专题02 数轴上的九类动态模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

专题02 数轴上的九类动态模型 数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 2 模型2.单（多）动点匀速模型 5 模型3.单（多）动点变速模型 7 模型4.动点往返运动模型 11 模型5.动态中点与n等分点模型 14 模型6.动态定值（无参型）模型 18 模型7.动态定值（含参型）模型 21 模型8.数轴折叠（翻折）模型 24 模型9.数轴上的线段移动模型 28 31 【知识储备】 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB的中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1．（2023·广西·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点．(1)求点A与点C的距离．(2)若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动 次． 例2．（2023·浙江·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 变式1．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，点的初始位置位于数轴上的原点，现对点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点，第2次从点向左移动4个单位长度至点，第3次从点向右移动7个单位长度至点，第4次从点向左移动10个单位长度至点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 ．这样移动2023次后该点到原点的距离为 ． 模型2.单（多）动点匀速模型 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1．（2023·河北·邯郸七年级阶段练习）在数轴上标出数所对应的点；两点间距离=____；两点间距离= ；数轴上有两点，点对应的数为，点对应的数为，那么两点之间的距离= ；若动点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设运动时间为，问：①为何值时两点重合？②为何值时两点之间的距离为？ 变式1．（2023·江苏·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离． 变式2．（2023·江苏七年级课时练习）已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 模型3.单（多）动点变速模型 例1．（2023·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 变式1．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示． 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒．(1)直接写出的值； (2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：___________，点在数轴上对应的数为___________． (3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍． 在整个运动过程中，当之间的距离为2个单位时，求运动时间的值（需写出必要的解答过程）．    变式2．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 模型4.动点往返运动模型 例1．（2023春·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 变式1．（2023·重庆·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 变式2．（2023·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 模型5.动态中点与n等分点模型 例1.（2023·江西赣州·七年级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 变式1．（2023·成都市·七年级专题练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（    ） 甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为； 乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为； 丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确 变式2．（2023·江苏扬州·七年级期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6． (1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B； (2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动． ①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？ ②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数． 模型6.动态定值（无参型）模型 设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当代数式的计算结果中不含有未知数t，则代数式为定值。 例1．（2023·福建·七年级校考期末）点在数轴上对应的数分别为，且满足． (1)如图，求线段的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值． 变式1.（2023·福建·厦门市七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；(1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.） (3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样　. 变式2．（2023·浙江杭州·七年级期中）如图，已知O为数轴原点，A，B，C是数轴上三点，它们表示的数分别是4，10， －20.动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为AP的中点，点N在BQ上，且，R为PQ的中点，设运动时间为t秒（t>0），当满足2MO＋2RO=NO时，t=________秒. 模型7.动态定值（含参型）模型 例1．（2023·江苏·七年级期末）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m-n．如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数为　 　，点P表示的数为　 　．（用含t的式子表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发． ①求点P运动多少秒追上点Q？②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数； （3）如图2，若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR-OP+mOR为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（其中QR表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离．） 变式1．（2023·重庆璧山·七年级校考期末）如图，数轴上有三个点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中a，b，c满足，c是最小的正整数． (1)___________；___________；___________； (2)为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动几个单位长度？ (3)若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒4个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①若动点Q到达点A后，速度变为每秒7个单位长度，继续向左运动，当t为何值时，点P与点Q距离3个单位长度？②记点P与点Q之间的距离为，点Q与点R之间的距离为，请用含t的代数式表示和，并判断是否存在一个常数m，使的值不随t的变化而改变，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； 模型8.数轴折叠（翻折）模型 例1．（2023·江苏·七年级专题练习）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ；（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 变式1．（2023·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合． (2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合． 变式2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】 （1）平移运动：如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点． ①______（用含的代数式表示）； ②将点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，求点表示的数；③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是______． （2）翻折变换：①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系：______；②若以表示的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示的点重合的点在数轴上表示的数是______；③如图2，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折重合，若点、对应重合的点分别为点、，点与点相距2个单位长度，请直接写出点表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 模型9.数轴上的线段移动模型 例1．（2023·广东佛山·七年级阶段练习）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15． （1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______； （2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？ 变式1．（2023·山东济南·七年级期末）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8． (1)求m和n的长度；(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）； ②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值． 1．（2023·河南洛阳·七年级校考阶段练习）一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（    ）个单位长度． A．0 B．100 C．50 D．－50 2．（2023·浙江七年级课时练习）如图，数轴上线段，点在数轴上表示的数是－10，点在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点运动到线段上时，是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为_________． 3．（2024·浙江七年级课时练习）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 4．（2023春·河北保定·七年级专题练习）如图，数轴上标出的所有点中，相邻两点间的距离都相等，已知点A表示，点表示8．