，或，故错误； 在点的运动过程中，当点在点右边时， ； 在点的运动过程中，当点在点左边时， ； ∴在点的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故错误；∴正确结论有，故选：． 变式2．（2023·吉林·七年级期末）点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d（d≥0）个单位长度．（1）当t＝1时，d＝　 　；（2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；（4）当d＝5时，直接写出t的值． 【答案】（1）d＝3；（2）d的值为3或；（3）所求d的值为0或4；（4）所求t的值为或5． 【分析】（1）当t＝1时，求出AP＝1，BQ＝2，根据PQ＝AB﹣AP﹣BQ即可求解； （2）分①P点恰好运动到线段AB的中点；②Q点恰好运动到线段AB的中点两种情况进行讨论； （3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分①AP＝AB；②AP＝AB两种情况进行讨论； （4）当d＝5时，分①P与Q相遇之前；②P与Q相遇之后两种情况进行讨论． 【详解】（1）当t＝1时，AP＝1，BQ＝2， ∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，∴PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝3，即d＝3．故答案为3； （2）线段AB的中点表示的数是：＝1． ①如果P点恰好运动到线段AB的中点，那么AP＝AB＝3，t＝＝3， BQ＝2×3＝6，即Q运动到A点，此时d＝PQ＝PA＝3； ②如果Q点恰好运动到线段AB的中点，那么BQ＝AB＝3，t＝，AP＝1×＝， 则d＝PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6﹣﹣3＝．故d的值为3或； （3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分两种情况： ①如果AP＝AB＝2，那么t＝＝2，此时BQ＝2×2＝4，P、Q重合于原点，则d＝PQ＝0； ②如果AP＝AB＝4，那么t＝＝4， ∵动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动， ∴此时BQ＝6，即Q运动到A点，∴d＝PQ＝AP＝4．故所求d的值为0或4； （4）当d＝5时，分两种情况： ①P与Q相遇之前，∵PQ＝AB﹣AP﹣BQ，∴6﹣t﹣2t＝5，解得t＝； ②P与Q相遇之后，∵P点运动到线段AB的中点时，t＝3，此时Q运动到A点，停止运动， ∴d＝AP＝t＝5．故所求t的值为或5． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，理解题意，分清动点P与动点Q的运动方向、运动速度与运动时间，从而正确进行分类讨论是解题的关键． 模型6.动态定值（无参型）模型 设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当代数式的计算结果中不含有未知数t，则代数式为定值。 例1．（2023·成都·七年级专题练习）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且（a+2）2+|b﹣4|＝0，记AB＝|a﹣b|． （1）求AB的值；（2）如图，点P、Q分别从点A、B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，当BQ＝2BP时，P点对应的数是多少？ （3）在（2）的条件下，点M从原点与P、Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（1＜x＜2），若在运动过程中，2MP—MQ的值与运动的时间t无关，求x的值． 【答案】（1）6；（2）1；（3） 【分析】（1）由（a+2）2+|b﹣4|＝0，得a＝—2，b＝4，即可求解； （2）设P运动t秒时，BQ＝2BP，①当0≤t＜6时，BP＝6−t，BQ＝2t，得2t＝2（6−t），②当t≥6时，BQ＝2BP不成立；（3）点P、M、Q向运动t秒后，分别表示的数是：−2＋t，xt，4＋2t，得MP＝xt−（−2＋t），MQ＝4＋2t−xt，表示出2MP−MQ＝2[xt−（−2＋t）]−（2＋2t−xt）＝（3x−4）t，由当2MP−MQ的值与运动时间t无关时，得3x−4＝0，解方程即可． 【详解】解：（1）∵（a+2）2+|b﹣4|＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴AB＝|﹣2﹣4|＝6； （2）设P运动t秒时，BQ＝2BP， ①当0≤t＜6时，BP＝6﹣t，BQ＝2t，2t＝2（6﹣t），解得t＝3，点P对应的数是﹣2+1×3＝1； ②当t≥6时，BQ＝2BP不成立，综上，点P对应的数是1； （3）点P、M、Q向运动t秒后，分别表示的数是：﹣2+t，xt，4+2t， ∴MP＝xt﹣（﹣2+t），MQ＝4+2t﹣xt，∴2MP﹣MQ＝2[xt﹣（﹣2+t）]﹣（2+2t﹣xt）＝（3x﹣4）t， ∵当2MP﹣MQ的值与运动时间t无关时，∴3x﹣4＝0，解得：． 【点睛】本题考查了数轴表示数的方法和意义，掌握数轴上两点之间的距离与这两点所表示的数之间的关系式解决问题的关键． 变式1.（2023·福建·厦门市七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；(1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.） (3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样　. 【答案】（1）-3、9；（2）点C的速度为每秒1个单位长度；（3）的值没有发生变化，理由见解析. 【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则每一个数都是0，建立关于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，可表示，，再由CA=CB建立关于x的方程求解即可；（3）根据点的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出PQ、OD、MN的长，然后求出的值为常量，即可得出结论. 【详解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9； （2）设3秒后点C对应的数为x，则，，∵CA=CB，∴， 当，无解； 当，解得x=3，此时点C的速度为3÷3=1个单位每秒， ∴点C的速度为每秒1个单位长度； （3）的值没有发生变化，理由如下：设运动时间为t秒， 则点D对应的数为2t；点P对应的数为-3-3t；点Q对应的数为9+6t； 点M对应的数为-1.5-0.5t；点N对应的数为4.5+3t；则PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6， ∴，为定值，即的值没有发生变化. 【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题关键是根据数轴表示的数正确列出代数式. 变式2．（2023·山东·七年级统考期中）问题一： 如图1，数轴上的点A表示2，点B表示5，点C表示7，易得，我们记为． (1)现将数轴的原点向左拖动1个单位长度，如图2所示，此时还成立吗？若不成立，怎样移动点C就能使之成立？(2)若将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使成立，应该怎样移动点C？ (3)若点A表示m，点B表示n，点C表示t，如果，那么仍然有．现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，①为了使成立，应该怎样移动点C？②为使成立，应该怎样移动点B？ 问题二：如图3，数轴上的点A表示，点B表示1，点C表示5，易得，我们记为． (4)现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，还成立吗？