第11讲 直线与圆的位置关系（9考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

第11讲 直线与圆的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系. 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题. 知识点 1 直线与圆的位置关系 设圆的半径为r(r>0)，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示. 位置 关系 图示 公共点 个数 几何 特征 直线、圆的方程组成的方程组的解 相离 0 d>r 无实数解 相切 1 d＝r 两组相同实数解 相交 2 d<r 两组不同实数解 考点一：判断直线与圆的位置关系 例1.（23-24高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 【答案】B 【分析】先计算出直线的斜率，由，可得出直线的斜率，再由点斜式可得出直线的方程，由点在圆内得出，据此可判断直线、是平行关系，再利用点到直线的距离可计算出圆心到直线的距离，并与作大小比较，即可得出直线与圆的位置关系． 【详解】如图：    直线的斜率为，由垂径定理可知，，所以，直线的方程为，即， 由于点是圆内一点，则， 又直线的方程为：， 所以，. 圆心到直线的距离为，因此，直线与圆相离. 故选：B 【变式1-1】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据直线经过定点，定点在圆内部即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】直线恒过定点，将定点代入圆的方程， 发现，则定点在圆内部， 所以直线与圆必相交. 故选:B. 【变式1-2】（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【答案】C 【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可. 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C 【变式1-3】（23-24高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】C 【分析】利用点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系求解. 【详解】圆心到直线的距离， 若点在圆上， 则，所以， 则直线与圆相切，故A正确; 若点在圆内， 则，所以， 则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外， 则，所以， 则直线与圆相交， 故C错误； 若点在直线上， 则，即，所以直线与圆相切， 故D正确， 故选：C． 考点二：由直线与圆的位置关系求参数 例2.（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】圆的圆心，半径为， 若直线和圆相交， 则，解得， 所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2-1】（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点，结合点与圆的位置关系，即可判定. 【详解】由直线，可得直线过定点， 又由圆：，可得点在圆C上， 因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2. 故选：C. 【变式2-2】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】求出圆心并将其代入直线即可得解. 【详解】由得， 则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称， 故由圆的对称性可知：圆心在直线上， 则. 故选：D. 【变式2-3】（23-24高二下·江西鹰潭·期末）设点为圆上任意一点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用表示的几何意义，作图先求出两条切线的斜率，再结合图形理解即得其范围. 【详解】 如图，作出圆，因点是圆上一点，故可看成圆上的点与原点连线的斜率. 考虑直线与圆相切时，设切线斜率为，则圆心到直线的距离为， 解得，由图知要使过原点的直线与圆有公共点， 需使直线倾斜角不小于切线的倾斜角，或不超过切线的倾斜角， 故直线的斜率或，即的范围为. 故答案为：. 考点三：求直线与圆交点坐标 例3.（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】为直角，故在以为直径的圆上，确定圆方程，取计算得到答案. 【详解】为直角，故在以为直径的圆上， 圆心为，半径为， 圆方程为，取得到或， 即点坐标为或. 故选：B. 【变式3-1】（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，结合题意可得点的坐标，又两点都在圆上，代入计算即可得点的横坐标. 【详解】设，故有，即， 由，则点为中点， 故，故有， 即有，整理得， 即. 故选：A. 【变式3-2】（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先求出两点坐标，设出圆的标准方程，代入坐标可得答案. 【详解】联立直线和圆，解得， 设圆的标准方程为，则有， 解得，所以圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式3-3】（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）已知圆恒过定点A，B，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由圆的方程化简，确定的坐标，由此确定直线的方程. 【详解】方程，可化为， 所以点为直线与圆的交点， 所以若点的坐标为，则点的坐标为， 所以直线的方程为， 故答案为：. 考点四：过圆上一点的切线方程 例4.（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 【答案】 【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即. 故答案为：. 【变式4-1】（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案. 【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 故选：A 【变式4-2】（23-24高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意，点P在圆C上，由切线性质即可得出结果. 【详解】 由点P在圆C上，又由直线的斜率为， 可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为． 