点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到A点的距离与到点的距离之和为24，则这样的点有 ___________个． 5．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”．如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”；(2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______；(3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 6．（2023·四川·攀枝花七年级期中）在数轴上有三点A，B，C分别表示数a，b，c，其中b是最小的正整数，且|a+2|与（c﹣7）2互为相反数．（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）若将数轴折叠，使点A与点C重合，则点B与表示数　 　的点重合； （3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度的速度和4个单位长度的速度向右运动，若点A与点B的距离表示为AB，点A与点C的距离表示为AC，点B与点C的距离表示为BC，则t秒钟后，AB＝　 　，AC＝　 　，BC＝　 　；（用含t的式子表示）（4）请问：3BC﹣2AB的值是否随时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出其值． 7．（2023·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上点B表示数b，点C表示数c，且．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如：点A与点B之间的距离记作AB． （1）求BC的值；（2）在数轴上有一动点M满足MB＋MC＝51，直接写出点M表示的数； （3）动点A从数3对应的点开始向右运动，速度为每秒2个单位长度，同时点B，C在数轴上运动，点B，C的速度分别为每秒3个单位长度、每秒5个单位长度，运动时间为t秒． ①若点B向右运动，点C向左运动，BA＝ＢC，求t的值； ②若点B向右运动，点C向右运动，（不考虑点A与点B重合），是否存在一个常数使得的值在一定时间范围内不随t的变化而变化？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 8．（2023·广东广州·七年级校考期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值． ②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值． 9．（2023·江西·七年级期末）已知数轴上点在原点的左边，到原点的距离为4，点在原点右边，从点走到点，要经过16个单位长度．（1）写出、两点所对应的数；（2）若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点距离的3倍，求对应的数；（3）已知点从点开始向右出发，速度每秒1个单位长度，同时从点开始向右出发，速度每秒2个单位长度，设线段的中点为，线段的值是否会发生变化？若会，请说明理由，若不会，请求出求其值． 10．（23-24七年级·福建泉州·期中）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别、，且满足，O为原点；在A、B两点处各放一个档板，M、N两个小球同时从数轴上的C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴的负方向运动，N以每秒4个单位的速度向数轴的正方向运动，小球碰到档板后立即向反方向运动且速度不变，设小球的运动时间为秒钟（） (1)填空：线段AB的长为 ．(2)若M小球第一次碰到A档板时，N小球刚好也是第一次碰到B档板，试确定点C的位置．(3)当时，试判断的值是否随时间的变化而变化？若它的值不变，请求出该值；若它的值会变，请通过计算说明理由．    11.（2023·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 12．（2023·辽宁沈阳·七年级期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6． (1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒． ①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________。个单位长度；②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________。 13．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位长度，点N从点B出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位长度．（1）求A、B两点的距离为　 　个单位长度． （2）若点M向右运动，同时点N向左运动，求经过多长时间点M与点N相距54个单位长度？ （3）若点M、N、P同时都向右运动，当点M与点N相遇后，点M、P继续以原来的速度向右运动，点N改变运动方向，以原来的速度向左运动，求从开始运动后，经过多长时间点P到点M、N的距离相等？ 14.（2023·陕西·西安七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．（1）a＝　 　，b＝　 　；（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x　 　时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 　 　； （3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？ 15．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1  如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示，点C表示24，点D表示，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2  ：动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1  动点P从点A运动至点B需要多少时间？ 探索2  动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； 探索3  动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 16．（2023·福建南平·七年级期末）【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，-1，那么． (1)若，则x的值为 ．(2)当x＝ （x是整数）时，式子成立． (3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义： 当时，点P叫点A的1倍伴随点，当时，点P叫点A的2倍伴随点，…… 当时，点P叫点A的n倍伴随点． 试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由． 17．（23-24七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题．两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？(2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 18．（23-24七年级上·湖北荆州·期中）已知点M、N在数轴上，点M对应的数是，点N在点M的右边，且距点M为4个单位长度．(1)直接写出点N所对应的有理数；(2)点P是数轴上一动点，请直接写出点P到点M和点N的距离和的最小值；(3)若点P到点M、N的距离之和是6个单位长度： ①求点P所对应的有理数是多少？②如果点Q从点N出发，沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，t秒后P、Q两点相距4个单位长度，求t．    19．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题： 若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题） （1）则数轴上数3表示的点与数 表示的点重合． （2）若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则B点表示的数是_________． （3）若数轴上M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是________，N点表示的数是________． 20．（2023·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴上的九类动态模型 数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 2 模型2.单（多）动点匀速模型 5 模型3.单（多）动点变速模型 7 模型4.动点往返运动模型 11 模型5.动态中点与n等分点模型 14 模型6.动态定值（无参型）模型 18 模型7.动态定值（含参型）模型 21 模型8.数轴折叠（翻折）模型 24 模型9.数轴上的线段移动模型 28 31 【知识储备】 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB的中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1．（2023·广西·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点．(1)求点A与点C的距离．(2)若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动 次． 【答案】(1)12(2)17或5(3)2或29 【分析】(1)根据两点间的距离公式可得A与C的距离； (2)设点P表示的数是x，根据题意列出方程，再解方程即可； (3)设点P表示的数是x，根据题意列出方程可得x=−16或0，再根据点P的移动规律可得答案． (1)解：AC＝|8-(-4)|＝12，故答案为：12； (2)解：设点P表示的数是x，则PB＝|x＋1|，PC＝|x﹣8|，∴|x＋1|＝2|x﹣8|，解得x＝17或5； (3)解：设点P表示的数是x，则PA＝|x＋4|，PC＝|x﹣8|，∴|x﹣8|＝2|x＋4|，解得x＝﹣16或0， 根据点P的移动规律，它到达的数字分别是﹣2，0，﹣3，1，﹣4，2，﹣5，3，……， 它移动奇数次到达的数是从﹣2开始连续的负整数，故移动到﹣16需29次，移动到0需2次． 故答案为：2或29． 【点睛】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键． 例2．（2023·浙江·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值． 【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1， x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列举知①②正确，符合题意； 由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m． ∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22， ∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③错误，不合题意； ∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404， 故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数． 变式1．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由，可得，即为在数轴上表示的数． 【详解】解：∵表示的数为，表示的数为，表示的数为0，表示的数为，表示的数为，.....， ∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度， ∵，∴， ∴在数轴上表示的数为，故选：B． 