请说明理由． (5)若点A表示m，点B表示n，点C表示t，当m，n，t满足什么关系时，都能使成立？ 【答案】(1)不成立，把点C向右移动一个单位长度时，成立(2)把点C向右移动x个单位长度 (3)①将点C向右移动x个单位长度，②点B应该向左移动x个单位长度(4)成立，见解析(5) 【分析】（1）根据将数轴的原点向左拖动1个单位长度则点A表示3，点B表示6，点C表示8即可解答； （2）根据（1）中各数值的变化即可得出结论；（3）①根据原点向左移动就是数轴向左移动解答； ②根据（2）中的结论即可解答．（4）当数轴的原点向左拖动x个单位长度时，则点A表示，点B表示，点C表示，再代入检验即可；（5）由（4）可知，当时，都能使成立．即可得出结论． 【详解】（1）不成立．∵将数轴的原点向左拖动1个单位长度则点A表示3，点B表示6，点C表示8， ∴不成立．把点C向右移动一个单位长度时，成立； （2）由（1）可知，将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使成立，应该把点C向右移动x个单位长度； （3）①∵点A表示m，点B表示n，点C表示t，． ∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，，， ∴，∴若成立，则将点C向右移动x个单位长度； ②∵点A表示m，点B表示n，点C表示t，． ∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，，，， 当时：， 即：点B应该向左移动x个单位长度时，成立． （4）成立．∵数轴上的点A表示，点B表示1，点C表示5， ∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，点A表示，点B表示，点C表示， ∴，与，∴成立； （5）由（4）可知，点A表示m，点B表示n，点C表示t，当时，都能使成立． 【点睛】本题考查的是数轴上点的平移，熟练掌握点在数轴上的平移规律：左减右加，是解答此题的关键．注意原点移动时，等同于数轴上的点相对于原点往相反的方向移动． 模型7.动态定值（含参型）模型 例1．（2023·浙江·七年级专题练习）已知：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|c|>|a|． （1）若|a+10|=20，b2=400，c的相反数是30，求a、b、c的值； （2）在（1）的条件下，a、b、c分别是A、B、C点在数轴上所对应的数， ①线段AC的长是________，将数轴折叠使得点A和点C重合，则折痕处在数轴上表示的数是__________ ②数轴上是否存在一点P，使得P点到C点的距离加上P点到A点的距离减去P点到B点的距离为50，即PC+PA−PB=50?若存在，求出P点在数轴上所对应的数；若不存在，请说明理由； ③点C，B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点A以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得3CA+2mOB-mOA为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)a=10，b=20，c=-30；(2) ①40，-10；②存在；-90或；（2）存在m=9，定值是390. 【分析】（1）利用绝对值的性质和数轴即可求出a，利用b2=400和数轴即可求出b，利用c的相反数即可求出c；（2）①利用数轴上两点之间的距离公式即可求出AC，再利用中点公式即可求出折痕所表示的数； ②设P表示的数为，根据P点不同的位置及数轴上两点的距离公式分类讨论即可； ③设运动时间为t，利用数轴上两点之间的距离公式，表示出CA、OB、OA，将它们代入3CA+2mOB-mOA并化简，再根据其为定值，即与t值无关，令t的系数为0即可. 【详解】解：（1）∵|a+10|=20，b2=400，c的相反数是30 解得a＝﹣30或10，b＝±20，c＝﹣30由数轴可知：a＞0，b＞0∴a＝10，b＝20，c＝﹣30 （2）①根据数轴上两点之间的距离公式：AC=| a－c|=40； 若A、C两点重合，则折痕在数轴上所表示的点即为AC的中点，故折痕处在数轴上表示的数是； ②存在，求法如下 假设P点所表示的数为， 当P在C左侧时，即，如下图所示： ∴PC=﹣30－，PA=10－，PB=20－ 根据PC+PA−PB=50，∴（﹣30－）＋（10－）－（20－）=50解得：. 若P在C、A之间时，即，如下图所示： ∴PC=，PA=10－，PB=20－ 根据PC+PA−PB=50 （）＋（10－）－（20－）=50 解得：，不符合前提，故舍去； 若P在A、B之间时，即，如下图所示： ∴PC=，PA=，PB=20－ 根据PC+PA−PB=50 （）＋（）－（20－）=50 解得：； 若P在B右侧时，即，如下图所示： ∴PC=，PA=，PB= 根据PC+PA−PB=50 （）＋（）－（）=50 解得：，不符合前提，故舍去； 综上所述：P点在数轴上所对应的数是：-90或. ③存在，理由如下： 设运动时间为t，此时C表示的数为：﹣30＋4t，A表示的数为：10＋7t，B表示的数为20＋3t. ∴AC=（10＋7t）－（﹣30＋4t）=3t＋40，OA=10＋7t，OB=20＋3t代入3CA+2mOB-mOA中得： 原式=3（3t＋40）＋2m（20＋3t）－m（10＋7t）   =（9－m）t＋120＋30m ∵3CA+2mOB-mOA为定值，即与t值无关，令t 的系数为0即可， ∴9－m=0，解得：m=9，代入得： 定值=120＋30×9=390. 【点睛】此题考查的是（1）用绝对值的性质去绝对值，相反数的定义及平方的意义；（2）根据点的不同位置进行分类讨论及数轴上任意两点之间的距离；（3）长度与某个变量无关时令其系数为0. 变式1．（2023·江苏·七年级专题练习）已知a、b满足，，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C． (1)则______，______，______．(2)点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为中点，当点D运动时，线段的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值； (3)若点A、B、C在数轴上运动，其中点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A和点B分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动请问：是否存在一个常数m使得不随运动时间t的改变而改变若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2；；(2)线段的长度不发生变化，其值为 (3)存在常数m，，这个不变化的值为26 【分析】（1）根据非负数的性质求得a、b、c的值即可； （2）根据中点的定义得到，，再根据即可求解； （3）求出和的值，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：、b满足， 且．解得，． ．故答案为：2；； （2）如图，由（1）得， 当点D运动时，线段的长度不发生变化，理由如下： 点E、点F分别为中点，，， ， 当点D运动时，线段的长度不发生变化，其值为； （3）假设存在常数m使得不随运动时间t的改变而改变． 由（1）得，， 则依题意得：，． 所以与t的值无关， 即，解得，所以存在常数m，， 这个不变化的值为26． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 例1．