1.1 数列的概念（3种题型基础练+能力提升练）数学湘教版2019选择性必修第一册

1.1 数列的概念（3种题型基础练+能力提升练） 题型一、数列的概念与分类 1．下列说法正确的是(　　) A．数列中不能重复出现同一个数 B．1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列 C．1,1,1,1不是数列 D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 2．在数列{an}中，an＝，则{an}(　　) A．是常数列 B．不是单调数列 C．是递增数列 D．是递减数列 3.下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ (1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)，，，，…； (5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1； (6)0，－1,2，－3,4，－5，…. 4.下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021,2 022,2 023； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－，，－，，…； (5)1,0，－1，…，sin ，…； (6)9,9,9,9,9,9. 题型二、数列的通项公式 5．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是(　　) A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* 6．数列，，，，…的第10项是(　　) A. B. C. D. 7.写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： (1)1,3,7,15,31，…； (2)，，，，，…； (3)－，，－，，－，…； (4)2×3，3×4，4×5，5×6，…. 题型三、数列与函数的关系 8.已知数列an＝－n2＋4n＋2，则该数列中最大项的序号是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 9．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　) A．105 B．106 C．107 D．108 10．已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，an是关于项数n的一次函数． (1)求{an}的通项公式，并求a2 023； (2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成的，试归纳{bn}的一个通项公式． 一．选择题 1．（2022秋•城关区校级期末）数列的一个通项公式是　　 A． B． C． D． 2.已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 3．设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N*)，则a2等于(　　) A. B.＋ C.＋＋ D.＋＋＋ 4．已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，n，则该数列的第22项为(　　) A．6 B．7 C．64 D．65 5．若数列的通项公式为an＝，则这个数列中的最大项是(　　) A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项 6．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A．an＝n，n∈N* B．an＝，n∈N* C．an＝，n∈N* D．an＝n2，n∈N* 7．已知函数，把函数的零点按照从小到大的顺序排成一个数列 ，则该数列的通项公式为　　 A． B． C． D． 二．多选题 8．（2022秋•新化县期末）下列有关数列的说法正确的是　　 A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项 C．在数列中，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，的一个通项公式为 9．（2022秋•长沙期末）下列数列中，单调递增的数列是　　 A． B． C． D． 三．填空题 10．（2022秋•嘉峪关校级期中）若“数列是递增数列”为假命题，则的取值范围是 　 ． 11．已知数列{an}为递增数列，an＝n2－λn＋3，则λ的取值范围是________． 12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________. 四、解答题 13.　已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*. (1)写出数列的前3项； (2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项． 14.已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72. (1)求实数q的值； (2)判断－81是否为此数列中的项． 15．古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1,3,6,10,15,21，…，这些数量的点都可以排成等边三角形，所以都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列{an}．类似地，数1,4,9,16，…叫做正方形数，则在三角数列{an}中，求第二个正方形数． 16．在数列{an}中，an＝. (1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内； (2)区间内有没有数列中的项？若有，有几项？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 数列的概念（3种题型基础练+能力提升练） 题型一、数列的概念与分类 1．下列说法正确的是(　　) A．数列中不能重复出现同一个数 B．1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列 C．1,1,1,1不是数列 D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 【答案】D 【解析】由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确； B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确． 