变式2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，点的初始位置位于数轴上的原点，现对点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点，第2次从点向左移动4个单位长度至点，第3次从点向右移动7个单位长度至点，第4次从点向左移动10个单位长度至点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 ．这样移动2023次后该点到原点的距离为 ． 【答案】 7 3034 【分析】本题考查数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 依次求出每次移动后点所对应的数，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，移动1次后该点对应的数为1；移动2次后该点对应的数为； 移动3次后该点对应的数为；移动4次后该点对应的数为； 移动5次后该点对应的数为；…， 所以移动n次后该点对应的数为（n为奇数）； 又因为 当时，原式， 即移动2023次后该点对应的数为3034，所以该点到原点的距离为3034．故答案为：7，3034． 模型2.单（多）动点匀速模型 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1．（2023·河北·邯郸七年级阶段练习）在数轴上标出数所对应的点；两点间距离=____；两点间距离= ；数轴上有两点，点对应的数为，点对应的数为，那么两点之间的距离= ；若动点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设运动时间为，问：①为何值时两点重合？②为何值时两点之间的距离为？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）（4）①；②2或4 【分析】直接根据数轴上的点与有理数的对应关系即可得出答案； 用数轴上右边的点对应的有理数减去左边点对应的有理数即可求出距离； 根据距离等于两点表示的数之差的绝对值即可得出答案； ①分别用含t的代数式表示出P，Q表示的有理数，通过题意建立方程，解方程即可； ②根据两点之间的距离为1，建立方程，解方程即可． 【详解】如图， 之间的距离为，B，C两点间距离为； 两点之间的距离为； ①设点表示的数为，点表示的数为，令解得， ②间的为，令解得． 【点睛】本题考查数轴上的点与有理数，掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键． 变式1．（2023·江苏·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离． 【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）当0≤t≤8时，PQ＝－2t＋16；当8＜t≤12时，PQ＝2t－16；当12＜t≤20时，PQ＝20－t． 【分析】（1）由题意根据数轴上动点向正方向移动用加法以及两点间距离公式进行分析计算； （2）根据题意点P的移动时间为t秒列出代数式即可； （3）根据题意分当0≤t≤8时，当8＜t≤12时，当12＜t≤20时三种情况进行分析即可. 【详解】解：（1）由题意可得当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为：， 点Q对应的数为：，P、Q两点间的距离为：，故答案为：－5, －11；     6． （2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为：－10＋t．故答案为：－10＋t． （3）当0≤t≤8时，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t) ＝－2t＋16； 当8＜t≤12时，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；    当12＜t≤20时，PQ＝10－(－10＋t) ＝20－t． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握列代数式表示动点以及两点间距离公式，运用数形结合思维和分类讨论思维进行分析是解题的关键. 变式2．（2023·江苏七年级课时练习）已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2，列式计算即可． 【详解】根据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2， ∴8-7t=4-2t或7t-8=4-2t，解得t=或，故选C． 【点睛】本题考查了数轴上两动点间的距离，用定数，运动距离表示动点表示的数是解题的关键． 模型3.单（多）动点变速模型 例1．（2023·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）秒或秒秒或秒 【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，即可求出a、b； （2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解； （3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可． 【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关， ∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3） ＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15， ∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0，解得b＝﹣20，a＝12； （2）设运动时间为t秒．由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t， 故答案为：12﹣6t，﹣20+2t； （3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒，相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝； 相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒），相遇点为﹣20+2×4＝﹣12， 点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝； 由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t， 点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t． 当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝； 当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝． 答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒 【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键． 变式1．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示． 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒．(1)直接写出的值； (2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：___________，点在数轴上对应的数为___________． (3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍． 在整个运动过程中，当之间的距离为2个单位时，求运动时间的值（需写出必要的解答过程）．    【答案】(1)(2)，(3)秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查了绝对值的非负性、列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，熟练根据题中的等量关系列方程求解是解此题的关键．（1）根据绝对值和平方式的非负性得出和的值即可； （2）根据点的运动列出代数式即可；（3）分情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，，解得：； （2）解：由（1）可得：，点表示的数为12，点表示的数为， 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒， 点在数轴上对应的数为：；点在数轴上对应的数为：，故答案为：，； （3）解：设当之间的距离为2个单位时，运动时间为秒， 相遇前：，解得： 相遇后：相遇的时间为：（秒）， 相遇点为，点在原地停留4秒时，，解得：； 由题意得：当相遇后，点在数轴上对应的数为：，点在数轴上对应的数为：， 当在左侧时，，解得：， 当在右侧时，，解得：， 故当之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒或秒或秒． 变式2．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或 【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为； （2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案； （3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案． 【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为，故答案为：12； （2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，∴当点M、N都运动到折线段上， 即时，M表示的数是，N表示的数是， ∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离， ∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴，解得，故答案为：，，； （3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度， ∴，即，∴或， 解得或，由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C， ∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 当，即M在从点O运动到点C时，，即， ∴或，解得或， 当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故答案为：或；8或． 【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论． 模型4.动点往返运动模型 例1．（2023春·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1(2)或4(3)点P所经过的总路程是个单位长度 【分析】（1）若点P对应的数与、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等． （2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程． 【详解】（1）∵，2的绝对值是2， ，的绝对值是2，∴点P对应的数是1． （2）当P在之间，（不可能有） 当P在A的左侧，，得 当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得：，解得．则． 答：点P所经过的总路程是个单位长度． 【点睛】此题考查动点问题，解题关键是正确表示点和点直接的距离，以及根据数量关系列方程求解． 变式1．（2023·重庆·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】设C点在数轴上对应的数为，根据题意可得，求得；根据题意分时间段讨论两小球的位置，分别求解即可． 【详解】解：设C点在数轴上对应的数为，则， 当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则 解得，即C点在数轴上对应的数为0，①正确； 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点， 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，M小球运动的距离为 当10＜t＜25时，N小球从点向点开始运动，此时， 点表示数的为，②正确； 当时，N小球运动的距离为，M小球运动的距离为 当25＜t＜40时，N小球从点向点开始运动，M小球向点运动 则，，，③错误； 当时，，，由题意得，，解得，不符题意； 当时，，， 由题意得，，解得，不符题意； 当时，，当时，， 由题意得，，解得，此时三点重合，成立； 当时，，由题意得，，解得，不符题意； 当时，，由题意得，，解得，不符题意； ④正确 故选：D 【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上两点之间的距离以及数轴上的动点，解题的关键是理解题意，掌握题中的等量关系，分时间段进行讨论求解即可． 