第15讲 一元二次不等式的综合问题（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修一）

第15讲 一元二次不等式的综合问题 目录 题型归纳 1 题型01 简单的分式不等式 1 题型02 简单的一元二次不等式恒成立问题 4 题型03 一元二次不等式的实际应用 6 易错归纳 9 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 16 创新拓展 22 题型01简单的分式不等式 【解题策略】 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解 【典例分析】 【例1】例1　解下列不等式： (1)<0； (2)≥0； (3)>1. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式2】（23-24高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为 ． 【变式3】解下列不等式： (1)≥0； (2)<3. 题型02 简单的一元二次不等式恒成立问题 【解题策略】 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑x2的系数和对应方程的判别式的符号这两个方面． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值 【典例分析】 【例2】对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________． 【变式3】（2022高一上·江苏南京·专题练习）对于不等式与没有共同解，求的取值范围． 题型03 一元二次不等式的实际应用 【解题策略】 利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题目中的未知数． (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． (3)求解所列出的不等式(组)． (4)结合题目的实际意义确定答案 【典例分析】 【例3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21高一·全国·课后作业）甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则x的最小值是 ． 【变式3】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 易错点　认为分式不等式与一元二次不等式等价致错 [山东潍坊三县2022期中联考]若关于x的不等式≤1的解集为[－，1)，则实数a的值为(　　) A．－6 B．－ C. D．4 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·阶段练习）某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·广东·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（22-23高一上·全国·课后作业）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 三、填空题 7．（23-24高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 8．（22-23高一上·四川绵阳·阶段练习）某种衬衫进货价为每件元，若以元一件出售，则每天能卖出件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m) 9．（23-24高一上·上海青浦·期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 10．（23-24高一上·北京·期中）若二次函数满足，且 (1)确定函数的解析式； (2)若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围. 11．（23-24高一上·全国·课后作业）某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地，但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划，为了寻求合理的计划，需要研究以下问题： (1)若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降，为了保证防洪能力不会下降，除了填湖每平方千米b元费用外，还需要增加排水设备费用，且排水设备所需经费与当年所填湖造地面积x（单位：平方千米）的平方成正比，其比例系数为a，又知每平方千米地面的年平均收益为c元（其中a，b，c均为常数），若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值． (2)如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积，并为了保证湖的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积三年内不能超过现有水面面积的，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二下·河南安阳·阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）命题：R，是假命题，则实数的值可能是 （     ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高一上·全国·课后作业）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 三、填空题 7．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 8．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）不等式的解集为 . 9．（23-24高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集用区间表示为 . 四、解答题 10．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）求关于x的不等式的解集： (1)已知集合，则求集合P； (2)设数轴上点A与实数3对应，点B与实数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围． 11．（23-24高一上·陕西西安·期末）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·河南开封·期末）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知是实数，关于的不等式的解集是，若，则的取值范围是 . 四、解答题 4．（22-23高一·全国·随堂练习）某出版社以每本25元的价格发行一种图书，可发行8000本．经市场调研，一本书的定价每提高1元，发行量就减少200本．要使发行总收入不低于200000元，这种图书的最高定价是多少？ 【下节预览】 1、 解答题 1.（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知不等式，的解集是． (1)求常数的值； (2)若关于的不等式的解集为，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 一元二次不等式的综合问题 目录 题型归纳 1 题型01 简单的分式不等式 1 题型02 简单的一元二次不等式恒成立问题 4 题型03 一元二次不等式的实际应用 6 易错归纳 9 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 16 创新拓展 22 题型01简单的分式不等式 【解题策略】 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解 【典例分析】 【例1】例1　解下列不等式： (1)<0； (2)≥0； (3)>1. 解　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0， ∴－1<x<， 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0， ∴∴ 即－<x≤1. 故原不等式的解集为. (3)原不等式可化为－1>0， ∴>0，>0，则x<－2. 故原不等式的解集为{x|x<－2}． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据不等式的解集可得答案. 【详解】由得， 因为不等式的解集是， 所以，解得. 