（2023·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ； （2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ； （3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【分析】（1）根据移动的方向和距离，求解即可； （2）分情况讨论，分别向左，向右移动2次2个单位长度和向右移动一次向左移动一次，然后求解即可； （3）设点P向左移动个单位，求得P，A两点的距离和A，B两点距离，再求解即可； （4）求得对称中心，然后求解即可； （5）求得对称中心，由题意可得A点在表示−1的点的左侧5个单位，求解即可； （6）根据题意，求得的距离，然后分在左侧和右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为 故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为，，， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 【点睛】此题考查数轴的应用，涉及了数轴上的距离和动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质． 变式1．（2023·浙江·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合； （2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【答案】（1）5；（2）①-17；②A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009 【分析】（1）由表示1的点与表示-1的点重合，即可找出与表示-5的点重合的点表示的数； （2）①由表示1的点与表示-5的点重合，即可找出与表示13的点重合的点表示的数； ②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022，根据重合两点表示的数之和相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）∵表示1的点与表示-1的点重合， ∴与表示-5的点重合的点表示的数为1+（-1）-（-5）=5．故答案为：5． （2）①∵表示1的点与表示-5的点重合， ∴与表示13的点重合的点表示的数为1-5-13=-17．故答案为：-17． ②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022， 根据题意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009． 答：A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009． 【点睛】本题考查了数轴、折叠的性质以及一元一次方程的应用，根据折叠的性质找出重合两点表示的数之和相等是解题的关键． 变式2．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③ 【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键． （1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题． （2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题． 【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知， 它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1； 它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2； 它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；…， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时，， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时，可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知，，则折点所表示的数为1． 因为，所以表示5的点与表示的点重合．故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同，所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013．故答案为：，1013． ③由折叠可知，， 因为点M、N表示的数分别是、8，所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3，所以． 因为，，所以点P表示的数为．故答案为：． 模型9.数轴上的线段移动模型 例1．（2023·广东佛山·七年级阶段练习）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15． （1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______； （2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？ 【答案】-10，14，24；(2) -2；(3) t=23或25 【分析】(1)根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可求出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段BC的长度； (2)设相遇时间为a,分别用a表示出相遇时B、C两点所表示的数,让其相等即可求出; (3) 分线段AB与线段CD在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC=1，得出关于t的的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】解：（1）∵AB=2，点A在数轴上表示的数是-12，∴点B在数轴上表示的数是-12+2=-10； ∵CD=1，点D在数轴上表示的数是15，∴点C在数轴上表示的数是15-1=14． ∴BC=14-（-10）=24．故答案为：-10，14，24； （2）设运动时间为a秒时B、C相遇， 此时点B在数轴上表示的数为-10+a，点C在数轴上表示的数为14-2a ∵B、C重合∴-10+a=14-2a解得a=8 此时点与点在数轴上表示的数是-10+a=-10+8=-2；故答案为：-2 (3)当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为-10-t，点C在数轴上表示的数为14-2t ∴BC==∵BC=1∴=1∴t1=，t2= 综上所述：当BC=1时，t=23或25； 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点B、C在数轴上表示的数． 变式1．（2023·山东济南·七年级期末）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8． (1)求m和n的长度；(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）； ②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)m＝4，n＝5(2)①；②6s或11s 【分析】（1）根据非负数的性质可得答案；（2）①根据中点的定义及距离可得答案；②分两种情况：m在n后面时，m在n前面时，分别得到答案即可． (1)解：∵|a＋5|＋（b＋1）2＝0，∴|a＋5|＝0，（b＋1）2＝0， ∴a＝﹣5，b＝﹣1∴m＝-1-（-5）=4 又因为c＝3，d＝8∴n＝8-3=5∴m和n的长度分别为4和5； (2)解：①∵（a+b）÷2＝（﹣5﹣1）÷2＝﹣3．∴t＝s，故答案是：； ②m在n后面时，BC＝3﹣（﹣1）＝4，设t秒重叠2个单位长度， 可得4t＝3t+4+2，解得t＝6，m在n前面时，AD＝8﹣（﹣5）＝13， 可得4t＝3t+13﹣2，解得t＝11，综上t＝6s或11s． 【点睛】此题考查了数轴的相关概念，掌握非负数性质和表示线段距离是解决此题关键． 