故选：B． 【变式4-3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）过点P作圆的切线，求切线的方程 【答案】 【分析】由圆的方程求出圆心和半径，通过计算得到点在圆上，根据切线几何性质进而可得切线的方程. 【详解】，即， 则其圆心，半径， 将点代入圆的方程可得， 则点在圆上，则， 直线的方程为，则， 则切线方程为. 考点五：过圆外一点的切线方程 例5.（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知直角坐标平面上点和圆，一条光线从点射出经轴反射后与圆相切，求反射后的光线方程. 【答案】或 【分析】求得点关于轴对称的点，设反射光线所在直线方程为，结合圆心到直线的距离为，列出方程，得到的值，即可求解. 【详解】由反射光线过点关于轴对称的点，且和圆相切， 设反射光线所在直线方程为，则圆心到直线的距离为1， 可得，整理得，解得或； 当直线斜率不存在时，直线为，显然不满足条件； 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 【变式5-1】（23-24高三上·贵州安顺·期末）在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 . 【答案】（答案不唯一，另一条为） 【分析】 利用轴对称求出点关于直线的对称点，再求出过点的圆的切线即得. 【详解】依题意，点关于直线的对称点， 由光的反射定理知，从点射出的光线经直线反射后，与圆相切， 相当于从点发出的光线与圆相切，显然该切线斜率存在，设方程为， 因此圆心到直线的距离，解得， 所以所求直线方程为或. 故答案为： 【变式5-2】（23-24高二上·山西大同·阶段练习）过点M（2，4）向圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1引切线，求其切线的方程． 【答案】24x－7y－20＝0或x＝2． 【分析】可判断点M在圆外，分切线斜率是否存在两种情况可求切线的方程. 【详解】由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50>1，故点M在圆外． 当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0， 由于直线与圆相切，故，解得． 所以切线方程为24x－7y－20＝0． 又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切． 综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2． 【变式5-3】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心坐标为，根据点在圆上列方程可得，可得方程； （2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得. 【详解】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，有， 解得（舍去）或， 故圆的标准方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切； ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 由题知，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.    考点六：圆的切线长问题 例6.（2024·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】 先求出圆心和半径，再将切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可. 【详解】圆化为，圆心为，半径为1， 直线上的点向圆引切线，设切点为， 则， 要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小， 由点到直线的距离公式可得，. 所以切线长的最小值为. 故选：B. 【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）若从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向这个圆引一条切线，则切线长为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】 解析：圆心坐标为O（1，1），半径r＝1，OP＝.因为圆心、切点、点O构成直角三角形，所以切线长为＝2 【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）若直线上仅存在一点，使得过点的直线与圆切于点，且，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先利用圆切线的性质求得，再由点的唯一性得到直线与直线垂直，从而利用点线距离公式即可得解. 【详解】依题意，记为坐标原点，连接，如图， 因为圆的圆心为，半径为，则， 又，所以， 因为点唯一，使得，所以直线与直线垂直， 所以，即. 故选：B． 【变式6-3】（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解. 【详解】 由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为， 设点到圆心的距离为，则有，所以， 所以取最小值时，取得最小值， 因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离， 所以，故的最小值为. 故选：B 考点七：切点弦及其方程 例7.（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意由四边形的面积与的面积关系，设可得，利用单调性即可求出的最小值为. 【详解】易知圆的圆心为，半径为，如图所示： 易知，设，则 由图可得，又， 可得，因为， 所以当时，的最小值为. 故答案为： .【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，先利用两圆方程相减得到直线PQ的方程，再利用直线PQ过点求得t的值，进而得到直线PQ的方程. 【详解】圆C：的圆心为， 设，则以为直径的圆的方程为 与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为 因为直线PQ过点，所以，解得． 所以直线PQ的方程为，即． 故选：C． 【变式7-2】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求以及切线长，再根据等面积法即可得结果. 【详解】圆，即， 易知，圆C的半径，所以切线长． 所以四边形的面积为． 所以根据等面积法知：， 所以． 故选：B． 