12.2 正比例函数的图象与性质（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十二章 一次函数 12.2 一次函数 第一课时 正比例函数的图象与性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解正比例函数的概念，能在用描点法画正比例函数图象 过程中发现正比例函数图象性质; 2.能用正比例函数图象的性质简便地画出正比例函数图象; 3.能够利用正比例函数解决简单的数学问题. 情景导入 h=30t+1800; Q=-25t+300 y=2x s=80t y=-2x 这是我们上节课遇到的一些函数，这些函数都有什么样的特征呢？ 是的没错，这些函数的表达式都是关于自变量的一次式。 可以写成： y=kx+b 形式 正比例函数的图象与性质 新知探究 一般地，形如 y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数. 其中，当b=0时，一次函数y=kx+b就成为 y=kx（k为常数，且k≠0）. 例如:y =2x，y =-2x，s =80t 形式的函数，这种函数就是我们小学所学过的正比例函数 正比例函数是一次函数的特殊情形，本节课我们就来探讨它的图象与性质 1.下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1)y＝－x－6; ； (2)y＝4πx; (3)y＝5x2－8 (6)y＝6x2＋x(1－6x) 解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)是一次函数，也是正比例函数； (3)不是一次函数，也不是正比例函数； (4)不是一次函数，也不是正比例函数； (5)是一次函数，也是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数． 练一练 概念归纳 1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零． -1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 0 -1 -2 -3 -4 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y -1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 0 -1 -2 -3 -4 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y y=2x y=-2x 这些都是正比例函数，你还能举出别的例子吗？他们有什么样的特征呢？ 概念归纳 由此可见，正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的图象是一条经过原点的直线，把它的图象称作直线y=kx. 也因为两点可以确定一条直线，所以画正比例函数的图象，只要先描出两点，再过这两点画直线，即可，下面我们来试一试 y=x O（0,0） A（2,2） 课本例题 例1：在同一直角坐标系内画出正比例函数y= x y=x , y=3x, 的图象. 第一步：先列表 X ··· 0 1 ··· ··· 0 ··· ··· 0 1 ··· ··· 0 3 ··· 第二步：描点 第三步：连线 如图，过两点（0, 0），(1， )画直线，得y= x的图象； 过两点（0, 0），（1, 1）画直线，得y=x的图象； 过点（0, 0），（1, 3）画直线，得y=3x的图象. 1 2 3 4 5 -1 -2 o 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 y=3x y=x y=-4x y= x x y 请你接着画出y=-4x、 y= － x的图象并比较其中的差别. y= － x 根据图象我们可以发现： 想一想：下列函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化? 当k＞0时, x增大时,y的值也增大； 当k＜0时, x增大时,y的值反而减小. x y 0 2 4 y = 2x 1 2 2 4 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 y = x 3 2 -3 -6 x y 0 由此我们可以做出总结： 在正比例函数y=kx中， 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; （图象是自左向右上升的） 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小. （图象是自左向右下降的） 总结归纳 2.函数y=-7x的图象经过第_________象限，经过点_______与点 ，y随x的增大而_______. 二、四 （0，0） （1,-7） 减小 3.已知正比例函数y=(2m+4)x. （1）当m ，函数图象经过第一、三象限； （2）当m ，y 随x 的增大而减小； （3）当m ，函数图象经过点（2，10）. ＞-2 <-2 =0.5 练一练 4.