变式2．（2023·河南信阳·七年级校考期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣12|+（n+3）2＝0 （1）则m＝　 　，n＝　 　；（2）①情境：有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为　 　个单位长度：②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？（3）在（2）①的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB运动后对应的位置为A′B′．是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）m＝12，n＝﹣3；（2）①5；②应64岁；（3）k＝6，15 【分析】（1）由非负性可求m，n的值； （2）①由题意可得3AB＝m﹣n，即可求解；②由题意列出方程组，即可求解； （3）用参数t分别表示出PQ，B'A的长度，进而用参数t表示出3PQ﹣kB′A，即可求解． 【详解】解：（1）∵|m﹣12|+（n+3）2＝0， ∴m﹣12＝0，n+3＝0，∴m＝12，n＝﹣3；故答案为12，﹣3； （2）①由题意得：3AB＝m﹣n，∴AB＝＝5， ∴玩具火车的长为：5个单位长度，故答案为5； ②能帮小明求出来，设小明今年x岁，奶奶今年y岁， 根据题意可得方程组为： ，解得： ， 答：奶奶今年64岁； （3）由题意可得PQ＝（12+3t）﹣（﹣3﹣t）＝15+4t，B'A＝5+2t， ∵3PQ﹣kB′A＝3（15+4t）﹣k（5+2t）＝45﹣5k+（12﹣2k）t，且3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关， ∴12﹣2k＝0，∴k＝6∴3PQ﹣kB′A＝45﹣30＝15 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，关键是用代数式表示数轴上两点之间的距离，体现了数形结合思想和方程思想. 1．（2023·浙江宁波·七年级期末）如图，数轴上点表示的数分别为现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动当时，运动的时间为 (  ) A．15秒 B．20秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒 【答案】D 【详解】试题解析：设运动的时间为t 秒， P、Q相遇前，依题意有50-（-40）-3t=3[50-（-40）-2t-3t]，解得t=15； P、Q相遇后，依题意有50-（-40）-3t=3t=3[2t+3t-50+（-40）]，解得t=20． 故运动的时间为15秒或20秒．故选D． 2．（2023·浙江邵外七年级阶段练习）如图所示，A、B是数轴上的两点，O是原点，AO=10，OB=15，点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，设运动的时间为t（t≥0） 秒，M、Q两点到原点O的距离相等时，t的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据AO和OB的出可得点A和点B表示的数，根据绝对值的定义，利用数轴上两点间的距离，可用t表示出点M、Q到原点的距离，根据M、Q两点到原点O的距离相等列方程求出t值即可得答案． 【详解】∵O是原点，AO=10，OB=15， ∴点A表示的数是-10，点B表示的数是15， ∵点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，∴OM=|-10-t|， ∵点Q以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴OQ=|15-4t|， ∵M、Q两点到原点O的距离相等，∴|-10-t|=|15-4t|， ∴-10-t=15-4t或-10-t=-（15-4t），解得：t=或t=1，故选：C． 【点睛】本题考查绝对值的定义及数轴上两点间的距离，正确表示出OM、OQ的长是解题关键． 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）数轴上有一动点，从原点出发沿着数轴移动，第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的动点问题中的规律探究．根据题意得出当运动次数为奇数时，对应点在数轴上表示的数为当运动次数为偶数时，对应点在数轴上表示的数为是解题关键． 【详解】解：由题意得：在数轴上表示的数为，在数轴上表示的数为； 在数轴上表示的数为，在数轴上表示的数为…… 当运动次数为奇数时，对应点在数轴上表示的数为 当运动次数为偶数时，对应点在数轴上表示的数为 当时，∵∴在数轴上表示的数为 点与原点的距离是个单位．故答案为： 4．（2023·广东广州·七年级期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒．（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t． 【答案】（1）点M、点N分别所对应的数分别为，；（2）；（3）t=1或18 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）由（1）所求，根据数轴上两点距离公式可得，，再由，得到，由此即可得到答案； （3）分当M、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在A点左侧时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为，； （2）∵点A表示的数为-6，点M、点N分别所对应的数分别为，， ∴，， ∵，∴，∴； （3）如图1所示，当M、N均在A点右侧时， 由（1）（2）得点M、点N分别所对应的数分别为，， ∵点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点， ∴点P和点Q表示的数分别为，，∴ ∵，∴，∴； 如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时， 同图1可知点P和点Q表示的数分别为，，∴ ∵，∴，∴，不符合题意； 如图3所示，当M、N都在A点左侧时， 同图1可得点P和点Q表示的数分别为，， ∴，， ∵，∴，此时方程无解； 如图4所示，当M、N都在A点左侧时， 同理可得点P和点Q表示的数分别为，， ∴，， ∵，∴，解得， ∴综上所述，当，t=1或18． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，熟知数轴的相关知识是解题的关键． 5．（2023·河北·景县七年级期中）自主学习：连接两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离． [问题1]数轴上任意两点之间的距离与这两点对应的数的关系．观察数轴如图，填空： ①点与点的距离是2；②点与点的距离是________；③点与点的距离是________； [发现1]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则、两点之间的距离是________（用含，的代数式表示） 如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点． [问题2]以数轴上任意两点为端点的线段中点所表示的数与这两个点对应的数的关系． ①的中点表示的数是1；②的中点表示的数是________；③的中点表示的数是________； [发现2]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是________（用含，的代数式表示） [应用]在数轴上，点表示的数为-6，且、两点之间的距离是9，则线段的中点表示的数是______． 