【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为，所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心（即原点）到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 考点八：已知圆的切线求参数 例8.（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相切，求在轴上的截距. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）运用待定系数法进行求解即可 （2）根据圆的切线性质，结合互相垂直的直线的性质进行求解即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为该圆过三点， 所以有 所以该圆的方程为. （2）由题意得，所以的斜率为. 设，即. 由点到的距离为，得或， 所以在轴上的截距为或. 【变式8-1】（23-24高二上·天津宁河·期末）若直线与圆相切，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，根据直线与圆相切，结合点线距离公式列方程求参数. 【详解】由可化为且， 所以圆心为，半径为， 由直线与圆相切，则，可得. 故答案为：3 【变式8-2】（2024·河北邢台·一模）已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ． 【答案】 1 【分析】利用点在圆上求解参数解决第一空，利用得到的垂直关系求出需要求的斜率，结合直线上的已知点得到直线方程，求解第二空即可. 【详解】若过点恰好只有一条直线与圆E：相切， 则一定在圆上，可得， 解得(其它根舍去)，故，而易知圆心为，半径为， 又直线斜率为，设该直线的斜率为， 显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为， 化简得直线方程为， 故答案为：1； 【变式8-3】（23-24高二上·黑龙江·期中）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线l：上． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且与圆C相切的直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心C的坐标为，由，求出的值，得到圆心坐标，求出半径得圆C的标准方程； （2）设出切线方程，由圆心到直线距离等于半径，求出未知系数. 【详解】（1）因为圆心C在直线l：上，所以可设圆心C的坐标为， 又，即，解得． 所以圆心，圆的半径， 故圆C的标准方程是． （2）直线过点且与圆C相切，斜率不存在时不满足条件， 设切线斜率为，切线方程为，即． 直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 解得，即过点且与圆C相切的直线的斜率为． 考点九：弦长及中点弦问题问题 例9.（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆，直线l过点． (1)若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程； (2)若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意分析可知：圆心到直线的距离为，分类讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解； （2）设，则，根据点在圆上列式求解即可得，进而可得直线方程. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 若直线l被圆M所截得的弦长为，则圆心到直线的距离为. 当直线斜率不存在时，与圆相切，不符合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设直线，即， 可得，所以， 则直线l方程为或. （2）设，因为A为BC中点，则， 由B在圆M上得，解得，则， 所以直线，即直线． 【变式9-1】（23-24高二下·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答案. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l截圆所得弦长为，满足题意， 设直线l的方程为，即. 由垂径定理，得圆心到直线l的距离， 结合点到直线距离公式，得， 化简得，解得，即直线l的方程为. 故答案为：或. 【变式9-2】（23-24高二上·北京·期中）已知圆过原点和点，圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的圆心坐标为，由已知列出方程，求得，进而求得半径，即可得出结果； （2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果. 【详解】（1）设圆的圆心坐标为.依题意，在，解得 从而圆的半径为，所以圆的方程为. （2）依题意，圆C的圆心到直线的距离为4， 显然直线符合题意. 当直线的斜率存在时，设其方程为，即 所以解得，所以直线的方程为 综上，直线的方程为或. 【变式9-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设点，由得方程，化简整理即可 （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率存在讨论即可求解． 【详解】（1）设，由得， 化简得，动点的轨迹方程为：； （2）光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点， 故入射光线的斜率不为0，故反射光线的斜率不为0， 当入射光线的斜率不存在时，此时反射光线方程为， 此时直线与无交点，不合要求，舍去， 当入射光线的斜率存在时，点关于轴的对称点 由题意知反射光线所在的直线经过点，其斜率也一定存在， 设其方程为，即为， 设圆心到反射直线的距离设为，则， 所以，解得舍去或． 所以反射光线所在直线的方程为． 1．（2024高三·全国·专题练习）过圆x2＋y2－4x＝0上点P(1，)的圆的切线方程为（    ） A．x＋y－4＝0 B．x－y＝0 C．x－y＋2＝0 D．x＝1或x－y＋2＝0 【答案】C 【详解】 注意到P(1，)在圆x2＋y2－4x＝0上，将点(1，)代入公式(x0－2)(x－2)＋(y0－0)(y－0)＝4，得直线方程x－y＋2＝0. 2．（23-24高二下·山西长治·期末）已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，结合给定的弦长利用勾股定理建立方程求解半径即可. 【详解】设圆心到直线的距离为，圆的半径为，易得直线方程为， 而，由勾股定理得，解得， 故圆的方程为，故C正确. 故选：C 3.