第27讲 直线和圆的方程章末复习与测试（四大题型归纳+测试卷）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第27讲 直线和圆的方程章末复习与测试 目录 题型归纳 1 题型01 两直线的平行与垂直 2 题型02 两直线的交点与距离问题 4 题型03 直线与圆的位置关系 7 题型04 圆与圆的位置关系 10 单元测试 13 一、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2. (2) 若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2． 讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养． 二、两直线的交点与距离问题 1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养 三、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d<r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离． (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养 四、圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心距与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． 2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养． 题型01两直线的平行与垂直 【解题策略】 一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0 【典例分析】 【例1】(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________． (2)已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m＝________. 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·湖北·期中）设、、分别是的对边长，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交 【变式2】（23-24高二上·青海西宁·期中）已知直线和互相垂直，则 ． 【变式3】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）若直线与直线平行，求的值； （2）若直线与直线垂直，求的值. 题型02 两直线的交点与距离问题 【解题策略】 　 【典例分析】 【例2】(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为(　　) (2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·天津河西·期中）若是直线上的两点，那么间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·山东济宁·期中）已知点和直线，则点到直线的距离的最大值是 ． 【变式3】（23-24高二上·上海·期末）已知直线经过点，且被两平行线所截得的线段长为5. (1)求，之间的距离； (2)求直线的方程. 题型03 直线与圆的位置关系 【解题策略】 涉及直线与圆的有关题型 (1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得． (2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解 【典例分析】 【例3】已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0. (1)当m∈R时，证明l与圆C总相交； (2)m取何值时，l被圆C截得的弦长最短？并求此弦长． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知实数满足，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 【变式2】已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2,2)和原点O. (1)求圆C的方程； (2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1,0)，若l1，l2被圆C所截得的弦长相等，求直线l1的方程． 【变式3】（23-24高二上·北京海淀·期中）已知圆O：，直线l：． (1)若直线l与圆O相切，求k的值； (2)若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB为直角时，求k的值． 题型04 圆与圆的位置关系 【解题策略】 　过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，此圆系方程不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0)， 特别地，当λ＝－1时，上述方程为一次方程． 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程 【典例分析】 【例4】已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0. (1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·天津滨海新·阶段练习）已知圆：，圆：，圆与圆的位置关系是 . 【变式2】已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0. (1)求证：两圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程． 【变式3】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知圆M：，圆N经过点，，． (1)求圆N的标准方程，并判断两圆位置关系； (2)若由动点P向圆M和圆N所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程． 【单元测试】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（2024高二上·全国·专题练习）过点且与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 7．（23-24高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 二、多选题 9．（23-24高二上·海南·期中）已知直线过点，则下列说法中正确的是（    ） A．若直线的斜率为2，则的方程为 B．若直线在轴上的截距为2，则的方程为 C．若直线的一个方向向量为，则的方程为 D．若直线与直线平行，则的方程为 10．（23-24高二上·福建福州·期中）已知直线，，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线l与直线垂直 B．若直线l与直线平行，则 C．直线l过定点 D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等 11．（23-24高二下·湖南常德·期中）已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（    ） A．当实数变化时，直线恒过定点 B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 C．