【答案】[问题1]②2；③4；[发现1]；[问题2]②-2；③；[发现2]；[应用]或 【分析】问题1：②③直接根据数轴上两点间的距离公式进行解答即可； 发现1：直接根据数轴上两点间的距离公式进行解答即可； 问题2：②③利用数轴计算得出中点坐标即可； 发现2：利用数轴上两点间的中点坐标求解即可 应用：分点N在M的左边和右边，求得N点坐标，再利用中点坐标公式求得答案即可． 【详解】解：[问题1]②点与点的距离为；③点与点的距离为； [发现1]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则、两点之间的距离是（用含，的代数式表示） [问题2]②的中点表示的数是；③的中点表示的数是； [发现2]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是． [应用]由题意得，解得：或， 线段中点表示的数为或， 【点睛】本题考查了数轴相关知识，解答此类题目可以采取“数形结合”的数学思想，注意分类思想的应用. 6．（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．(1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ；(2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为．①求点、对应的数（用含的式子表示）；②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度．    【答案】(1)， (2)①点M对应的数为：，点N对应的数为：；②的长度与无关，长度为 【分析】本题是数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式．（1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）①由题意可得、的长度，从而由点、对应的数即可求出点、对应的数；②根据题意可得点对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断． 【详解】（1）解：点对应的数为，，点对应的数为：， 又，点对应的数为：，故答案为：，； （2）①由动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，则，， 又，， ，， 点对应的数为：，点对应的数为：； ②的长度与无关，理由如下： 由于， 点对应的数为：， 则， 即的长度与无关，长度为． 7．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 0 _____空（1）______ B点在数轴上的位置 _______空（2）____ (2)A、B两点在___________秒时相遇，相遇点对应的数是___________； (3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离小于或等于6时会一直发出震动提示．则A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？提示持续多长时间？ 【答案】(1)，；(2)3，4；(3)经过2感应器开始发出提示，提示持2秒 【分析】（1）根据速度相同，结合数轴上两点间距离求解即可得到答案； （2）根据两路程和与两点间距离列式求解即可得到答案； （3）分相遇前相距与相遇后相距求出两个时间即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，A的速度为：， ∴，，故答空1为：， B的速速为：，∴，∴，故答空2答案为：； （2）解：由（1）得，两点相距：，， ∴A、B两点在3秒时相遇，此时数字为：，相对应的数字是4； （3）解：当相遇前相距6时，时间：（秒）， 当相遇后相距6时，时间：（秒），（秒）， ∴经过2感应器开始发出提示，提示持2秒． 【点睛】本题考查数轴上动点问题，解题的关键是注意分类讨论相距问题． 8．（23-24七年级上·湖北荆门·期中）已知有理数a，b，c在数轴上所对应的点分别是A，B，C三点，且a，b，c满足：① 多项式是关于x的二次三项式；② b是最小的正整数；③，且点C在原点的右边．数轴上 A， B 两点间的距离记作 AB．    (1)请在数轴上描出A，B，C三点，并直接写出A，C两点之间的距离AC＝_____； (2)若数轴上有一动点P，且满足，求点P表示的数； (3)若点A在数轴上以每秒1个单位的速度向左运动，同时点B和点C在数轴上分别以每秒m个单位长度和4个单位长度的速度向右运动（其中），若在整个运动过程中，点B到点C的距离与点B到点A的距离差始终不变，求运动几秒后点B与点A的距离为18个单位长度． 【答案】(1)数轴见解析，7(2)或6(3)6秒 【分析】（1）先求出a，b，c的值，再在数轴上描出A，B，C三点，然后根据数轴上两点间的距离求出的长；（2）分点P在点A的左边和点P在店C的右边两种情况求解即可； （3）设运动时间为t秒，则t秒后点A表示的数为﹣2﹣t，点B表示的数为1＋mt，点C表示的数为5＋4t，由题意列出等式，整理后根据距离差始终不变求出m，进而可求出t． 【详解】（1）∵多项式是关于x的二次三项式，∴，∴， ∵b是最小的正整数，∴． ∵，且点C在原点的右边，∴，∴．如图，    故答案为：7； （2）∵，表示点P到点A和点C两点的距离之和， ∴点P在点A的左边或点P在店C的右边． 当点P在点A的左边时，设点P表示的数为，∴，∴； 当点P在点A的左边时，设点P表示的数为，∴，∴．∴点P表示的数或6； （3）设运动时间为t秒，则t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 根据题意得：，整理得：， ∵在整个运动的过程中，点B到点A的距离与点B到点C的距离差始终不变， ∴，∴． ∵点B与点A的距离为18个单位长度，∴，解得． 故运动6秒后点B与点A的距离为18个单位长度． 【点睛】本题考查了多项式的定义，数轴上两点间的距离，整式的加减-无关型，一元一次方程的应用，绝对值的性质以及用数轴上的点表示数，数形结合是本题的关键． 9．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位长度，点N从点B出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位长度．（1）求A、B两点的距离为　 　个单位长度． （2）若点M向右运动，同时点N向左运动，求经过多长时间点M与点N相距54个单位长度？ （3）若点M、N、P同时都向右运动，当点M与点N相遇后，点M、P继续以原来的速度向右运动，点N改变运动方向，以原来的速度向左运动，求从开始运动后，经过多长时间点P到点M、N的距离相等？ 【答案】（1）14；（2）5秒；（3） 秒或3.5秒或秒. 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点的距离； （2）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出2x+6x+14＝54求出即可； （3）首先求出点M与点N相遇的时间为14÷（6﹣2）＝3.5秒，此时N点对应的数是﹣8+6×3.5＝13，再设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等，或相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等，根据PM＝PN列出方程，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8， ∴A、B两点的距离为6﹣（﹣8）＝14．故答案为14； （2）设经过x秒点M与点N相距54个单位． 依题意可列方程为：2x+6x+14＝54，解方程，得x＝5． 答：经过5秒点M与点N相距54个单位； （3）点M与点N相遇的时间为14÷（6﹣2）＝3.5秒， 此时N点对应的数是﹣8+6×3.5＝13． 设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等． 依题意可列方程为：t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，解得t＝， 设从开始运动后，相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等． 