（2023春·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据点在圆上，求出，考虑的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离列出方程，求出斜率和倾斜角. 【详解】由题意得， 当的斜率不存在时，此时直线方程为，与圆相交，不合题意， 当的斜率存在时，设切线的方程为， 则，解得， 设的倾斜角为， 故的倾斜角为. 故选：D 4．（多选）（2024·重庆·三模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．当直线平分圆时， D．当点到直线距离最大时， 【答案】ACD 【分析】对于A，将直线方程变形即可进一步判断；对于B，举反例即可判断；对于C，将圆心坐标代入直线方程即可验算参数；对于D，当点到直线距离最大值时，有，结合它们的斜率关系即可判断. 【详解】对于A，即，令，有，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心、半径为， 点到直线的距离为， 从而， 取，则此时有，故B错误； 对于C，当直线平分圆时，有点在直线上， 也就是说有成立，解得，故C正确； 对于D，点到直线距离满足，等号成立当且仅当， 而的斜率为， 所以当等号成立时有，解得，故D正确. 故选：ACD. 5．（多选）（23-24高二下·湖南常德·期中）已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（    ） A．当实数变化时，直线恒过定点 B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 C．当时，圆关于直线对称 D．当时，直线与圆没有公共点 【答案】AD 【分析】A选项，变形后得到直线恒过；B选项，先根据直线平行得到，进而利用两直线距离公式求出答案；C选项，求出圆心，代入检验得到圆心不在直线上，从而C错误；D选项，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较后得到D正确. 【详解】A选项，变形为， ，解得， 故当实数变化时，直线恒过定点，A正确； B选项，当直线与直线平行时，， 故直线， 故两条直线的距离为，B错误； C选项，当时，直线， ，故圆心为， 其中，故圆心不在上， 故圆不关于直线对称，C错误； D选项，当时，， 圆心到直线的距离， 的半径为， 由于，故直线与圆没有公共点，D正确. 故选：AD 6．（2024·天津南开·二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 【答案】150° 【分析】根据两直线垂直和得到直线l的斜率，从而得到l的倾斜角. 【详解】由题意得，直线与直线l垂直， 因为，故l的斜率为， 故l的倾斜角为150° 故答案为：150° 7．（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）已知直线l：，圆C：，则直线l被圆C所截得的线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据已知求出圆心、半径以及圆心到直线的距离，进而根据弦长公式，即可得出答案. 【详解】由已知可得，圆C：的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相交. 根据垂径定理可得，直线l被圆C所截得的线段的长为. 故答案为：. 8.（23-24高二下·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【答案】或 【分析】先确定点在圆外，再分切线斜率存在与否，利用圆心到切线的距离等于半径求解即可. 【详解】由圆的方程可得圆心，半径， 由题意可得圆心到切线的距离等于半径， 由点代入圆的方程可得，所以点在圆外， 所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为； 当斜率存在时，设为， 则过点的切线方程为，即 所以，解得， 此时，切线方程为， 综上，过点的的所有切线方程为或. 故答案为：或. 9．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知直线和. (1)求与直线平行且经过圆心的直线的方程； (2)若直线与直线垂直且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出圆心和斜率，进而可得直线方程； （2）根据两直线垂直设出直线的方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】（1）即， 则圆心的坐标为，又直线的斜率为， 所以与直线平行且经过圆心的直线的方程， 即； （2）因为直线与直线垂直，设直线， 又直线与圆相切， 所以， 解得或， 所以直线的方程为或. 10．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形： (1)圆心为，且与直线相切； (2)圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； 【答案】(1)，图像见解析 (2)或，图像见解析 【分析】（1）已知圆心及切线，求出圆的半径，写出圆的方程； （2）设圆心，根据半径与切线，求得值，写出圆方程. 【详解】（1）因为圆M与直线相切， 所以圆心到直线的距离即为圆的半径， 即， 所以圆心为，且与直线相切的圆的方程是.    （2）因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为. 因为圆的半径为2，且与直线相切，所以， 解得或，所以圆心坐标为或. 所以圆的方程为或.    ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 直线与圆的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系. 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题. 知识点 1 直线与圆的位置关系 设圆的半径为r(r>0)，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示. 位置 关系 图示 公共点 个数 几何 特征 直线、圆的方程组成的方程组的解 相离 0 d>r 无实数解 相切 1 d＝r 两组相同实数解 相交 2 d<r 两组不同实数解 考点一：判断直线与圆的位置关系 例1.（23-24高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 【变式1-1】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【变式1-2】（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【变式1-3】（23-24高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 考点二：由直线与圆的位置关系求参数 例2.