变式2．（2023·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1 【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为；（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为 13−2t； ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； （3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），即得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1． (1)∵A表示的数为−2，点B表示的数为13， ∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；． (2)①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；故答案为：−2＋3t；13−2t． ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； 答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7． (3)由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−）， 根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），解得t＝9， 第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 【点睛】本题考查一元一次方程应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数． 模型5.动态中点与n等分点模型 例1.（2023·江西赣州·七年级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 【答案】（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【详解】解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，故答案是：G． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16． 故答案是：-4或-16． （2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒； 综上所述，t的值为：1.5或3或9． 【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 变式1．（2023·成都市·七年级专题练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（    ） 甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为； 乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为； 丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确 【答案】A 【分析】分别求得点C在线段AB上运动时，点C在射线AB上运动时和点C在射线BA上运动时，线段的长度，判定即可． 【详解】解：点C在线段AB上运动时，如下图： 甲说法正确； 当点C在射线AB上运动时，如下图： 乙说法不正确； 当点C在射线BA上运动时，如下图： 丙说法不正确 故选A 【点睛】此题考查数轴上的动点以及两点之间的距离，解题的关键是对点C的位置进行分类讨论分别求解． 变式2．（2023·江苏扬州·七年级期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6． (1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B； (2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动． ①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？ ②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数． 【答案】(1)见解析；(2)①秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②P对应数-6或0． 【分析】（1）画出数轴，找出A、B所对应的点即可； （2）①根据两点间距离表示出MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，NP=5t－6，计算即可；②根据点P是【B，A】的三倍点，可得PB=3PA．分情况讨论：当点P在A点左侧时，求出点P对应数-6；当点P在A、B之间时，求出点P对应数0，综上可知点P对应数-6或0． (1)解：如图所示： (2)解：①MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，NP=5t－6 ∴t+2 =6－5t，得：t=；或t+2 =5t－6，得：t=2． 即秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等， ②∵点P是【B，A】的三倍点，∴PB=3PA． 当点P在A点左侧时，AB=2PA=8，∴PA=4，点P对应数-6； 当点P在A、B之间时，AB=4PA=8，∴PA=2，点P对应数0， 综上可知点P对应数-6或0． 【点睛】本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴的三要素及画法，数轴上两点之间的距离，注意对于动点问题需要进行分情况讨论． 模型6.动态定值（无参型）模型 设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当代数式的计算结果中不含有未知数t，则代数式为定值。 例1．（2023·福建·七年级校考期末）点在数轴上对应的数分别为，且满足． (1)如图，求线段的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)4(2)或(3)正确的结论为①的值不变，其值为2 【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出的长； （2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由确定出P位置，即可做出判断；（3）设P点所表示的数为n，就有，，根据条件就可以表示出， ，再分别代入①和②求出其值即可． 【详解】（1）解：∵，∴，， ∴，∴．答：的长为4； （2）∵，∴，∴BC==5．设点P在数轴上对应的数是m， ∵，∴，令，，∴或． ①当时，，； ②当时，，（舍去）； ③当时，，． ∴当点P表示的数为或时，； （3）解：设P点所表示的数为n，∴，． ∵PA的中点为M，∴． ∵N为的四等分点且靠近于B点，∴B， ∴①=2（不变），②（随点P的变化而变化）， ∴正确的结论为①，且． 【点睛】此题考查了数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，一元一次方程的解，解题的关键是灵活运用两点间的距离公式． 变式1.（2023·福建·厦门市七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；(1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.） (3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样　. 【答案】（1）-3、9；（2）点C的速度为每秒1个单位长度；（3）的值没有发生变化，理由见解析. 【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则每一个数都是0，建立关于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，可表示，，再由CA=CB建立关于x的方程求解即可；（3）根据点的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出PQ、OD、MN的长，然后求出的值为常量，即可得出结论. 【详解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9； （2）设3秒后点C对应的数为x，则，，∵CA=CB，∴， 当，无解； 当，解得x=3，此时点C的速度为3÷3=1个单位每秒， ∴点C的速度为每秒1个单位长度； （3）的值没有发生变化，理由如下：设运动时间为t秒， 则点D对应的数为2t；点P对应的数为-3-3t；点Q对应的数为9+6t； 点M对应的数为-1.5-0.5t；点N对应的数为4.5+3t；则PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6， ∴，为定值，即的值没有发生变化. 【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题关键是根据数轴表示的数正确列出代数式. 变式2．（2023·浙江杭州·七年级期中）如图，已知O为数轴原点，A，B，C是数轴上三点，它们表示的数分别是4，10， －20.动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为AP的中点，点N在BQ上，且，R为PQ的中点，设运动时间为t秒（t>0），当满足2MO＋2RO=NO时，t=________秒. 【答案】t=1s或s． 【分析】根据题意可得点P在数轴上表示的数为-20+6t，点Q在数轴上表示的数为10+3t，点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为10+ 3t×（1-）=10+t，根据2MO＋2RO=NO把问题转化为绝对值方程解决即可. 【详解】由题意可得：点P在数轴上表示的数为-20+6t，点Q在数轴上表示的数为10+3t，点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为10+ 3t×（1-）=10+t， ∴，，， ∵2MO＋2RO=NO，∴，即， ①当0＜t≤时，，解得t=1， ②当＜t≤时，，解得t=2， ③当t＞时，，解得t=(舍)； 综上所述，t=1s或s． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴、绝对值、两点间距离等知识，解题的关键是理解题意，学会构建绝对值方程解决问题． 模型7.动态定值（含参型）模型 例1．（2023·江苏·七年级期末）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m-n．如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数为　 　，点P表示的数为　 　．（用含t的式子表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发． ①求点P运动多少秒追上点Q？②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数； （3）如图2，若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR-OP+mOR为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（其中QR表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离．） 【答案】（1），；（2）①9秒；②点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为，；（3）当时，为定值，定值为： 【分析】（1）结合题意，根据数轴、代数式的性质分析，即可得到答案； （2）①根据题意，列方程并求解，即可得到答案； ②分相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析，结合题意，通过列方程并求解，即可得到；再结合数轴和代数式的性质计算，即可得到答案； （3）根据题意得：运动时间为t秒时，Q，R，P表示的数分别为：，，；且＜＜；结合数轴的性质列代数式，得当时，为定值，从而完成求解． 