精品解析：山东省聊城市茌平区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

山东省聊城市茌平区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共7页，选择题30分，非选择题90分，共120分，考试时间120分钟． 2．将姓名、考场号、考号、座号填写在试题和答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．考试结束，答题卡和试题一并交回． 4．不允许使用计算器． 愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷． 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 新型冠状病毒平均直径为100纳米，即0.00001厘米．0.00001用科学记数法表示为（　　） A. 1×105 B. 10×10﹣6 C. 1×10﹣5 D. 0.1×10﹣4 2. 下列语句叙述正确的有(　　) ①如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角； ②如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； ③连接两点的线段长度叫做两点间的距离； ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 若一个多边形的每个外角均为，则这个多边形的对角线条数为（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 18 4. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（ ） A B. C. D. 5. 越野滑雪是冬奥会的一个重要比赛项目，是借助滑雪用具，运用登山，滑降，转弯滑行等基本技术，滑行于雪山、雪原的运动项目．为了保证运动员的安全，在修建赛道时要避开冰带，陡角和狭窄地带．如图在修建赛道时为了避开冰带需拐弯绕之，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 7. 若点在第二象限，点到轴距离是7，到轴的距离是3，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 已知三角形三边长分别为2，5，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 形如的式子叫做二阶行列式，它的算法是：，则的运算结果是（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（本题共6个小题，每题3分，共18分） 11. 已知等腰三角形周长为厘米，若其中一边长为厘米，则腰长为______． 12. 如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从B地铁出口下车回家路径最短，其数学道理是______． 13. 滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，直径为4分米的铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，则____分米． 14. 一个多边形的内角和比外角和的4倍少180°，则这个多边形的边数是_____． 15. 如图，五边形是正五边形，点在上，若，，则__________． 16. 我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右，（如图），这个三角形给出了（）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数．则展开式中各项系数的和为_________． 三、解答题（本题共8个题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 18. （1）先化简，再求值：其中． （2）已知，求的值． 19. 如图，直线相交于点，平分，． （1）求证：是的平分线； （2）若，求度数． 20. 对于二元一次方程（其中a，b是常数，x，y是未知数）当时，x的值称为二元一次方程的“完美值”，例如：当时，二元一次方程化为，其“完美值”为． （1）求二元一次方程的“完美值”； （2）是二元一次方程“完美值”，求m的值； （3）是否存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 21. 已知点A、B都是x轴上的点，若点A的坐标为（4，0），且AB=5，点C的坐标为（2，5） （1）请写出点B的坐标，并画出符合条件的△ABC； （2）求S△ABC． 22. 某校组织初二年级380名学生到广东南路革命化州纪念馆研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金． 23. 如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D． （1）若∠A=50°，则∠D=　 　； （2）若∠A=80°，则∠D=　 　； （3）若∠A=130°，则∠D=　 　； （4）若∠D=36°，则∠A=　 　； （5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性． 24. （赵爽是中国古代数学家、天文学家．大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作注时，介绍了“勾股圆方图”，后人称作“赵爽弦图” ．它是由4个全等的直角三角形，围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．2002年，在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，就是根据赵爽弦图设计制作的，不同区域颜色的明暗，使它看上去象一个风车，代表着中国人民的热情好客，实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系． 如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，请回答以下问题： （1）如图，正方形的面积为，正方形的面积为______；（用含，的式子表示） （2）根据图中正方形的面积及正方形的面积的关系，可得，的等量关系为______； （3）请通过运算证明上述等量关系； （4）记正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，直角三角形的面积为，则求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省聊城市茌平区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共7页，选择题30分，非选择题90分，共120分，考试时间120分钟． 2．将姓名、考场号、考号、座号填写在试题和答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．考试结束，答题卡和试题一并交回． 4．不允许使用计算器． 愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷． 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 新型冠状病毒平均直径为100纳米，即0.00001厘米．0.00001用科学记数法表示为（　　） A. 1×105 B. 10×10﹣6 C. 1×10﹣5 D. 0.1×10﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：0.00001＝1×10﹣5， 故选：C． 【点睛】此题考查的是科学记数法,掌握科学记数法的定义是解决此题的关键． 2. 下列语句叙述正确的有(　　) ①如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角； ②如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； ③连接两点的线段长度叫做两点间的距离； ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，两点间的距离的定义，点到直线的距离的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：①如果两个角有公共顶点且它们的两边互为反向延长线，那么这两个角是对顶角；原说法错误． ②如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角；原说法错误． ③连接两点的线段长度叫做两点间的距离；原说法正确． ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离．原说法错误． 故选B． 3. 若一个多边形的每个外角均为，则这个多边形的对角线条数为（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理与多边形的对角线条数多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的边数，然后根据对角线的总条数计算即可． 【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于， ∴多边形的边数为． ∴对角线的总条数， 故选：C． 4. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得出，进而． 【详解】由图知， ∴ 故选：B 【点睛】本题考查平行线的性质，特殊角直角三角形，由图形的位置关系推出角之间的数量关系是解题的关键． 5. 越野滑雪是冬奥会的一个重要比赛项目，是借助滑雪用具，运用登山，滑降，转弯滑行等基本技术，滑行于雪山、雪原的运动项目．为了保证运动员的安全，在修建赛道时要避开冰带，陡角和狭窄地带．如图在修建赛道时为了避开冰带需拐弯绕之，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意作辅助线：过点B作BD∥AE，即可得AE∥BD∥CF，则可求得：∠A=∠1，∠2+∠C=180°，则可求得∠C的值． 【详解】解：过点B作BD∥AE，如图： ∵AE∥CF， ∴AE∥BD∥CF， ∴∠A=∠1，∠2+∠C=180°， ∵∠A=120°，∠1+∠2=∠ABC=150°， ∴∠2=30°， ∴∠C=180°-∠2=180°-30°=150°． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意过一点作已知直线的平行线，再利用平行线的性质解题是常见做法． 6. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的乘法，根据积的乘方，幂的乘方，同底幂乘法运算法则和完全平方公式逐一计算作出判断： 【详解】解：A. ，选项错误，不符合题意； B.，选项错误，不符合题意； C. ，选项错误，不符合题意； D.，选项正确，符合题意． 故选：D． 7. 若点在第二象限，点到轴的距离是7，到轴的距离是3，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，理解点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键，根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度结合第二象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵点在第二象限，点到轴的距离是7，到轴的距离是3， ∴点P的横坐标是，纵坐标是7， ∴点P的坐标为． 故选：C． 8. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为： ． 故选：B． 9. 已知三角形三边长分别为2，5，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，列出式子即可得到答案． 【详解】解：∵三角形三边长分别为2，5，， 根据三角形的三边关系（三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边）， 得到：， 即：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边；掌握三角形三边关系是解题的关键． 10. 形如的式子叫做二阶行列式，它的算法是：，则的运算结果是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义把二阶行列式表示成整式，然后再化简计算即可． 【详解】解：由题意可得： = = =a+4， 故答案为A． 【点睛】本题考查整式乘法的混合运算，通过观察题目给出的运算法则，把所求解的算式根据运算法则展开是解题关键． 二、填空题（本题共6个小题，每题3分，共18分） 11. 已知等腰三角形周长为厘米，若其中一边长为厘米，则腰长为______． 【答案】厘米 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长为腰或者底边时，再根据三角形的周长进行计算． 【详解】解：当是腰时，则底边长是，此时，，不能组成三角形，应舍去； 当是底边时，腰长是，，，能够组成三角形．此时腰长是． 故答案为：厘米． 12. 如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从B地铁出口下车回家的路径最短，其数学道理是______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题，根据“垂线段最短”的性质即可求解． 【详解】解：小明从B地铁出口下车回家的路径最短，其数学道理是“垂线段最短”的性质， 故答案为：垂线段最短． 13. 滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，直径为4分米的铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，则____分米． 【答案】 【解析】 【分析】根据铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，可知为圆的周长，即可得出答案． 【详解】∵铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点， ∴分米 故答案为： 【点睛】本题考查圆的周长，正确理解题意，理解圆的周长的公式是解题的关键． 14. 一个多边形的内角和比外角和的4倍少180°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】9 【解析】 【分析】多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和都等于360°，故可列方程求解． 【详解】解：设所求多边形边数为n， 由题意得，（n-2）•180°=4×360°-180°， 解得n=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式以及外角和为360°． 15. 如图，五边形是正五边形，点在上，若，，则__________． 【答案】24° 【解析】 【分析】过点B作直线n平行于l1，易得，先求出五边形的内角，根据平行线的性质求出∠5的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：如图，过点B作直线n平行于l1， ∵， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故答案为：24°． 【点睛】本题考查正多边形的内角度数、平行线的性质和三角形内角和定理，解题的关键是正确求出五边形的内角度数． 16. 我国古代数学中“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右，（如图），这个三角形给出了（）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数．则展开式中各项系数的和为_________． 【答案】32 【解析】 【分析】根据规律能得出，，，的展开形式，即可推出的展开形式，从而得出结论． 【详解】∵=， =， ∴结合“杨辉三角”第六行可得： =， ∴展开式中各项系数和为32； 故答案为：32． 【点睛】本题考查完全平方式的规律问题，理解题意，确定杨辉三角中各行数字与完全平方式展开后各项系数之间的联系是解题关键． 三、解答题（本题共8个题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了整式的因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用平方差公式因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用提公因式法因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. （1）先化简，再求值：其中． （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，因式分解的应用，完全平方公式和平方差公式的应用， （1）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项，再代入值即可； （2）先将原式提公因式，转化为完全平方式的形式，代入值即可； 【详解】（1） 当时，原式； （2）原式 ∵，， ∴ 19 如图，直线相交于点，平分，． （1）求证：是的平分线； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角的性质和余角的性质，解题的关键是熟练掌握邻补角和余角的性质． （1）由，从而，由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得结论； （2）由并且互补，可得和的度数，再利用邻补角求得的度数，根据角平分线的定义可得，利用邻补角和角平分线求得和的度数． 