若关于x的一次函数y=a2x-1+a与正比例函数y=4x的图像平行，并且在y轴上的截距为负实数，求a值。 解：∵一次函数y=a2x-1+a与正比例函数y=4x的图像平行 ∴a2=4 , a=±2 又∵在y轴上的截距为负实数 ∴-1+a<0 , a<1 所以，a的值为-2. 练一练 课本练习 1.在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图象： y=- x y= -x y= - 3 x 1 2 3 4 5 -1 -2 o 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 y=-x y=-3x y= － x 2.结合例 1 及上面第 1 题中的图象，就下面问题思考后回答： （1）k>0与k<0时，y=kx 的图象各有什么特点？ （2）|k|的大小不同，对 y = kx 的图象有什么影响？ k>0时，图象过第一、三象限，呈上升趋势； k<0时，图象过第二、四象限，呈下降趋势； 不论k>0还是k<0，图象都过原点，且都是直线. |k|越大，图象越陡（越靠近y轴） B B 随堂练 D 二 减小 ①④⑤ 随堂练 随堂练 kx＋b b＝0 A 2 分层练习-基础 第一、三 第二、四 B 分层练习-基础 C C 答案不唯一，如：－2 分层练习-基础 减小 ＜ 分层练习-基础 分层练习-基础 C C 分层练习-巩固 C D 分层练习-巩固 D y＝3x 四 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 ②③⑤ 课堂反馈 m＝－4 课堂反馈 正比例函数的图象和性质 正比例函数: y=kx(k≠0） 图象：经过原点的直线. 一次函数: y=kx+b (k、b为常数，且k≠0） 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小. 课堂小结 1．关于正比例函数y＝－2x，下列结论中正确的是(　　) A．函数图象经过点(－2,1) B．y随x的增大而减小 C．函数图象经过第一、三象限 D．不论x取何值，总有y＜0 2．下面所给点的坐标满足y＝－2x的是(　　) A．(2，－1) B．(－1,2) C．(1,2) D．(2,1) 3．若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点(1，－1)，则m的值是(　　) A．－1 B．0 C．eq \f(1,2) D．1 4．在正比例函数y＝－3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P(m,5)在第 象限． 5．(上海中考)已知正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x值的增大而 (填“增大”或“减小”)． 6．下列函数：①y＝－3x；②y＝－eq \f(3,x)；③y＝－eq \f(3,2)x2；④y＝eq \f(x,3)＋1；⑤6x－2y＝3.其中y是x的一次函数的是 (填序号)． 7．已知函数y＝(a－3)x3－|a|＋a＋2. (1)当a取何值时，这个函数是一次函数； (2)当a取何值时，这个函数是正比例函数？并写出函数的解析式． 解：(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－3≠0,3－|a|＝1)) ，解得a＝±2.∴当a＝±2时，这个函数是一次函数； (2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－3≠0,3－|a|＝1,a＋2＝0))， 解得a＝－2，则函数的解析式为y＝－5x. 知识点一：一次函数与正比例函数的概念 一般地，形如y＝ (k、b为常数，k≠0)，则y叫做x的一次函数．特别地，当 时，就是正比例函数．即正比例函数是一种特殊的一次函数． 1．下列函数中，是正比例函数的是(　　) A．y＝－8x　 B．y＝eq \f(－8,x)　 C．y＝5x2＋6　 D．y＝－0.5x－1 2．若y＝3x＋2－b是正比例函数，则b的值是 . 知识点二：正比例函数的图象和性质 正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是一条直线．当k＞0时，图象过 象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象过 象限，y随x的增大而减小． 3．(铜仁中考)正比例函数y＝2x的大致图象是(　　) 4．已知正比例函数y＝(3k－1)x，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是(　　) A．k＜0 B．k＞0 C．k＜eq \f(1,3) D．k＞eq \f(1,3) 5．关于函数y＝－2x，下列结论中正确的是(　　) A．图象经过点(－1，－2) B．图象经过第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．不论x取何值，总有y＜0 6．写出一个实数k的值： ，使得正比例函数y＝kx的图象在第二、四象限． 7．已知正比例函数y＝kx(k≠0)，点(2，－3)在函数图象上，则y随x的增大而 (填“增大”或“减小”)． 