依题意可列方程为：（2t+6）﹣t＝t﹣[13﹣6（t﹣3.5）]，解得t＝． 答：从开始运动后，经过秒或3.5秒或秒点P到点M、N的距离相等． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． 10．（23-24七年级上·安徽六安·期末）结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或；(2)；(3)当时，的值不变． 【分析】（）根据绝对值的意义解方程即可求解；（）由得到所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离，根据两点间距离公式计算即可求解；（）根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变,分别求出点从点运动到点和到点的时间即可求解；本题考查了数轴上两点间的距离及动点问题，掌握数轴上两点间的距离计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，∴， ∴或，解得或，故答案为：或； （2）解：∵，∴所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离， ∴，故答案为：； （3）解：根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变, 点从点运动到点的时间为秒， 点从点运动到点的时间为秒， ∴当时，的值不变． 11．（2023·江苏·七年级专题练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c满足．（1）填空：______，______，______；（2）点A，B，C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度，1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．①当AC长为6时，求t的值；②当点A在点C左侧时（不考虑点A与B，C重合的情况），是否存在一个常数m使得的值在某段运动过程中不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①或；②存在，的值为或2． 【分析】（1）根据正整数的定义、绝对值的非负性、偶次方的非负性分别可求出的值； （2）①先求出运动秒后，点所表示的数，再分点在点左侧和点在点右侧两种情况，然后根据数轴的定义建立方程，解方程即可得； ②先求出运动秒后，点所表示的数，从而可得的长，再分点在点左侧和点在点右侧两种情况，分别求出的值，代入化简，然后根据整式的无关型问题求解即可得． 【详解】解：（1）是最小的正整数，， ，，解得，故答案为：； （2）①由题意，运动后，点所表示的数是，点所表示的数是， 当点在点左侧时，，解得， 当点在点右侧时，，解得，综上，的值为或； ②由题意，运动后，点所表示的数是，点所表示的数是，点所表示的数是， 当时，，当时，， 因为点在点左侧，所以， 当点在点左侧，即时，， 则，由得：， 即在运动时间内，当时，的值不随的改变而改变； 当点在点右侧，即时，， 则，由得：， 即在运动时间内，当时，的值不随的改变而改变； 综上，存在一个常数使得的值在某段运动过程中不随的改变而改变，的值为或2． 【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、绝对值和偶次方的非负性、整式等知识点，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论是解题关键． 12．（2023·江苏无锡·七年级期末）在数轴上，点A表示，点B表示20，动点P、Q分别从A、B两点同时出发．(1)如图1，若P、Q相向而行6秒后相遇，且它们的速度之比是2：3（速度单位：1个单位长度/秒），则点P的速度为 个单位长度/秒，点Q的速度为 个单位长度/秒； (2)如图2，若在原点O处放一块挡板．P、Q均以（1）中的速度同时向左运动，点Q在碰到挡板后（忽略球的大小）改变速度并向相反方向运动，设它们的运动时间为t（秒），试探究： ①若点Q两次经过数轴上表示12的点的间隔是5秒，求点Q碰到挡板后的运动速度； ②若点Q碰到挡板后速度变为原速度的2倍，求运动过程中P、Q两点到原点距离相等的时间t． 【答案】(1)2，3(2)①12个单位长度/秒；②2秒或秒 【分析】（1）设P、Q的速度分别为2x，3x，由两点路程之和=两点之间的距离，列方程即可求解； （2）解：①点Q第一次经过表示12的点开始到达原点用时4秒，再次到达表示12的点用时1秒，即可求解；②分两种情况：当P、Q都向左运动时和当Q返回向右运动时即可求解. (1)解：设P、Q的速度分别为2x，3x， 由题意，得：6（2x+3x）=20-（-10），解得：x=1，故2x=2，3x=3，故答案为：2，3； (2)解：①，． 答：点Q碰到挡板后的运动速度为12个单位长度/秒． ②当P、Q都向左运动时，解得：． 当Q返回向右运动时，解得：． 答：P、Q两点到原点距离相等时经历的时间为2秒或秒． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值． 13．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在数轴上，点表示的数为，点是数轴上位于点右侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设点的运动时间为秒．    (1)点表示的数是______． (2)①点表示的数是______（用含的代数式表示）． ②当点将线段分成的两部分的比为：时，求的值． (3)若点从原点出发，沿数轴移动，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，， ①点第次移动后，表示的数是______． ②点在运动过程中，______（填“能”或“不能”）与点重合，当点与重合时，移动了______次． 【答案】(1)20(2)①；②的值为；(3)①；②不能，20． 【分析】根据数轴上两点间的距离公式，求出点表示的数； 根据点的移动：左减右加，求出点表示的数即可；由可表示出，，因为分为：两部分，分两种情况，分别为和，根据比例列出方程即可； 规定向左运动记为，向右运动记，可计算出运动次后的变化量为，所以表示的数就是，计算出每次移动后点表示的数，即可． 【详解】（1）解：，∴点表示的数为，故答案为：20． （2）①由题意，得：点表示的数为：，故答案为：； ②由题意，， 当时，即：，∴，解得：； 当时，即：，∴，解得：；的值为或； （3）规定向左运动记为，向右运动记，则点每次运动的路程记为：，，，，，，，，， ∴， ∴点第次移动后，表示的数是；故答案为：； ②由①可知：点前9次表示的数分别为：， 第10次到第20次表示的数为：， ∴当n为奇数时，是负数，n为偶数时，是正数， ∵表示的数为，是偶数，所以，点P在运动过程中，不能与点A重合； ∵表示的数为，∴P与B重合时总共运动了20次，故答案为：不能，20． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．熟练掌握两点间的距离公式，点的移动规律．是解题的关键． 14．（2023·湖南·凤凰县七年级期末）已知：A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，O表示原点，且，P是数轴上的一个动点． (1)在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离． (2)已知线段OA上有点C且|AC|=9，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数． (3)在（2）的条件下，点P第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度第四次向左移动7个单位长度，点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请指出，第几次移动与哪一点重合？ 