2．在数列{an}中，an＝，则{an}(　　) A．是常数列 B．不是单调数列 C．是递增数列 D．是递减数列 【答案】D 【解析】在数列{an}中，an＝＝1＋， 由反比例函数的性质得{an}是递减数列． 3.下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ (1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)，，，，…； (5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1； (6)0，－1,2，－3,4，－5，…. 【解析】解　(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列． 4.下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021,2 022,2 023； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－，，－，，…； (5)1,0，－1，…，sin ，…； (6)9,9,9,9,9,9. 【解析】解　(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列； 题型二、数列的通项公式 5．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是(　　) A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* 【答案】A 【解析】数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*. 6．数列，，，，…的第10项是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意知数列的通项公式是an＝(n∈N*)， 所以a10＝＝. 7.写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： (1)1,3,7,15,31，…； (2)，，，，，…； (3)－，，－，，－，…； (4)2×3，3×4，4×5，5×6，…. 【解析】解　(1)由1＝2－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，31＝25－1，… 可得an＝2n－1. (2)由＝，＝，＝，＝，＝，… 可得an＝. (3)由－，，－，，－，…可知奇数项为负数，偶数项为正数， 可得an＝(－1)n×. (4)由2×3＝×，3×4＝×，4×5＝×，5×6＝×，… 可得an＝(n＋1)(n＋2)． 题型三、数列与函数的关系 8.已知数列an＝－n2＋4n＋2，则该数列中最大项的序号是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】　A 【解析】因为an＝－(n－2)2＋6，n∈N*， 所以当n＝2时，an取得最大值． 9．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　) A．105 B．106 C．107 D．108 【答案】　D 【解析】an＝－2n2＋29n＋3对应的抛物线开口向下，对称轴为n＝－＝＝7， ∵n是整数， ∴当n＝7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108. 10．已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，an是关于项数n的一次函数． (1)求{an}的通项公式，并求a2 023； (2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成的，试归纳{bn}的一个通项公式． 【解析】解　(1)设an＝kn＋b(k≠0)， 则解得 ∴an＝2n＋1(n∈N*)，∴a2 023＝4 047. (2)∵a2，a4，a6，a8，…为5,9,13,17，…， ∴bn＝4n＋1. 一．选择题 1．（2022秋•城关区校级期末）数列的一个通项公式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据裂项和规律即可得到数列的通项公式 【解答】解：数列的一个通项公式是，，，，， 即为，，，，， ， 故选：． 【点评】本题考查数列的通项公式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 2.已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】利用最值的含义转化为不等式的恒成立问题求解． 【解答】解：由条件有对任意的，由恒成立， 即，整理得． 当时，不等式化简为恒成立， 当时，取得最大值，所以， 当时，不等式化简为恒成立，所以； 综上实数的取值范围是，． 故选：． 【点评】本题考查数列的函数特性，涉及函数最值的含义，不等式的恒成立问题，属于中档题． 3．设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N*)，则a2等于(　　) A. B.＋ C.＋＋ D.＋＋＋ 【答案】C 【解析】∵an＝＋＋＋＋…＋(n∈N*)， ∴a2＝＋＋. 4．已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，n，则该数列的第22项为(　　) A．6 B．7 C．64 D．65 【答案】　B 【解析】由按规律排列的数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，n，可知1是1个，2是2个，3是3个，4是4个，5是5个，6是6个，7是7个， 因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21,1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28， 所以该数列的第22项为7. 5．若数列的通项公式为an＝，则这个数列中的最大项是(　　) A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项 【答案】　C 【解析】an＝＝， 因为 n＋≥2＝28， 当且仅当n＝14时，n＋有最小值28， 所以当n＝14时，取得最大值. 6．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A．an＝n，n∈N* B．an＝，n∈N* C．an＝，n∈N* D．an＝n2，n∈N* 【答案】　C 【解析】　∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， ∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，…. 