【详解】（1）∵已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边 ∴B表示的数为：； ∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒 ∴点P表示的数为： 故答案为：，； （2）①根据题意，得： ∴，即点P运动9秒时追上点Q； ②分相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析； 相遇前相距6个单位长度，依题意得： ∴ ∴此时点P表示的数为：； 相遇后相距6个单位长度，依题意得： ∴ ∴此时点P表示的数为：； ∴点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为，； （3）运动时间为t秒时，Q，R，P表示的数分别为：，，； 根据题意得：＜＜∴，， ∴ 当，即时，为定值，定值为：． 【点睛】本题考查了数轴、代数式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、代数式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 变式1．（2023·重庆璧山·七年级校考期末）如图，数轴上有三个点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中a，b，c满足，c是最小的正整数． (1)___________；___________；___________； (2)为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动几个单位长度？ (3)若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒4个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①若动点Q到达点A后，速度变为每秒7个单位长度，继续向左运动，当t为何值时，点P与点Q距离3个单位长度？②记点P与点Q之间的距离为，点Q与点R之间的距离为，请用含t的代数式表示和，并判断是否存在一个常数m，使的值不随t的变化而改变，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)(2)2个 (3)①t为或时，②存在，当时，的值不随t的变化而改变 【分析】（1）根据点在数轴上的位置，直接写出点代表的数即可；（2）利用数轴上两点间的距离公式进行计算即可；（3）①先根据题意列出代数式，再利用两点间的距离进行求解即可；②根据题意，列出代数式，再求出，使的系数为0，求出即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：； （2）解：设将点B向左移动个单位长度，则此时表示的数字为： 由题意得：，解得：； ∴为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动2个单位长度． （3）解：由题意的：点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ①到达时用的时间为：秒，∴表示的数为：， 当在左侧时：，解得：； 当在右侧时：，解得：； ∴t为或时，点P与点Q距离3个单位长度． ②存在，由题意得：，， ∴， ∵的值不随t的变化而改变，∴，∴． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，以及数轴上两点间的距离公式．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，利用方程思想进行求解，是解题的关键． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 例1．（2023·江苏·七年级专题练习）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ；（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【分析】（1）根据移动的方向和距离，求解即可； （2）分情况讨论，分别向左，向右移动2次2个单位长度和向右移动一次向左移动一次，然后求解即可； （3）设点P向左移动个单位，求得P，A两点的距离和A，B两点距离，再求解即可； （4）求得对称中心，然后求解即可；（5）求得对称中心，由题意可得A点在表示−1的点的左侧5个单位，求解即可；（6）根据题意，求得的距离，然后分在左侧和右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为， ， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 【点睛】此题考查数轴的应用，涉及了数轴上的距离和动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质． 变式1．（2023·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合． (2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合． 【答案】(1)3(2)①；②，6(3)秒 【分析】（1）设表示的点与x表示的点重合，根据1表示的点与表示的点重合，得到折痕过原点，根据对称点到对称轴的距离相等得到，解得；（2）①根据表示的点与3表示的点重合，得到折痕经过数表示的点，设5表示的点与数x表示的点重合，得到，解得；②设点A表示的数为x，则，解得，点B表示的数为； （3）设t秒，得到点E表示的数为，点F表示的数为，当1表示的点与表示的点重合时，得到折痕过原点，根据点E与点F也恰好重合，得到，解得． 【详解】（1）设表示的点与x表示的点重合 ∵1表示的点与表示的点重合，∴折痕经过数表示的点，即原点， ∴，∴∴表示的点与3表示的点重合；故答案为：3 （2）①∵表示的点与3表示的点重合，∴折痕经过数表示的点， 设5表示的点与数x表示的点重合，则，∴；故答案为：； ②设点A表示的数为x，则点B表示的数为， ，∴，，故答案为：，6； （3）设t秒，则点E表示的数为，点F表示的数为， ∵1表示的点与表示的点重合时，折痕经过原点， ∴点E与点F也恰好重合时，，∴． 【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握对称点到对称轴的距离相等，中点坐标公式． 变式2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】 （1）平移运动 如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点． ①______（用含的代数式表示）； ②将点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，求点表示的数； ③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是______． （2）翻折变换 ①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系：______； ②若以表示的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示的点重合的点在数轴上表示的数是______； ③如图2，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折重合，若点、对应重合的点分别为点、，点与点相距2个单位长度，请直接写出点表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 【答案】（1）①；②；③；（2）①；②；③P对应的数为或．迁移拓展：问题见解析，表示的数为． 【分析】（1）①根据用数轴上的点表示有理数的方法即可求解．②根据题意先列式再计算可求解．③先列式，再利用规律求解即可； （2）①根据翻折的性质结合相反数的特点即可求解．②根据数轴上两点之间的距离先求解折痕对应的数，再列式即可求解．③设折点P对应的数为，则对应的数为，利用点与点相距2个单位长度，再建立方程即可求解． 迁移拓展：仿照（1）（2）设置问题，再解答即可． 【详解】解：（1）①数为； ②点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，点表示的数为；； ③由题意可得： ； （2）①在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系为； ②由题意可得：； ③设折点P对应的数为，则对应的数为， ∵点与点相距2个单位长度，∴，即， ∴或，解得：或，∴P对应的数为或． 迁移拓展：问题如下：一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点，并且线段的长度为5，请直接写出点表示的数． 解答如下：点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点， 设在数轴上表示的数为，则对应的数为， ∴，∴，∴， 点为，故表示的数为． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，相反数的含义，整式的加减运算的应用，绝对值方程与一元一次方程的应用，熟练的表示折痕点与折后对应点对应的数是解本题的关键． 模型9.数轴上的线段移动模型 例1．（2023·广东佛山·七年级阶段练习）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15． （1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______； （2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？ 【答案】-10，14，24；(2) -2；(3) t=23或25 【分析】(1)根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可求出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段BC的长度； (2)设相遇时间为a,分别用a表示出相遇时B、C两点所表示的数,让其相等即可求出; (3) 分线段AB与线段CD在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC=1，得出关于t的的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】解：（1）∵AB=2，点A在数轴上表示的数是-12，∴点B在数轴上表示的数是-12+2=-10； ∵CD=1，点D在数轴上表示的数是15，∴点C在数轴上表示的数是15-1=14． ∴BC=14-（-10）=24．故答案为：-10，14，24； （2）设运动时间为a秒时B、C相遇， 此时点B在数轴上表示的数为-10+a，点C在数轴上表示的数为14-2a ∵B、C重合∴-10+a=14-2a解得a=8 此时点与点在数轴上表示的数是-10+a=-10+8=-2；故答案为：-2 (3)当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为-10-t，点C在数轴上表示的数为14-2t ∴BC==∵BC=1∴=1∴t1=，t2= 综上所述：当BC=1时，t=23或25； 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点B、C在数轴上表示的数． 变式1．（2023·山东济南·七年级期末）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8． (1)求m和n的长度；(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）； ②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)m＝4，n＝5(2)①；②6s或11s 【分析】（1）根据非负数的性质可得答案；（2）①根据中点的定义及距离可得答案；②分两种情况：m在n后面时，m在n前面时，分别得到答案即可． (1)解：∵|a＋5|＋（b＋1）2＝0，∴|a＋5|＝0，（b＋1）2＝0， ∴a＝﹣5，b＝﹣1∴m＝-1-（-5）=4 又因为c＝3，d＝8∴n＝8-3=5∴m和n的长度分别为4和5； (2)解：①∵（a+b）÷2＝（﹣5﹣1）÷2＝﹣3．∴t＝s，故答案是：； ②m在n后面时，BC＝3﹣（﹣1）＝4，设t秒重叠2个单位长度， 可得4t＝3t+4+2，解得t＝6，m在n前面时，AD＝8﹣（﹣5）＝13， 可得4t＝3t+13﹣2，解得t＝11，综上t＝6s或11s． 