当时，圆关于直线对称 D．当时，直线与圆没有公共点 三、填空题 12．（23-24高二上·河北邢台·期中）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程： ． 13．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 14．（2023高二上·江苏·专题练习）直线与圆的位置关系是 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·上海·课后作业）分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 16．（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 17．（2024高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆和直线（其中和均为常数，且），为l上一动点，为圆与轴的两个交点，直线与圆的另一个交点分别为. (1)若，M点的坐标为,求直线方程； (2)求证：直线过定点，并求定点的坐标． 18．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 19．（23-24高二上·甘肃白银·期末）在平面直角坐标系中，已知圆和圆. (1)若直线过原点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； (2)是否存在点满足过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27讲 直线和圆的方程章末复习与测试 目录 题型归纳 1 题型01 两直线的平行与垂直 2 题型02 两直线的交点与距离问题 4 题型03 直线与圆的位置关系 7 题型04 圆与圆的位置关系 10 单元测试 13 一、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2. (2) 若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2． 讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养． 二、两直线的交点与距离问题 1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养 三、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d<r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离． (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养 四、圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心距与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． 2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养． 题型01两直线的平行与垂直 【解题策略】 一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0 【典例分析】 【例1】(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________． 答案　－3 解析　由l1⊥l2知，·＝－1， 解得a＝－3. (2)已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m＝________. 答案　－1 解析　1×3－m(m－2)＝0，得m＝3或－1. 又当m＝3时，l1与l2重合； 当m＝－1时，l1∥l2，所以m＝－1. 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·湖北·期中）设、、分别是的对边长，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交 【答案】C 【分析】利用正弦定理化简即可直接判断. 【详解】由正弦定理可知，化为：，即. 所以直线与重合. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·青海西宁·期中）已知直线和互相垂直，则 ． 【答案】 【分析】利用两直线垂直充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值. 【详解】直线和互相垂直， 则，解之得. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）若直线与直线平行，求的值； （2）若直线与直线垂直，求的值. 【答案】（1）或；（2）或 【分析】（1）由两直线平行的性质计算即可得，并排除重合的情况； （2）由两直线垂直的性质计算即可得. 【详解】（1）两直线平行，则，即，故或， 当时，两直线分别为与，符合要求， 当时，两直线分别为与，符合要求， 故或； （2）两直线垂直，则， 即，故或 题型02 两直线的交点与距离问题 【解题策略】 　 【典例分析】 【例2】(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为(　　) A．－1 B．5 C．－1或5 D．－3或3 答案　C 解析　∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是， ∴＝，即|a－2|＝3， 解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5. (2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． 解　设l1与l的交点为A(a,8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上， 代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上， 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·天津河西·期中）若是直线上的两点，那么间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点间距离公式计算后结合点在直线进行化简． 【详解】由题意， ， 故选：A 【变式2】（23-24高二上·山东济宁·期中）已知点和直线，则点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】5 【分析】求出直线过定点，可知为距离的最大值. 【详解】由可得， 所以故定点， 所以点到直线的距离的最大值为， 故答案为：5 【变式3】（23-24高二上·上海·期末）已知直线经过点，且被两平行线所截得的线段长为5. (1)求，之间的距离； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平行求出值，再根据两平行线距离公式即可. （2）设出直线与直线的交点坐标，根据给定条件列式探求两个交点坐标间的关系，求出直线方程作答. 【详解】（1）当平行时，则，解得，此时， 则，之间的距离. （2）设直线与直线分别交于点， 则，两式相减得：，而， 即，解得或， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或 题型03 直线与圆的位置关系 【解题策略】 涉及直线与圆的有关题型 (1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得． (2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解 【典例分析】 【例3】已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0. (1)当m∈R时，证明l与圆C总相交； (2)m取何值时，l被圆C截得的弦长最短？