故选：B 【变式2】（23-24高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解. 【详解】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为： 【变式3】解下列不等式： (1)≥0； (2)<3. 解　(1)不等式≥0可转化成不等式组 解得x≤－1或x>3， 即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式<3可化为－3<0， 即<0. 所以2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 题型02 简单的一元二次不等式恒成立问题 【解题策略】 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑x2的系数和对应方程的判别式的符号这两个方面． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值 【典例分析】 【例2】对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围． 解　若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则 ⇒解得－4<m<0. 综上，m的取值范围为{m|－4<m≤0}． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得. 【详解】令函数，显然在上单调递减，， 因为任意，不等式恒成立，于是， 所以. 故选：A 【变式2】．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________． 答案　{k|－3<k≤1} 解析　当k＝1时，－1<0恒成立；当k≠1时，由题意得 解得－3<k<1， 因此实数k的取值范围为{k|－3<k≤1}． 【变式3】（2022高一上·江苏南京·专题练习）对于不等式与没有共同解，求的取值范围． 【答案】 【分析】求得的解集，即可将原问题转化为时，的问题，进而转化为恒成立问题，分离参数转化为恒成立，利用函数的单调性，求得当时的取值范围，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值范围. 【详解】解不等式得. “两不等式和没有共同解”等价于“当时，恒成立” 即当时恒成立. 当时， 要使得，只需使得恒成立 即恒成立. 由于为区间上的单调增函数 当时的取值范围是 所以，即的取值范围为. 题型03 一元二次不等式的实际应用 【解题策略】 利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题目中的未知数． (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． (3)求解所列出的不等式(组)． (4)结合题目的实际意义确定答案 【典例分析】 【例3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担， 收购总金额为200a(1＋2x%)万元． 依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)． 依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x－84≤0， 解得－42≤x≤2. 又因为0<x<10，所以0<x≤2. 即x的取值范围为{x|0<x≤2}． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出关于的不等式，再结合可得出答案. 【详解】由题意，得，即， ∴，解得， 又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 【变式2】（20-21高一·全国·课后作业）甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则x的最小值是 ． 【答案】3 【分析】根据题意，由求解. 【详解】要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则， 整理得，又， 所以， 解得． 故x的最小值是3． 故答案为：3 【变式3】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】(1)100 (2)存在， 【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解； （2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 易错点　认为分式不等式与一元二次不等式等价致错 [山东潍坊三县2022期中联考]若关于x的不等式≤1的解集为[－，1)，则实数a的值为(　　) A．－6 B．－ C. D．4 【解析】由≤1⇔≤0⇔ 由题意得－＝－，解得a＝4.故选D. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：C 2．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解绝对值不等式和分式不等式，得到解集，由真包含关系得到答案. 【详解】， ， 等价于，解得， 其中为的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对的取值进行分类讨论，在时，需结合二次函数的图象分析，得到与之等价的不等式组，求解即得. 【详解】因不等式对任意的实数x恒成立，则 ①当时，不等式为，恒成立，符合题意； ②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：. 综上可得：实数k的取值范围为. 故选：C. 4．（23-24高一上·北京·阶段练习）某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设米，表示出绿地面积，根据不等式求的长度范围. 【详解】中，，为等腰直角三角形， 设米，则米，米， 依题意有，解得. 即的长度（单位：米）范围是. 故选：B. 二、多选题 5．（23-24高一上·广东·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】CD 【分析】解不等式得到，根据充分不必要条件得到，得到答案. 【详解】，则，若“”是“”的充分不必要条件， 则，CD满足. 故选：CD. 6．（22-23高一上·全国·课后作业）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】BC 【分析】根据题意列出不等式求解即可. 【详解】设桶的容积为x， 根据题意可得关于x的一元二次不等式：，且， 化简可得， ， 故选：BC 三、填空题 7．（23-24高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 【答案】或. 【分析】将其等价转化为一元二次不等式，再解得即可. 【详解】不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 8．（22-23高一上·四川绵阳·阶段练习）某种衬衫进货价为每件元，若以元一件出售，则每天能卖出件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m) 【答案】 【分析】由每件衬衫的售价是元，可知每天的销售量为件，那么可以得到每天出售衬衫的净收入，令其大于等于，构建不等式解不等即可. 【详解】假设每件衬衫的售价是元，则每天的销售量为件， 每天出售衬衫的净收入， 令, ， ， 解得, 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海青浦·期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得对任意的恒成立，故只需，结合基本不等式求解即可，注意取等条件. 【详解】由题意对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，故只需， 而由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一上·北京·期中）若二次函数满足，且 (1)确定函数的解析式； (2)若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）依题意，问题转化为则在上恒成立，令，利用单调性求最小值即可. 【详解】（1）设二次函数， 则，                 已知，所以，解得， 又，得， . （2）在区间上不等式恒成立，则在上恒成立， 令，可知在上单调递减， 则，得 所以实数的取值范围为. 11．