【点睛】此题考查了数轴的相关概念，掌握非负数性质和表示线段距离是解决此题关键． 变式2．（2023·河南信阳·七年级校考期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣12|+（n+3）2＝0 （1）则m＝　 　，n＝　 　；（2）①情境：有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为　 　个单位长度：②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？（3）在（2）①的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB运动后对应的位置为A′B′．是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）m＝12，n＝﹣3；（2）①5；②应64岁；（3）k＝6，15 【分析】（1）由非负性可求m，n的值； （2）①由题意可得3AB＝m﹣n，即可求解；②由题意列出方程组，即可求解； （3）用参数t分别表示出PQ，B'A的长度，进而用参数t表示出3PQ﹣kB′A，即可求解． 【详解】解：（1）∵|m﹣12|+（n+3）2＝0， ∴m﹣12＝0，n+3＝0，∴m＝12，n＝﹣3；故答案为12，﹣3； （2）①由题意得：3AB＝m﹣n，∴AB＝＝5， ∴玩具火车的长为：5个单位长度，故答案为5； ②能帮小明求出来，设小明今年x岁，奶奶今年y岁， 根据题意可得方程组为： ，解得： ， 答：奶奶今年64岁； （3）由题意可得PQ＝（12+3t）﹣（﹣3﹣t）＝15+4t，B'A＝5+2t， ∵3PQ﹣kB′A＝3（15+4t）﹣k（5+2t）＝45﹣5k+（12﹣2k）t，且3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关， ∴12﹣2k＝0，∴k＝6∴3PQ﹣kB′A＝45﹣30＝15 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，关键是用代数式表示数轴上两点之间的距离，体现了数形结合思想和方程思想. 1．（2023·河南洛阳·七年级校考阶段练习）一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（    ）个单位长度． A．0 B．100 C．50 D．－50 【答案】C 【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可． 【详解】解：0＋1﹣2＋3﹣4＋5﹣6＋…＋99﹣100＝﹣50，所以落点处离0的距离是50个单位． 故答案为：C． 【点睛】主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 2．（2023·浙江七年级课时练习）如图，数轴上线段，点在数轴上表示的数是－10，点在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点运动到线段上时，是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为_________． 【答案】5或3.5 【分析】随着点B的运动，分别讨论点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况． 【详解】解：设运动时间为t秒， ①当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC， ∵，∴BD=AP+3PC，即4=2+2PC，∴PC=1，∴PD=PC+BD=5； ②当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2， 当点P在线段AC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC， ∵，∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +2PC，∴PC=1，∴PD=PC+CD=5； 当点P在线段BC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC， ∵，∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5； ③当t=时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC， ∵，∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5； ④当＜t＜时，0＜PC≤6，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC， ∵，∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5； 综上，线段的长为5或3.5，故答案为：5或3.5 【点睛】本题考查了两点间的距离，数轴上的动点问题，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意进行分情况讨论，不要漏解． 3．（2024·浙江七年级课时练习）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 【答案】或30 【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，∴b﹣9＝0，c﹣15＝0， ∴b＝9，c＝15，∴B表示的数是9，C表示的数是15， ①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝， ③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30， 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，故答案为：或30． 【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 4．（2023春·河北保定·七年级专题练习）如图，数轴上标出的所有点中，相邻两点间的距离都相等，已知点A表示，点表示8．点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到A点的距离与到点的距离之和为24，则这样的点有 ___________个． 【答案】25 【分析】由题意可计算出点A到点G的长度为24，即得出点在线段上，再根据点表示的数是整数，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴点在线段上，即点P所表示的数的取值范围为是， ∵点表示的数是整数，∴或或或…或7或8，共25个．故答案为：25． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题．判断出点在线段上是解题关键． 5．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 【答案】(1)不是(2)或者(3) 【分析】（1）根据关联点的定义，即可；（2）根据关联点的定义得到等式，再讨论点的位置，求出满足的值；（3）设点表示的数为，根据关联点的定义，得出用，，表示的代数式，再由点运动时，式子为定值，得关于的代数式中的系数为，即可求出，数量关系． 【详解】（1）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为， ∴，，∴， ∵不是整数，∴原点不是“整关联点”．故答案为：不是． （2）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，， ∴，，∴， 若点是“整关联点”，∴， 当点在线段之间，，∴点表示的数为：； 当点在线段的延长线上，，∴， ∴点表示的数为：； 综上所述，点表示的数为：或者．故答案为：或者． （3）设点表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上， ∴，；，， ∴，， ∴， 当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值， ∴，解得：，∴整数，满足的数量关系为：，故答案为：． 【点睛】本题考查新定义、数轴的知识，解题的关键的掌握数轴上两点的距离，动点问题，线段的数量关系，理解新定义的概念． 6．（2023·四川·攀枝花七年级期中）在数轴上有三点A，B，C分别表示数a，b，c，其中b是最小的正整数，且|a+2|与（c﹣7）2互为相反数．（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）若将数轴折叠，使点A与点C重合，则点B与表示数　 　的点重合； （3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度的速度和4个单位长度的速度向右运动，若点A与点B的距离表示为AB，点A与点C的距离表示为AC，点B与点C的距离表示为BC，则t秒钟后，AB＝　 　，AC＝　 　，BC＝　 　；（用含t的式子表示） （4）请问：3BC﹣2AB的值是否随时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出其值． 【答案】（1）−2，1，7．（2）4．（3）3t＋3，5t＋9，2t＋6．（4）不变；12． 【分析】（1）利用|a＋2|＋（c﹣7）2＝0，得a＋2＝0，c−7＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得b＝1；（2）先求出对称点，即可得出结果；（3）先写出各点表示的数，再根据数轴上的点的距离的定义即可求解．（4）由 3BC−2AB＝3（2t＋6）−2（3t＋3）求解即可． 【详解】（1）∵|a＋2|＋（c−7）2＝0，∴a＋2＝0，c−7＝0，解得a＝−2，c＝7， ∵b是最小的正整数，∴b＝1；故答案为：−2，1，7． （2）（7＋2）÷2＝4.5，对称点为7−4.5＝2.5，2.5＋（2.5−1）＝4；故答案为：4． （3）A点表示的数为-2-t，B点表示的数为1+2t，C点表示的数为7+4t， ∴AB＝（1+2t）-（-2-t）＝3t＋3，AC＝（7+4t）-（-2-t）＝5t＋9，BC＝（7+4t）-（1+2t）=2t＋6； 故答案为：3t＋3，5t＋9，2t＋6． （4）不变． 3BC−2AB＝3（2t＋6）−2（3t＋3）＝12． 【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 7．（2023·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上点B表示数b，点C表示数c，且．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如：点A与点B之间的距离记作AB． （1）求BC的值；（2）在数轴上有一动点M满足MB＋MC＝51，直接写出点M表示的数； （3）动点A从数3对应的点开始向右运动，速度为每秒2个单位长度，同时点B，C在数轴上运动，点B，C的速度分别为每秒3个单位长度、每秒5个单位长度，运动时间为t秒． ①若点B向右运动，点C向左运动，BA＝ＢC，求t的值； ②若点B向右运动，点C向右运动，（不考虑点A与点B重合），是否存在一个常数使得的值在一定时间范围内不随t的变化而变化？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）45；（2）-18或33；（3）①或；②存在，n=3或-3 【分析】（1）根据非负性可求出答案；（2）分三种情况：当点M在点B的左侧；当点M在点B，C之间时；当点M在点C的右侧时；进行讨论可求M点表示的数； （3）①用t的代数式表示AB，BC，列出等式可求解；②用t的代数式表示AB，AC，代入代数式可求解． 【详解】（1）∵，∴b=-15，c=30，∴BC=30-（-15）=45； （2）当点M在点B的左侧， ∵MB＋MC＝51，∴MB＋MB+BC＝51，∴MB=3，∴点M点表示的数为-15-3=-18； 当点M在点B，C之间时， ∵MB＋MC＝BC=45≠51，∴不存在点M，使MB＋MC＝51； 当点M在点C的右侧时, ∵MB＋MC＝51，∴BC+MC+MC=51，∴MC=3， ∴点M点表示的数为30+3=33；综上所述，M点表示的数为-18或33； （3）①∵AB=BC，∴|（3+2t）-（-15+3t）|=|（3+2t）-（30-5t）|∴或． ②∵=-， 原式=(3+n)t+27-18n或者(3-n)t+27+18n，且的值不随时间t的变化而改变， ∴3+n=0，3-n=0，∴存在，n=3或者-3． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴以及绝对值的知识点，数轴上的中点公式，动点在数轴上运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离为解题关键，利用方程思想列式求解即可． 8．