小问1详解】 证明： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，（等角的余角相等） ∴是的平分线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． 20. 对于二元一次方程（其中a，b是常数，x，y是未知数）当时，x值称为二元一次方程的“完美值”，例如：当时，二元一次方程化为，其“完美值”为． （1）求二元一次方程的“完美值”； （2）是二元一次方程的“完美值”，求m的值； （3）是否存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由题意可得，求出m即可； （3）由，得，由，得，再由，即可求n的值，进而求出完美值． 【小问1详解】 ∵有“完美值”， ∴， 解得， ∴二元一次方程的“完美值”为； 【小问2详解】 ∵是二元一次方程的“完美值”， ∴， 解得； 【小问3详解】 存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同，理由如下： 由，得， 由，得， ∴， 解得， ∴， ∴“完美值”为． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 21. 已知点A、B都是x轴上的点，若点A的坐标为（4，0），且AB=5，点C的坐标为（2，5） （1）请写出点B的坐标，并画出符合条件的△ABC； （2）求S△ABC． 【答案】（1）点B的坐标为（﹣1，0）或（9，0），如图见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由于△ABC的顶点A与C的位置唯一确定，所以B点的位置有几个，符合条件的三角形就有几个．根据边AB=5，可知B点的位置有两个：①在A点的左边且与点A的距离是5，②在A点的右边且与点A的距离是5；分别写出B点的坐标． （2）根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）点B的坐标为（﹣1，0）或（9，0），如下图： （2）∵AB=5， ∴S△ABC= •AB•5= = ． 【点睛】本题考查的知识点是坐标与图形性质，三角形的面积，解题关键是结合图像求三角形面积. 22. 某校组织初二年级380名学生到广东南路革命化州纪念馆研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有租车方案； ②若小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金． 【答案】（1）每辆小客车能坐30名学生，每辆大客车能坐40名学生 （2）①方案1：租小客车2辆，大客车8辆；方案2：租小客车6辆，大客车5辆；方案3：租小客车10辆，大客车2辆．②最省钱的租车方案是方案3租小客车10辆，大客车2辆，最少租金为2600元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用,二元一次方程的应用： （1）设每辆小客车能坐x人，每辆大客车能坐y人，根据题意可得等量关系：3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数=380，然后求出整数解即可；②根据①所得方案和小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元分别计算出租金即可． 【小问1详解】 解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生， 依题意得：， 解得：. 答：每辆小客车能坐30名学生，每辆大客车能坐40名学生． 【小问2详解】 解：①依题意得：， ∴， 又∵m，n均为整数， ∴或或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租小客车2辆，大客车8辆； 方案2：租小客车6辆，大客车5辆； 方案3：租小客车10辆，大客车2辆． ②方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ∵， ∴最省钱的租车方案是方案3租小客车10辆，大客车2辆，最少租金为2600元． 23. 如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D． （1）若∠A=50°，则∠D=　 　； （2）若∠A=80°，则∠D=　 　； （3）若∠A=130°，则∠D=　 　； （4）若∠D=36°，则∠A=　 　； （5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性． 【答案】（1）25°；（2）40°；（3）65°；（4）72°；（5）∠D=∠A； 【解析】 【分析】先根据角平分线定义得到∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，再根据三角形外角性质得∠ACE=∠ABC+∠A，则2∠2=2∠1+∠A，接着再根据三角形外角性质得∠2=∠1+∠D，易得∠A=2∠D，即∠D=∠A，然后利用此结论分别解决（1）、（2）、（3）、（4）、（5）． 【详解】解：如图，∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线， ∴∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1， ∵∠ACE=∠ABC+∠A， ∴2∠2=2∠1+∠A， 而∠2=∠1+∠D， ∴2∠2=2∠1+2∠D， ∴∠A=2∠D， 即∠D=∠A， （1）当若∠A=50°，则∠D=25°； （2）若∠A=80°，则∠D=40°； （3）若∠A=130°，则∠D=65°． （4）若∠D=36°，则∠A=72°， （5）综上所述，∠D=∠A； 【点睛】考查三角形外角的性质以及角平分线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键. 24. （赵爽是中国古代数学家、天文学家．大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作注时，介绍了“勾股圆方图”，后人称作“赵爽弦图” ．它是由4个全等的直角三角形，围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．2002年，在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，就是根据赵爽弦图设计制作的，不同区域颜色的明暗，使它看上去象一个风车，代表着中国人民的热情好客，实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系． 如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，请回答以下问题： （1）如图，正方形的面积为，正方形的面积为______；（用含，的式子表示） （2）根据图中正方形的面积及正方形的面积的关系，可得，的等量关系为______； （3）请通过运算证明上述等量关系； （4）记正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，直角三角形的面积为，则求的值． 【答案】（1） ， （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用； （1）利用正方形的面积公式即可求解； （2）直接利用相等关系用代数式进行表示即可； （3）利用完全平方公式验证即可； （4）先求得正方形的面积为，利用，可求得，据此进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：根据， 可得，即， 故答案为：； 【小问3详解】 证明：左边， 右边， ∴左边右边， ∴成立； 【小问4详解】 解：正方形的面积为， 由题意得，，， ∵，，即， ∴， 解得， ∴， ∴的值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$