8．(贺州中考)已知P1(1，y1)、P2(2，y2)是正比例函数y＝eq \f(1,3)x的图象上的两点，则y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”)． 9．作出y＝eq \f(1,2)x的图象，并判断点P(－2,3)、Q(4,2)是否为图象上的点． 解：如图，把x＝－2代入y＝eq \f(1,2)x，得y＝－1，所以P(－2,3)不在图象上；把x＝4代入y＝eq \f(1,2)x，得y＝2，所以Q(4,2)在图象上． 10．已知y＝(k－3)x|k|－2＋2是一次函数，那么k的值为(　　) A．±3　　　　　　　 B．3 C．－3 D．无法确定 11．对于函数y＝k2x(k是常数，k≠0)的图象，下列说法不正确的是(　　) A．是一条直线 B．过点(eq \f(1,k)，k) C．经过第一、三象限或第二、四象限 D．图象经过(0,0) 12．如图，在速度为2米/秒的匀速运动中，距离y(米)与时间x(秒)之间的函数关系的图象大致是(　　) 13．若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是(　　) A．m＜0　 B．m＞0　 C．m＜eq \f(1,2)　 D．m＞eq \f(1,2) 14.(陕西中考)如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A(2，m)、B(n,3)，那么一定有(　　) A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 15.若正比例函数y＝(2m＋1)x2－m2，y随x的增大而增大，则正比例函数的解析式为 . 16．在平面直角坐标系xOy中，点P(2，a)在正比例函数y＝eq \f(1,2)x的图象上，则点Q(a,3a－5)位于第 象限． 17．已知正比例函数y＝(1－2a)x. (1)a为何值时，函数图象经过第一、三象限？ (2)a为何值时，y随x的增大而减小？ (3)若函数图象经过(－1,2)，求此函数解析式并画出图象． 解：(1)a＜eq \f(1,2)；　(2)a＞eq \f(1,2)；　(3)y＝－2x，图略． 18．已知函数y＝(|a|－3)x2＋(a－3)x是x的正比例函数． (1)求此函数的解析式； (2)画出它的图象； (3)已知它的图象上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，当x1＜x2时，试比较y1、y2的大小． 解：(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|a|－3＝0,a－3≠0))，解得a＝－3，∴y＝－6x；　 (2)图象略；　 (3)∵k＝－6＜0，y随x的增大而减小，∴当x1＜x2时y1＞y2. 19．已知正比例函数y＝kx(k≠0)经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3. (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3∴点A的纵坐标为－2，即A(3，－2)．∵正比例函数y＝kx经过点A，∴3k＝－2解得k＝－eq \f(2,3)，∴正比例函数的解析式是y＝－eq \f(2,3)x；　 (2)∵△AOP的面积为5，点A的坐标为(3，－2)，∴AH＝2，S△AOP＝OP×2×eq \f(1,2)＝5，∴OP＝5，xP＝±5.∴点P的坐标为(5,0)或(－5,0)． 一次函数和正比例函数的定义． 【例1】在下列函数关系中：①y＝kx；②y＝eq \f(2,3)x；③y＝x2－(x－1)x；④y＝x2＋1；⑤y＝22－x.一定是一次函数的是 . 【思路分析】①y＝kx，当k＝0时原式就不是一次函数；②y＝eq \f(2,3)x，是一次函数；③由于y＝x2－(x－1)x＝x，则y＝x2－(x－1)x是一次函数；④y＝x2＋1自变量次数不为1，故不是一次函数；⑤y＝22－x是一次函数． 【例2】(1)已知函数y＝(m－2)xm2－3是正比例函数，求m的值； (2)当m为何值时，函数y＝(m＋1)x2－m2＋(m－2)是一次函数？ 【思路分析】根据一次函数和正比例函数的定义，既要保证自变量的指数为1，又要保证k≠0. 【规范解答】依题意得： (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－3＝1,m－2≠0))，解得m＝－2.当m＝－2时，函数y＝(m－2)xm2－3是正比例函数； (2)2－m2＝1且m＋1≠0，∴m＝1，∴当m＝1时，函数y＝(m＋1)x2－m2＋(m－2)是一次函数． 正比例函数的图象与性质． 【例3】若正比例函数y＝(m－1)x|m|－3，y随x的增大而减小，则 . 【思路分析】由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－1＜0,|m|－3＝1))，由m－1＜0得m＜1，由|m|－3＝1得m＝±4，∴m＝－4. 【方法归纳】本题由正比例函数的定义和正比例函数的性质来求解，注意既要保证自变量的指数为1，又要保证k＜0. $$