所以此数列的通项公式为an＝，n∈N*. 7．已知函数，把函数的零点按照从小到大的顺序排成一个数列 ，则该数列的通项公式为　　 A． B． C． D． 【分析】当时，有，则，当时，有，则，，以此类推，当（其中时，则，结合图象可得：函数与在，，，，，，上的交点依次为，，．即方程在，，，，，上的根依次为3，4，，．即可得出：该数列的通项公式． 【解答】解：当时，有，则， 当时，有，则， 当时，有，则， 当时，有，则， 以此类推，当（其中时，则， 所以，函数的图象与直线的交点为：和， 由于指数函数为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点． 然后①将函数和的图象同时向下平移一个单位，即得到函数和的图象， 取的部分，可见它们有且仅有一个交点． 即当时，方程有且仅有一个根． ②取①中函数和图象的部分，再同时向上和向右各平移一个单位， 即得和在上的图象，此时它们仍然只有一个交点． 即当时，方程有且仅有一个根． ③取②中函数和在上的图象，继续按照上述步骤进行， 即得到和在上的图象，此时它们仍然只有一个交点． 即当时，方程有且仅有一个根． ④以此类推，函数与在，，，，，，上的交点依次为，，． 即方程在，，，，，上的根依次为3，4，，． 综上所述方程的根按从小到大的顺序排列所得数列为： 0，1，2，3，4，， 该数列的通项公式． 故选：． 【点评】本题考查了数列的通项公式的求法、函数的交点与零点，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 二．多选题 8．（2022秋•新化县期末）下列有关数列的说法正确的是　　 A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项 C．在数列中，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，的一个通项公式为 【分析】选项的两个数列顺序不同，不是同一个数列，错误；解即可判断的正误；可看出的通项公式，从而判断正确；归纳前三项的规律即可判断的正误． 【解答】解：．这两个数列的顺序不同，不是同一个数列，错误； ．解得或（舍去），正确； ．该数列的通项公式为，所以，正确； ，，，，所以，正确． 故选：． 【点评】本题考查了数列的定义，根据数列的前几项归纳数列的通项公式的方法，考查了计算能力，属于基础题． 9．（2022秋•长沙期末）下列数列中，单调递增的数列是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合数列单调性的定义分别检验各选项即可判断． 【解答】解：：因为，，显然不是递增数列； ， 故，即数列为递增数列； ：由正切函数的周期性可知，不是单调递增数列； ：令，则， 所以， 所以，即，即数列为递增数列． 故选：． 【点评】本题主要考查了数列的单调性的判断，属于基础题． 三．填空题 10．（2022秋•嘉峪关校级期中）若“数列是递增数列”为假命题，则的取值范围是 　 ． 【分析】根据数列是递增数列，可得恒成立，分离参数求出的范围，再根据“数列是递增数列”为假命题，即可得到答案． 【解答】解：数列是递增数列 ， ， 恒成立， 恒成立， ， “数列是递增数列”为假命题， ． 实数的取值范围是，， 故答案为：， 【点评】本题考查了数列的函数特征，以及命题的真假，属于中档题． 11．已知数列{an}为递增数列，an＝n2－λn＋3，则λ的取值范围是________． 【答案】　λ<3 【解析】因为数列{an}是递增数列，所以an＋1>an，所以(n＋1)2－λ(n＋1)＋3>n2－λn＋3，化为λ<2n＋1恒成立，因为n≥1且n∈Z，则2n＋1≥3，所以λ<3. 12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________. 【答案】　61 【解析】f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61. 四、解答题 13.　已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*. (1)写出数列的前3项； (2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项． 【解析】解　(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15. (2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－(舍去)，故45是数列{an}中的第5项． 令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝，故3不是数列{an}中的项． 14.已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72. (1)求实数q的值； (2)判断－81是否为此数列中的项． 【解析】解　(1)由题意知，q4－q2＝72， 则q2＝9或q2＝－8(舍去)， ∴q＝±3. (2)当q＝3时，an＝3n. 显然－81不是此数列中的项； 当q＝－3时，an＝(－3)n. 令(－3)n＝－81，无解， ∴－81不是此数列中的项． 15．古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1,3,6,10,15,21，…，这些数量的点都可以排成等边三角形，所以都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列{an}．类似地，数1,4,9,16，…叫做正方形数，则在三角数列{an}中，求第二个正方形数． 【解析】解　由题意可得，三角数列{an}的通项公式为an＝， 则三角数列的前若干项为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55，…. 设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为{bn}，则bn＝n2， 其前若干项为1,4,9,16,25,36,49，…， 所以在三角数列{an}中，第二个正方形数是36. 16．在数列{an}中，an＝. (1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内； (2)区间内有没有数列中的项？若有，有几项？ 【解析】(1)证明　因为an＝＝1－(n∈N*)， 所以0<an<1，故数列的各项都在区间(0,1)内． (2)解　令<<， 则<n2<2，n∈N*， 解得n＝1，即在区间内有且只有1项数列中的项，为a1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$