并求此弦长． (1)证明　直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)， 由点斜式可知，直线恒过点P(4，－3)． 由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交． (2)解　圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25. 如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短． 此时PC⊥l， 又kPC＝＝3， 所以直线l的斜率为－， 则2m＝－，所以m＝－. 在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5. 所以|AB|＝2＝2. 故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知实数满足，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 【答案】C 【分析】 根据条件，即可圆心到直线的距离，再结合直线与圆位置关系的判断方法，即可判断. 【详解】圆心到直线的距离为 ，即 故直线与圆相交，圆心代入直线方程得到，不符合题意. 故选：C 【变式2】已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2,2)和原点O. (1)求圆C的方程； (2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1,0)，若l1，l2被圆C所截得的弦长相等，求直线l1的方程． 解　(1)由题意知，直线x＋y＋2＝0过圆C的圆心，设圆心C(a，－a－2)． 由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2， 解得a＝－2. 因为圆心C(－2,0)，半径r＝2， 所以圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4. (2)由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0， 设l1的斜率为k，则l2的斜率为－， 所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0， l2：y＝－(x＋1)，即x＋ky＋1＝0. 由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等， 所以＝，解得k＝±1， 所以直线l1的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. 【变式3】（23-24高二上·北京海淀·期中）已知圆O：，直线l：． (1)若直线l与圆O相切，求k的值； (2)若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB为直角时，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求待定系数的值. （2）借助“几何法”，把问题转化成为圆心到直线的距离问题求解. 【详解】（1）∵圆O：，直线l：．直线l与圆O相切， ∴圆心O到直线l的距离等于半径， 即， 解得． （2）根据题意，圆O的方程为，其半径， 直线l与圆O交于不同的两点A，B，∠AOB＝， 则点O到l的距离d＝r＝1， 则有＝1，解可得k＝± 题型04 圆与圆的位置关系 【解题策略】 　过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，此圆系方程不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0)， 特别地，当λ＝－1时，上述方程为一次方程． 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程 【典例分析】 【例4】已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0. (1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程． 解　(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13. 圆心与半径长分别为C1(－2,2)，r1＝； C2(4，－2)，r2＝. 因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2， 所以圆C1与圆C2相切． 由两式相减得12x－8y－12＝0， 即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)方法一　过C1，C2的直线方程为＝，即2x＋3y－2＝0， 联立解得则切点坐标为(1,0)． 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则解得 所以所求圆的方程为(x＋4)2＋2＝， 即x2＋y2＋8x－y－9＝0. 方法二　由圆系方程，可设所求圆的方程为 x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0. 因为点(2,3)在此圆上，将点的坐标代入方程解得λ＝. 所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·天津滨海新·阶段练习）已知圆：，圆：，圆与圆的位置关系是 . 【答案】外切 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距等于两半径之和得到答案. 【详解】圆：的圆心为，半径为2， 圆：变形为， 圆心为，半径为3， 故， 故圆与圆相外切. 故答案为：外切 【变式2】已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0. (1)求证：两圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程． (1)证明　圆C1的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆C2的方程可化为x2＋(y－1)2＝5， ∴C1(2，－1)，C2(0,1)，两圆的半径均为， ∵|C1C2|＝＝2<2， ∴两圆相交． (2)解　将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，即x－y－1＝0. 【变式3】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知圆M：，圆N经过点，，． (1)求圆N的标准方程，并判断两圆位置关系； (2)若由动点P向圆M和圆N所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程． 【答案】(1)，两圆外离 (2) 【分析】（1）根据题意可知圆N是以为直径的圆，进而可得圆N、圆M的圆心和半径，进而判断两圆位置关系； （2）设，根据切线长性质结合两点间距离公式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：，则圆N是以为直径的圆， 则圆N的圆心，半径， 所以：， 又因为圆M的圆心，半径， 可得， 即，所以两圆外离（相离）. （2）设圆M上的切点为A，圆N上的切点为B， 由题意可得：， 设，则， 整理得， 所以点P的轨迹方程为： 【单元测试】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【分析】根据圆心距与半径的关系判断. 【详解】由题意，圆，则圆心，半径， 圆，则圆心,半径， 所以两圆圆心距，所以两圆外切. 