【答案】(1)15(2)-1或7 (3)能，当P从-1出发时，第4次移动后与点B重合，第11次移动后与点A重合；当P从7出发时，第3次移动后与点A重合，第12次移动后与点B重合 【分析】（1）根据非负性求出a、b的值，进而得出A、B两点的距离； （2）设P对应的数是x，根据条件PB=2PC，列出方程，求出P对应的数； （3）分别针对第（2）问的两种结果，探究点P移动的位置，得出结论． (1)解：由题可知a=10，b=-5，A、B位置如图所示： AB=10-（-5）=15； (2)解：∵点C在线段OA上，且|AC|=9，∴点C对应的数是：10-9=1， 设点P对应的数是x，则当P在点B左侧时，PB<PC，此种情况不成立， 当P在线段BC上时，x-（-5）=2（1-x），x=-1， 当P在点C右侧时，x-（-5）=2（x-1），x=7，∴点P对应的数是-1或7； (3)解：设点P第n次移动后表示的数为Pn,， ①当点P对应的数是-1时，则P1=-1+1=0，P2=0-3=-3，P3=-3+5=2，P4=2-7=-5，…， ∴n为奇数时，Pn=n-1，n为偶数时，Pn=-（n+1）， ∵点B表示的数是-5，点A表示的数是10，∴P点第4次移动后与点B重合，第11次移动后与点A重合； ②当点P对应的数是7时，则P1=7+1=8，P2=8-3=5，P3=5+5=10，P4=10-7=3，…， ∴n为奇数时，Pn=n+7，n为偶数时，Pn=-（n-7）， ∵点B表示的数是-5，点A表示的数是10，∴P点第3次移动后与点A重合，第12次移动后与点B重合， 综上所述，当P从-1出发时，第4次移动后与点B重合，第11次移动后与点A重合；当P从7出发时，第3次移动后与点A重合，第12次移动后与点B重合． 【点睛】本题考查了非负数的性质，两点间的距离，图形类规律探究，一元一次方程的应用，以及数轴上的动点问题，解决本题的关键在于平方数和绝对值的非负性，求出a、b以及分类思想的应用． 15．（2023·重庆·七年级校考期中）数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等． (1)则a=______，b=_______．(2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后CB与AO处于水平位置，线段O处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数，记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中AO、OC、CB代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍，动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿CB方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中： ①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少． ②是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①②或或或14 【分析】（1）首先化简多项式，然后根据值与字母x取值无关，列出关于a和b的方程求解即可； （2）①由题可知，点M和N相遇在线段上于Q处，根据运动时间相等，可列出方程求解即可； ②分别求出点M和N的运动时间，结合点M和点N的不同位置，根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵关于x、y的多项式的值与字母x取值无关， ∴，∴解得，故答案为：． （2）解：①由题意得，C表示的数为4，，， 由题可知，M和N两点相遇在线段于Q处，设 则，解得则Q表示的数为，故M和N的相遇点Q所对应的数为； ②存在，理由如上：∵∴点M从A到O所需时间为： ∵∴点M从O到C所需时间为： ∵∴点N从B到C所需时间为： 点N从C到O所需时间为：点N从O到A所需时间为： 点N返回时，点N从A到O所需时间为： 点N从O到C所需时间为： 点N从C到B所需时间为： 由此再分类讨论如下：点N由B向A运动时， （1）当点M在上时，点N在上运动，此时 此时；∴解得； （2）当点N在上时 ①点M在上且点M和点N相遇前，， ，∴解得； ②点M在上，且M和N相遇后，即， 此时，，∴，无解； ③当点M在上时，即， 此时，，∴，解得，不符合题意； （3）当点N在上，即，， ，∴，解得，不符合题意． 当点N从点A向点B运动时，点M由点C向右运动， ①点N在上时，即， ， ， ∴，解得，不符合题意； ②当点N在上时，即， ， ，∴，解得， ③当点N在上时，即，， ，∴，解得． 综上所述，符合题意的t的值为：或或或14． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． 16．（2023·吉林长春·七年级期末）定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数-1，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数-7，点N表示数2． （1）①求的美好点表示的数为__________． ②求的美好点表示的数为_____________． （2）数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动．设点P运动的时间为t秒，当点P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点时，求t的值． 【答案】（1）①－1；②－4；（2）t的值1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【详解】解：（1）已知点M表示数-7，点N表示数2，由题意可设N到美好点的距离为x，则(M，N)的美好点为2x+x=2-(-7)，3x=9，x=3 ∴①(M，N)的美好点为-7+2×3=-1；②(N，M)的美好点为-7+3=-4； （2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4， 当MP=2MN时，NP=27，点P对应的数为2-27=-25，因此t=13.5秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5， 当MN=2MP时，NP=13.5，点P对应的数为2-13.5=-11.5，因此t=6.75秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6， 当MN=2MP时，NP=4.5，因此t=2.25秒； 第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧， 当PN=2MN时，NP=18，因此t=9秒， 第八种情况， N为【M，P】的美好点，点P在M右侧， 当MN=2PN时，NP=4.5，因此t=2.25秒， 综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 【点睛】本题考查了实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．（2023·安徽合肥·七年级期中）如图，、两点在数轴上，这两点在数轴对应的数分别为、．点、分别从，两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是个单位/秒、个单位/秒，它们运动的时间为秒，点对应的数是．（规定：数轴上两点，之间的距离记为） （1）如果点、在、之间相向运动，当它们相遇时，_____，此时点所走的路程为______，点所走的路程为______，则点对应的数是_______； （2）如果点、都向左运动，当点追上点时，求点对应的数； （3）如果点、在点、之间相向运动，当时，求点对应的数； 【答案】（1）、、、；（2）；（3）点对应的数为或． 【分析】（1）设经过t秒时，点P与点Q相遇，由相遇时两者路程和等于16-（-12），列方程可解； （2）由追及时间等于路程差除以速度差，可求追及时间，从而问题得解；（3）当PQ=8时，有两种情况：①P，Q相遇前；②P，Q相遇后．