（23-24高一上·全国·课后作业）某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地，但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划，为了寻求合理的计划，需要研究以下问题： (1)若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降，为了保证防洪能力不会下降，除了填湖每平方千米b元费用外，还需要增加排水设备费用，且排水设备所需经费与当年所填湖造地面积x（单位：平方千米）的平方成正比，其比例系数为a，又知每平方千米地面的年平均收益为c元（其中a，b，c均为常数），若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值． (2)如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积，并为了保证湖的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积三年内不能超过现有水面面积的，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几． 【答案】(1)答案见解析 (2)8.4% 【分析】(1)根据题意，结合收益大于支出，列出不等式，即可求解； （2）首先分别设该县的现有水面面积为m平方千米，今年填湖造地的面积为n平方千米，再根据题意，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）收益不小于支出的条件可以表示为． 所以，． 当时，，此时不符合实际情况； 当时，，此时所填面积的最大值为平方千米． （2）设该县的现有水面面积为m平方千米，今年填湖造地的面积为n平方千米， 则，即， 所以今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的8.4% 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二下·河南安阳·阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，每年消耗木材为万立方米，所以每年税金为， 要保证税金收入每年不少于万元，可得且， 解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 2．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算分式不等式解出集合后，结合交集运算即可得. 【详解】由，即，解得， 故，又， 故. 故选：B. 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）命题：R，是假命题，则实数的值可能是 （     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先由p是假命题，得到是真命题，求出b的范围，对四个选项一一验证. 【详解】由，，得，. 由于命题p是假命题，可知是真命题，所以在时恒成立， 则，解得. 故选：CD. 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知恒成立， 当时，恒成立， 当时需满足，即，求得， 所以实数的取值范围是 故选：C 二、多选题 5．（22-23高一上·全国·课后作业）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】AB 【分析】确定每件商品的利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，解不等式可得答案. 【详解】设销售价定为每件x元，利润为y元， 则， 依题意有， 即， 解得， 所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元， 故选︰AB． 6．（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集，先求得的关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为不等式的解集为或， 则，且关于的方程的两根分别为， 由根与系数的关系可得，所以. 对于A，，A错误； 对于B，不在不等式的解集内，令，则有，B正确；对于C，， 该不等式的解集为，C正确； 对于D，不等式即为， 化简可得，解得， 因此，不等式的解集为，D正确. 故选：BCD 三、填空题 7．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将原不等式转化为，再求解集即可. 【详解】等价于，解得， 故答案为：. 8．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法进行求解即可. 【详解】不等式等价于， 解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集用区间表示为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用分数不等式的解法即可求出结果. 【详解】由，得到，等价于且， 所以，即， 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）求关于x的不等式的解集： (1)已知集合，则求集合P； (2)设数轴上点A与实数3对应，点B与实数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式不等式的解法求解即可； （2）求出中点对应的数，即可得出关于的不等式，求解即可． 【详解】（1）由，化简得， 所以，解得， 所以． （2）因为的中点对应的数为， 所以由题意可知，即， 因此，所以， 因此的取值范围是． 11．（23-24高一上·陕西西安·期末）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【答案】(1)最多为元； (2)销售量至少达到11万件，此时定价30元满足题意. 【分析】（1）设每件定价，根据条件列不等式求解即可； （2）将问题转化为不等式定区间内有解，分离参数再结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）设定价每件元，由题意可知， 整理得，解之得， 故该商品每件定价最多为元； （2）由上可知：当时，不等式有解， 整理得有解， 易知，当且仅当时取得等号， 此时， 所以改革后销售量至少达到11万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品定价为30元. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，，再求两个集合的交集即可. 【详解】因为，，所以. 故选：D 二、多选题 2．（23-24高一上·河南开封·期末）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】解出集合，再根据交并补混合运算一一分析即可. 【详解】，即，解得，则， ， 则，则，，故A正确，B错误， ，则，C正确； ，则，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 3．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知是实数，关于的不等式的解集是，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知，从而可求出的取值范围. 【详解】因为关于的不等式的解集是，且， 所以，所以， 解得， 即的取值范围为， 故答案为： 四、解答题 4．（22-23高一·全国·随堂练习）某出版社以每本25元的价格发行一种图书，可发行8000本．经市场调研，一本书的定价每提高1元，发行量就减少200本．要使发行总收入不低于200000元，这种图书的最高定价是多少？ 【答案】最高定价为40元. 【分析】列出一元二次不等式解出即可. 【详解】设图书的定价为元，根据题意可得：， 即， ，， 故如果使收入不低于200000元，这种图书的最高定价为40元. 【下节预览】 1、 解答题 1.（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知不等式，的解集是． (1)求常数的值； (2)若关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到方程，求出的值； （2）依题意可得关于的不等式的解集为，则，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为的解集是， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，解得. （2）由（1）可得关于的不等式的解集为， 所以，解得， 即的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$