（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【变式2-2】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B．1 C． D．3 【变式2-3】（23-24高二下·江西鹰潭·期末）设点为圆上任意一点，则的取值范围是 . 考点三：求直线与圆交点坐标 例3.（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式3-1】（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为 ． 【变式3-3】（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）已知圆恒过定点A，B，则直线的方程为 ． 考点四：过圆上一点的切线方程 例4.（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 【变式4-1】（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）过点P作圆的切线，求切线的方程 考点五：过圆外一点的切线方程 例5.（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知直角坐标平面上点和圆，一条光线从点射出经轴反射后与圆相切，求反射后的光线方程. 【变式5-1】（23-24高三上·贵州安顺·期末）在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 . 【变式5-2】（23-24高二上·山西大同·阶段练习）过点M（2，4）向圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1引切线，求其切线的方程． 【变式5-3】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 考点六：圆的切线长问题 例6.（2024·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）若从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向这个圆引一条切线，则切线长为（　　） A．1 B． C． D．2 【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）若直线上仅存在一点，使得过点的直线与圆切于点，且，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式6-3】（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 考点七：切点弦及其方程 例7.（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 . .【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ． 考点八：已知圆的切线求参数 例8.（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相切，求在轴上的截距. 【变式8-1】（23-24高二上·天津宁河·期末）若直线与圆相切，则实数的值为 . 【变式8-2】（2024·河北邢台·一模）已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ． 【变式8-3】（23-24高二上·黑龙江·期中）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线l：上． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且与圆C相切的直线的斜率． 考点九：弦长及中点弦问题问题 例9.（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆，直线l过点． (1)若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程； (2)若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程． 【变式9-1】（23-24高二下·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 【变式9-2】（23-24高二上·北京·期中）已知圆过原点和点，圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【变式9-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 1．（2024高三·全国·专题练习）过圆x2＋y2－4x＝0上点P(1，)的圆的切线方程为（    ） A．x＋y－4＝0 B．x－y＝0 C．x－y＋2＝0 D．x＝1或x－y＋2＝0 2．（23-24高二下·山西长治·期末）已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3.（2023春·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2024·重庆·三模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．当直线平分圆时， D．当点到直线距离最大时， 5．（多选）（23-24高二下·湖南常德·期中）已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（    ） A．当实数变化时，直线恒过定点 B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 C．当时，圆关于直线对称 D．当时，直线与圆没有公共点 6．（2024·天津南开·二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 7．（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）已知直线l：，圆C：，则直线l被圆C所截得的线段的长为 ． 8.（23-24高二下·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 9．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知直线和. (1)求与直线平行且经过圆心的直线的方程； (2)若直线与直线垂直且与圆相切，求直线的方程. 10．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形： (1)圆心为，且与直线相切； (2)圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$