分别求出相应的时间，再求出对应的点P即可 【详解】解：（1）设经过t秒时，点P与点Q相遇，由题意得： 2t+4t=16-（-12）∴6t=28∴t= ∴此时点所走的路程为，点所走的路程为 点P对应的数为：-12+2×=-故答案为：、、、 （2）因为个单位，所以追上的时间秒 ，所以点对应的数为 （3）当时，分两种情况： ①、相遇前相距个单位，，此时点对应的数为． ②、相遇后相距个单位，，此时点对应的数为 综上所述，点对应的数为或． 【点睛】本题综合考查了动点在数轴上的运动问题，其中涉及到了相遇行程问题，追及行程问题等知识点，具有较强的综合性． 18．（2023·浙江·七年级期中）已知数轴上三点对应的数分别为，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为。（1）三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点（把一条线段分成相等部分的点），那么的值是_________．（2）数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是7？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．（3）如果点以每分钟3个单位长度的速度从原点向右运动时，点和点分别以每分钟4个单位长度和每分钟1个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么几分钟后，三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点 【答案】（1）1或-5或7；（2）的值为或；（3）经过2分钟或分钟或分钟后 【分析】（1）对点P的位置进行分类讨论，利用数轴上两点之间的距离列出方程即可解答； （2）由题意得：|x-(-1)|+|x-3|=7，再对x的取值进行分类讨论即可解答； （3）表达出t分钟后，点M，N，P表示的数，再对M，N，P三点的位置进行分类讨论，利用数轴上两点之间的距离列出方程即可解答． 【详解】解：（1）①若点P是线段MN的中点，则MP=NP， 即x-(-1)=3-x，解得：x=1， ②若点M是线段PN的中点，则PM=MN，即-1-x=3-(-1)，解得：x=-5， ③若点N是线段PM的中点，则PN=MN，即x-3=3-(-1)，解得：x=7，故答案为：1或-5或7； （2）由题意得：|x-(-1)|+|x-3|=7， ①当点x＜-1时，|x-(-1)|+|x-3|=-(x+1)-(x-3)即-(x+1)-(x-3)=7，解得：x=， ②当-1≤x≤3时，|x-(-1)|+|x-3|=x+1-(x-3)，即x+1-(x-3)=7，方程无解， ③当x＞3时，|x-(-1)|+|x-3|=x+1+x-3即x+1+x-3=7，解得：x=， 综上所述，的值为或； （3）设时间为t分钟，则t分钟后，点M，N，P表示的数分别为：-1+4t，3+t，3t， ①若点P是线段MN的中点，则MP=NP，则3t-(-1+4t)=3+t-3t，解得：t=2， ②若点M是线段PN的中点，则PM=MN，则-1+4t-3t=3+t-(-1+4t)，解得：t=， ③若点N是线段PM的中点，则PN=MN，则3+t-3t=-1+4t-(3+t)，解得：t=， 综上所述，经过2分钟或分钟或分钟后，三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点． 【点睛】本题主要考查数轴和一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据数轴和路程问题，列出一元一次方程求解，注意分情况讨论，不要漏解． 19．（2023·黑龙江·七年级期中）已知：且、、分别是点、、在数轴上对应的数.（1）求点与点的距离；（2）若甲、乙两个动点分别从、两点同时出发，沿数轴正方向运动，它们的速度分别是2和1（单位长度/秒），求甲追上乙时所用的时间； （3）在（2）的条件下，甲动点向数轴正方向运动，乙动点向数轴负方向运动.当甲动点开始运动时，丙动点以4个单位长度/秒的速度和甲动点同时从点向数轴正方向运动，当丙动点遇到乙动点时立即返回向数轴负方向运动，当遇到甲动点时也马上返回，如此往复直到甲乙两动点相遇则停止运动，设甲乙两动点在点处相遇，求从开始到停止运动，丙动点走的总路程以及点对应的数字. 【答案】（1）1；（2）甲追上乙时所用的时间为6秒；（3）丙动点运动的总路程为8个单位长度，点D对应的数是3. 【分析】(1))利用绝对值的非负性，求出a，b，c的值,再求两点间距离即可；(2)先求出甲、乙两个动点的速度差，再根据时间=路程÷速度计算即可求出答案；(3)先求出甲与乙相遇时所需要的时间，求丙动点运动的总路程，求出点A走的路程，再求点D对应的数即可. 【详解】解：（1）∵|a+1|≥0，（5﹣b）2≥0，|c+2|≥0， |a+1|+（5﹣b）2+|c+2|＝0， ∴a+1＝0，5﹣b＝0，c+2＝0， ∴a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2．∴AC=（-1）-（-2）=1 （2）由题意，AB=5-（-1）=6∴6÷（2-1）=6 答：甲追上乙时所用的时间为6秒. （3）根据题意，甲与乙相遇时所需要的时间为6÷（2+1）=2 ∴丙动点运动的总路程为2×4＝8个单位长度， ∵点A的速度为2∴点A走的路程为2×2=4∴点D对应的数是（-1）+4=3 答：丙动点运动的总路程为8个单位长度，点D对应的数是3. 【点睛】本题考查数轴以及绝对值的非负性，有理数的混合运算，点的运动，根据点的运动特点，灵活运用时间=路程÷速度进行求解是解决问题的关键． 20．（2023·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 【答案】（1）13，−11；（2）x＝2或x＝；（3）当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6． 【分析】（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为13，然后再进一步求解即可； （2）根据题意先得出点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在点O同侧两种情况进一步分析讨论即可； （3）设长方形ABCD运动的时间为y秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形CDHG两种情况进一步分析讨论即可. 【详解】（1）∵长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5， ∴点H表示的数为：， ∵两点之间的距离为12，∴点D表示的数为：， ∵长方形的长是4个单位长度，∴点A表示的数为：，故答案为：； （2）由题意可知：点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7；，经过x秒后，M点表示的数为﹣9+4x，N点表示的数为7﹣3x； ①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点，则有，解得x＝2 ； ②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇，则有7﹣3x＝﹣9+4x解得：x＝ 综上，当x＝2或x＝时，OM=ON ； （3）设长方形ABCD运动的时间y为秒， ①当重叠部分为长方形EFCD时， DE=−7+2y−5= 2y−12∴ 2(2y−12) = 6，解得：y = 7.5； ②当重叠部分为长方形CDHG时， HD=4- (−7+2y-13)= 24− 2y，∴ 2(24−2y) = 6，解得：y =10.5； 综上，当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6. 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法是解题关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$