（2023·广东广州·七年级校考期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． （1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长． （2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒． ①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值． ②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值． 【答案】（1）DP的长为5cm或10cm；（2）①5秒；②3秒、秒或10秒. 【分析】（1）直接由题目讨论DP为哪一个三等分点即可. (2) ①由题意列出t+2t=15，解得即可. ②分别讨论P，Q重合之前与之后的三等分点即可. 【详解】（1）当DP为短的部分时，DP：PE=1：2，可得DP=5 当DP为长的部分时，DP：PE=2：1，可得DP=10 （2）①当点P与点Q重合时，t+2t=15，即t=5. ②当点P是线段AQ的三等分点时,AQ=15-2t 或或或 解得t=3或t=或t=10. 【点睛】本题考查的知识点是线段的计算，解题的关键是熟练的掌握线段的计算. 9．（2023·江西·七年级期末）已知数轴上点在原点的左边，到原点的距离为4，点在原点右边，从点走到点，要经过16个单位长度．（1）写出、两点所对应的数；（2）若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点距离的3倍，求对应的数；（3）已知点从点开始向右出发，速度每秒1个单位长度，同时从点开始向右出发，速度每秒2个单位长度，设线段的中点为，线段的值是否会发生变化？若会，请说明理由，若不会，请求出求其值． 【答案】（1）-4，12；（2）-6或3；（3）不变化，6 【分析】（1）直接根据实数与数轴上各点的对应关系求出A，B表示的数即可；（2）设点C表示的数为c，再根据点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍列出关于c的方程，求出c的值即可；（3）设运动时间为t秒，则AM=t，NO=12+2t，再根据点P是NO的中点用t表示出PO的长，再求出PO-AM的值即可． 【详解】（1）∵数轴上点A在原点左边，到原点的距离为4个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过16个单位长度，∴点A表示-4，点B表示12； （2）设点C表示的数为c，∵点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍， ∴|c-12|=3|c|，∴c-12=3c或c-12=-3c，解得c=-6或c=3； （3）不变化．设运动时间为t秒，则AM=t，NO=12+2t， ∵点P是NO的中点，∴PO=6+t，∴PO-AM=6+t-t=6，∴PO-AM的值没有变化． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上各点与全体实数是一一对应关系是解答此题的关键． 10．（23-24七年级·福建泉州·期中）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别、，且满足，O为原点；在A、B两点处各放一个档板，M、N两个小球同时从数轴上的C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴的负方向运动，N以每秒4个单位的速度向数轴的正方向运动，小球碰到档板后立即向反方向运动且速度不变，设小球的运动时间为秒钟（）    (1)填空：线段AB的长为 ．(2)若M小球第一次碰到A档板时，N小球刚好也是第一次碰到B档板，试确定点C的位置．(3)当时，试判断的值是否随时间的变化而变化？若它的值不变，请求出该值；若它的值会变，请通过计算说明理由． 【答案】(1)(2)点C在原点位置(3)不变， 【分析】（1）根据绝对值和偶次幂的非负性，列方程组求解即可； （2）根据题意列关于t的方程，解方程进而即可求解； （3）表示出当时，的值就可得的关系式，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，∴．故答案为：． （2）根据题意得，解得：，，∴点C在原点位置． （3）当时，， ∴， ∴的值不会随时间的变化而变化．∴． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 11.（2023·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）秒或秒秒或秒 【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，即可求出a、b； （2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解； （3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可． 【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关， ∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3） ＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15， ∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0，解得b＝﹣20，a＝12； （2） 设运动时间为t秒． （3） 由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t， 故答案为：12﹣6t，﹣20+2t； （3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒， 相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝； 相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒），相遇点为﹣20+2×4＝﹣12， 点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝； 由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t， 点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t． 当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝； 当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝． 答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒 【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键． 12．（2023·辽宁沈阳·七年级期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6． (1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒． ①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________。个单位长度；②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________。【答案】(1)见解析； (2)①4 ，2 ，4；②或或或 【分析】（1）根据题意画出数轴即可； （2）①先求出当时，P点表示的数为6-4=2，然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当P从C向A运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可． (1)解：如图所示，即为所求； (2)解：①当时，P点表示的数为6-4=2， ∴，，，故答案为：4、2、4； ②当P从C向A运动，时，，，， ∵，∴，解得； 当P从C向A运动，时，，，， ∵，∴，解得； 当P从A向C运动时，当时， ，，， ∵，∴，解得； 当P从A向C运动时，当时，，，， ∵，∴，解得； 综上所述，t的值为或或或． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解． 13．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位长度，点N从点B出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位长度．（1）求A、B两点的距离为　 　个单位长度． （2）若点M向右运动，同时点N向左运动，求经过多长时间点M与点N相距54个单位长度？ （3）若点M、N、P同时都向右运动，当点M与点N相遇后，点M、P继续以原来的速度向右运动，点N改变运动方向，以原来的速度向左运动，求从开始运动后，经过多长时间点P到点M、N的距离相等？ 【答案】（1）14；（2）5秒；（3） 秒或3.5秒或秒. 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点的距离； （2）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出2x+6x+14＝54求出即可； （3）首先求出点M与点N相遇的时间为14÷（6﹣2）＝3.5秒，此时N点对应的数是﹣8+6×3.5＝13，再设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等，或相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等，根据PM＝PN列出方程，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8， ∴A、B两点的距离为6﹣（﹣8）＝14．故答案为14； （2）设经过x秒点M与点N相距54个单位． 依题意可列方程为：2x+6x+14＝54，解方程，得x＝5． 答：经过5秒点M与点N相距54个单位； （3）点M与点N相遇的时间为14÷（6﹣2）＝3.5秒， 此时N点对应的数是﹣8+6×3.5＝13． 设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等． 依题意可列方程为：t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，解得t＝， 设从开始运动后，相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等． 依题意可列方程为：（2t+6）﹣t＝t﹣[13﹣6（t﹣3.5）]，解得t＝． 答：从开始运动后，经过秒或3.5秒或秒点P到点M、N的距离相等． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． 14.（2023·陕西·西安七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．（1）a＝　 　，b＝　 　；（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x　 　时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 　 　； （3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？ 【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒． 【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9； （2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值； （3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可． 