11.2三角形的内角（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

八年级人教版数学上册 第一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 第一课时 三角形的内角 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点） 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于180°.（重点） 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 情景导入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 锐角三角形 测量 480 720 600 600＋480＋720＝1800 （学生运用学科工具—量角器测量演示） 剪拼 A B C 2 1 （小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程） 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 三角形的内角和定理的证明 新知探究 追问1：在下图中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A 的直线l，直线l 与边BC 有什么位置关系？ 直线l 与边BC 平行． B B C C A l 追问2：在操作过程中, 我们发现了与边BC 平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？ 通过添加与边BC平行 的辅助线l，利用平行 线的性质和平角的定 义即可证明结论． B B C C A l 验证结论：三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 1 2 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 想一想：同学们还有其他的方法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 概念归纳 三角形内角和定理的“三个应用” 1.已知两个角的度数求第三个角的度数. 2.已知一个角的度数求另外两个角度数的和. 3.已知三个角的度数关系，求这三个角的度数. 三角形的内角和定理的应用 新知探究 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20°=85°. 典例剖析 【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°. 例 2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 典例剖析 基本图形 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 4 总结归纳 例 3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°. 几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想. 典例剖析 【变式题】在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数． 解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数． 比例关系可考虑用方程思想求角度. 解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB， 设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x. ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°， ∴∠A＝30°，∠ACB＝90°. ∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°. ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE＝ ×90°＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°. ②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 _________三角形 . ①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= . ③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= . 102° 直角 60° 50° 70° 练一练 25 北 . A D 北 . C B . 东 E 例 4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 三角形的内角和定理在实际问题中的应用 新知探究 解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °. 所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB =180°-60°-30° =90°, 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 北 . A D 北 . C B . 东 E 【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数. 解：如图， 由题意得BE∥AD,∠BAD=40°， ∠CAD=15°，∠EBC=80°， ∴∠EBA=∠BAD=40°， ∠BAC=40°+15°=55°, ∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°， ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC =180°-55°-40°=85°． D E 1.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的 度数为(　　) A．30°　　B．40°　 C．50° 　D．60° D 2.(中考·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(　　) A．45° B．54° C．40° D．50° C 练一练 3.求出下列各图中的x值． x=70 x=60 x=30 x=50 练一练 4.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ . B A C D 4 1 3 2 E 40° （ 280 ° 练一练 5.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°-60°=120°． 【变式题】你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？ 解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°- （∠ABC+∠ACB） =180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A ． 6.如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？ 练一练 因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向， 所以∠ABD＝60°. 又因为∠DBE＝90°， 所以∠ABE＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°. 因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向， 所以∠ACE＝90°－40°＝50°. 所以∠BAC＝∠ACE－∠ABE＝50°－30°＝20°. 即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°. 解： 练一练 1.如图，从A 处观测C 处的仰角∠CAD = 30°，从B 处观测C 处的仰角∠CBD = 45°．从C 处观测 A，B 两处的视角∠ACB 是多少？ 　　 A B D C 课本练习 解：∵∠ABC+∠CBD=180°，∠CBD=45°， ∴∠ABC = 135°. 又∵∠CAD + ∠ACB + ∠CBA = 180°，∠CAD = 30°， ∴∠ACB = 15°. 2.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形 ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C 的度数. 课本练习 解：∵∠B+∠BAC+∠ACB=∠D+∠DAC+∠DCA=180° ∴∠B + ∠BAC + ∠ACB +∠D + ∠DAC + ∠DCA = 360°. ∵∠B =40°，∠D =40°，∠BAD = 150°， ∴∠BCD = 130°. 180° 锐角 直角三角形 钝角三角形 D 分层练习-基础 B 分层练习-基础 C 分层练习-基础 C 分层练习-巩固 C B 分层练习-巩固 A 45 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 课堂反馈 课堂反馈 三角形的 内角和定理 证明 了解添加辅助线的方法及其目的 内容 三角形内角和等于180 ° 课堂小结 知识点一：三角形的内角和 三角形三个内角的和等于 .三个角都是 的三角形叫做锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫做 ，有一个角是钝角的三角形叫做 ． 1．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为(　　) A．30°　　　　 B．40°　　　　 C．50°　　　　 D．60° 2．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 3．在△ABC中，∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋10°，求△ABC各内角的度数． 解：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∵∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋10°，∴∠A＋∠A＋10°＋∠A＋10°＋10°＝180°，解得∠A＝50°.∴∠B＝60°，∠C＝70°. 能力点：三角形内角和与高、角平分线及平行线的结合 三角形的内角和定理与三角形的高、角平分线及平行线有着紧密的联系，充分利用其性质求角的度数是考试命题的高频点． 4．(长春中考)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为(　　) A．44° B．40° C．39° D．38° 5．如图，直线a∥b，∠A＝38°，∠1＝46°，则∠ACB的度数是(　　) A．84°　 B．106°　 C．96°　 D．104° 6．已知一个三角形三个内角度数的比是2∶5∶7，则其最大内角的度数为(　　) A．60°　　 B．75°　　 C．90°　　 D．120° 7．如图，已知AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝50°，∠AOB＝105°，则∠C等于(　　) A．20° B．25° C．35° D．45° 8．如图，直线a∥b，Rt△BCD按如图所示的方式放置，∠DCB＝90°.若∠1＋∠B＝70°，则∠2的度数为(　　) A．20° B．40° C．30° D．25° 9．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°.若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠B＝ °. 10．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB. (1)若∠A＝50°，求∠BOC的度数； (2)若∠A＝120°，求∠BOC的度数； (3)若∠A＝α，试探究∠BOC与α的关系． 解：(1)∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠1＝∠2＝eq \f(1,2)∠ABC，∠3＝∠4＝eq \f(1,2)∠ACB.又∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠A＋2∠2＋2∠4＝180°.∴∠2＋∠4＝90°－eq \f(1,2)∠A＝90°－eq \f(1,2)×50°＝65°.而∠BOC＋∠2＋∠4＝180°，∴∠BOC＝180°－(∠2＋∠4)＝180°－65°＝115°； (2)过程同上，∠BOC＝150°； (3)∠BOC＝90°＋eq \f(1,2)α. 会求三角形的内角度数． 【例1】已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数是多少？ 【思路分析】由于题目中出现比例1∶5∶6，我们可设三角形三个内角分别为x°、5x°、6x°，根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可知x＋5x＋6x＝180，解得x＝15. 【规范解答】设三角形三个内角分别为x°、5x°、6x°. 根据题意，得x＋5x＋6x＝180. 解得x＝15. 故最大内角的度数为6×15°＝90°. 【方法归纳】在求解三角形内角和的问题时，通常是根据方程思想来解决． $$