【详解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0， ∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案为：﹣3，9． （2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|， 当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12； 当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6， ∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12； 当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12， 综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，故答案为：≥9，12． （3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8， 当点Q与点C重合时，则2t＝8，解得t＝4， 当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t， 根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝； 当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t， ∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴点Q表示的数是2t﹣7， 根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝， 综上所述，第秒或第秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍． 【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 15．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1  如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示，点C表示24，点D表示，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2  ：动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1  动点P从点A运动至点B需要多少时间？ 探索2  动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； 探索3  动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】探索1：P从点A运动至点B的时间为秒；探索2：P表示的数为；探索3：动点P运动的时间是秒或秒． 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，根据时间等于路程除以速度结合数轴上两点间距离列式求解即可得到答案； 【详解】解：探索1：∵点A表示，点B表示，∴，， ∵P在段初始速度为2个单位长度/秒，P在段速度为初始速度的一半， ∴P在段速度为1个单位长度/秒， ∴P从点A运动至点B的时间为：（秒）； 探索2  ∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在段速度为初始速度的两倍， ∴P在段速度为4个单位长度/秒， 由探索1可得：P在段运动时间为：秒，∴， ∵点B表示，∴P表示的数为：， 探索3：设t秒后， ①当P在上时，∵，∴， ∵，∴，∴，∴（秒）； ②当P在上时∵，∴， ∵，∴，∴（秒）．综上：动点P运动的时间为秒或秒． 16．（2023·福建南平·七年级期末）【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，-1，那么． (1)若，则x的值为 ．(2)当x＝ （x是整数）时，式子成立． (3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义： 当时，点P叫点A的1倍伴随点，当时，点P叫点A的2倍伴随点，…… 当时，点P叫点A的n倍伴随点． 试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5或1 (2)-2、-1、0、1 (3)存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1 【分析】（1）根据数轴上，两点间的距离，即可求解；（2）根据题意可得表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，再由，即可求解； （3）设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，根据题意可得 ，然后分四种情况讨论，即可求解． (1)解：∵，∴在数轴上到3和x的点的距离为2， ∴x=5或x=1，故答案为：5或1； (2)解：∵，∴表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3， ∵，∴， ∵ x是整数，∴x取-2、-1、0、1；故答案为：-2、-1、0、1； (3)解：存在，理由如下：设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m， ∵点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点， ∴，∴， 当时，，∴，即AB=1； 当时，，∴，即AB=3； 当时，，∴，即AB=3； 当时，，∴，即AB=1； 综上所述，存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，理解新定义，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 17．（23-24七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴，∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，，∴， ， ∵，，∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，∴M点表示的数为：， N点表示的数为：；故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时，； 当点A运动到H点左边4个单位时，， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． 【点睛】本题主要考查了数轴动点问题，熟练掌握数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，路程、速度和时间的关系，长方形面积公式等知识点，求数轴上两点间的距离用右边点对应的数减左边对应的数；路程等于速度乘时间；熟记长方形的面积是长乘宽是解题的关键． 18．（23-24七年级上·湖北荆州·期中）已知点M、N在数轴上，点M对应的数是，点N在点M的右边，且距点M为4个单位长度．    (1)直接写出点N所对应的有理数； (2)点P是数轴上一动点，请直接写出点P到点M和点N的距离和的最小值； (3)若点P到点M、N的距离之和是6个单位长度： ①求点P所对应的有理数是多少？ ②如果点Q从点N出发，沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，t秒后P、Q两点相距4个单位长度，求t． 【答案】(1)1(2)4(3)①或；②或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离及用数轴表示有理数：（1）根据两点间的距离得点N表示的有理数；（2）点P在和1之间时得点P到点M和点N的距离和的最小值； （3）①利用分类讨论思想：当点P在点M的左侧时和当点P在点N的右侧时，利用两点间的距离公式即可；②分三种情况：当点P表示的有理数是时：点Q未追上点P时和当点Q超过点P时及当点P表示的有理数是2时，利用数量间的关系即可求解； 掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，则点N所对应的有理数为1． （2）点P到点M和点N的距离和，即：点P到和到1的距离和， 则点P到点M和点N的距离和的最小值，即点P在和1之间时， 即：点P到点M和点N的距离和的最小值为：． （3）①设点P所表示的有理数为， 由题意得：点P只能在点M的左侧或点N的右侧， 当点P在点M的左侧时：，解得：， 当点P在点N的右侧时：，解得：， 综上所述，点P所对应的有理数是或； ②由①得：点P所对应的有理数是或， 当点P表示的有理数是时， 分两种情况：点Q未追上点P时：，解得：； 当点Q超过点P时：，解得：； 当点P表示的有理数是2时，，解得：， 综上所述，或或． 19．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题： 若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题） （1）则数轴上数3表示的点与数 表示的点重合． （2）若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则B点表示的数是_________． （3）若数轴上M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是________，N点表示的数是________． 【答案】（1）-5；（2）-7或3；（3）1009，-1011 【分析】（1）根据题意即可找到对应点的数；（2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为或，分两种情况计算即可；（3）依据M、N之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M、N所表示的数； 【详解】（1）∵数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于-1对称，， 而，∴数轴上数3表示的点与数表示的点重合；故答案为． （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为或， ∵A、B两点经折叠后重合，∴当点A表示时，，， 当点A表示5时，，，∴B点表示的数是或3；故答案是：或3； （3）∵M、N之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合， ∴，， ∵M点表示的数比N点表示的数大，∴M点表示的数是1009，N点表示的数是；故答案是1009；； 【点睛】本题主要查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离，准确计算是解题的关键． 20．（2023·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 【答案】（1）13，−11；（2）x＝2或x＝；（3）当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6． 【分析】（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为13，然后再进一步求解即可； （2）根据题意先得出点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在点O同侧两种情况进一步分析讨论即可； （3）设长方形ABCD运动的时间为y秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形CDHG两种情况进一步分析讨论即可. 【详解】（1）∵长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5， ∴点H表示的数为：， ∵两点之间的距离为12，∴点D表示的数为：， ∵长方形的长是4个单位长度，∴点A表示的数为：，故答案为：； （2）由题意可知：点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7；，经过x秒后，M点表示的数为﹣9+4x，N点表示的数为7﹣3x； ①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点，则有，解得x＝2 ； ②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇，则有7﹣3x＝﹣9+4x解得：x＝ 综上，当x＝2或x＝时，OM=ON ； （3）设长方形ABCD运动的时间y为秒， ①当重叠部分为长方形EFCD时， DE=−7+2y−5= 2y−12∴ 2(2y−12) = 6，解得：y = 7.5； ②当重叠部分为长方形CDHG时， HD=4- (−7+2y-13)= 24− 2y，∴ 2(24−2y) = 6，解得：y =10.5； 综上，当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6. 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法是解题关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$