故选：B. 2．（2024高二上·全国·专题练习）过点且与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，可设所求直线方程为，将点的坐标代入，求得c，即可求得答案. 【详解】由题意可设所求直线方程为， 因为在该直线上， 所以，得， 故该直线方程为， 故选：C 3．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法，结合直线垂直的性质即可得解. 【详解】设垂直于直线的直线方程为， 又直线过点，所以，解得， 故所求直线的方程为. 故选：D. 4．（23-24高二上·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程确定定点，根据时点线距离最大，求出直线的斜率，进而可得直线的斜率，进而写出直线的方程. 【详解】由直线的方程整理可得：， 可得直线恒过定点，所以， 当 时，到直线的距离最大， 可得直线的斜率为，即， 所以直线的方程为， 即． 故选：． 5．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 6．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】设，换元后所求式子为，转化为求动点与两定点距离和的最小值即可得解. 【详解】设，则， 所以 ， 而可看做轴上动点与两定点的距离和，如图，    由图可知当运动到时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 7．（23-24高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 8．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】为直角，故在以为直径的圆上，确定圆方程，取计算得到答案. 【详解】为直角，故在以为直径的圆上， 圆心为，半径为， 圆方程为，取得到或， 即点坐标为或. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高二上·海南·期中）已知直线过点，则下列说法中正确的是（    ） A．若直线的斜率为2，则的方程为 B．若直线在轴上的截距为2，则的方程为 C．若直线的一个方向向量为，则的方程为 D．若直线与直线平行，则的方程为 【答案】BCD 【分析】根据各项描述，应用斜率两点式、点斜式及直线平行求直线方程. 【详解】A：由题设，的方程为，即，错； B：由题设，直线斜率，则，即，对； C：由题设，直线斜率，则，即，对； D：由题设，令直线为，将代入得， 所以的方程为，对. 故选：BCD 10．（23-24高二上·福建福州·期中）已知直线，，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线l与直线垂直 B．若直线l与直线平行，则 C．直线l过定点 D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【分析】A.由两直线的位置关系判断；B.由两直线的位置关系判断；C.令判断；D.由直线的方程判断. 【详解】A.当时，，则直线l与直线垂直，故正确； B.若直线l与直线平行，则，无解，故错误； C. 令，则，所以直线l过定点，故正确； D.当时，，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，故错误； 故选：AC 11．（23-24高二下·湖南常德·期中）已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（    ） A．当实数变化时，直线恒过定点 B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 C．当时，圆关于直线对称 D．当时，直线与圆没有公共点 【答案】AD 【分析】A选项，变形后得到直线恒过；B选项，先根据直线平行得到，进而利用两直线距离公式求出答案；C选项，求出圆心，代入检验得到圆心不在直线上，从而C错误；D选项，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较后得到D正确. 【详解】A选项，变形为， ，解得， 故当实数变化时，直线恒过定点，A正确； B选项，当直线与直线平行时，， 故直线， 故两条直线的距离为，B错误； C选项，当时，直线， ，故圆心为， 其中，故圆心不在上， 故圆不关于直线对称，C错误； D选项，当时，， 圆心到直线的距离， 的半径为， 由于，故直线与圆没有公共点，D正确. 故选：AD 三、填空题 12．（23-24高二上·河北邢台·期中）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程： ． 【答案】（答案不唯一，只要方程满足即可） 【分析】求出圆的圆心和半径，利用两圆外切即可求出一个圆C的标准方程. 【详解】由题意， 在中，圆心，半径， 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆C与圆M：外切， 设半径为，则圆心 所以圆C的方程为． ∴一个圆C的标准方程： 故答案为：. 13．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 14．（2023高二上·江苏·专题练习）直线与圆的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】联立直线与圆的方程，得到一元二次方程，根据判别式即可判断. 【详解】联立直线l与圆C的方程，可得方程组，消去y，得． ∵，∴方程无实数解，即方程组无实数解， 故直线l与圆C相离． 故答案为：相离. 四、解答题 15．（23-24高二上·上海·课后作业）分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)与相交，交点坐标为 (2)与平行 【分析】联立两直线方程，通过其解可判断两者关系，且其解为交点，从而得解. 【详解】（1）因为，， 联立，解得， 所以与相交，交点坐标为. （2）因为，可化为， 联立，两式相减得，显然不成立，故方程组无解， 所以与平行. 16．（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 17．（2024高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆和直线（其中和均为常数，且），为l上一动点，为圆与轴的两个交点，直线与圆的另一个交点分别为. (1)若，M点的坐标为,求直线方程； (2)求证：直线过定点，并求定点的坐标． 【答案】(1)． (2)证明见解析，过定点． 【分析】（1）解法一：通过， ，求出．然后推出坐标，即可求直线方程； 解法二：通过， ，求出．直线与的方程，由在曲线，求出直线的方程． （2）证明法一：设，设，求出直线的方程，直线的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标；法二：设得，设，求出直线的方程，与圆的交点,设为，求出直线的方程，与圆的交点设为．点，在曲线上，有，在圆上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标． 【详解】（1）解法一：当，，则， 则直线的方程：，即， 解得． 同理可得直线的方程：，解得． 由两点式得直线方程为：，即． 解法二：通过， ，求出， 则直线的方程：，即， 解得． 同理可得直线的方程：，解得． 由在曲线， 则当时，求出直线方程为． （2）证法一：由题设得．设， 直线的方程是：，直线的方程是：．解得． 解得． 于是直线PQ的斜率， 直线PQ的方程为． 上式中令，得是一个与无关的常数． 故直线PQ过定点． 证法二：由题设得，．设M(a，t)， 直线MA1的方程是：，与圆的交点,设为， 直线MA2的方程是：,与圆的交点设为, 则点，在曲线上， 化简得   ① 又有，在圆上，圆② ①－×②得 化简得： ． 所以直线的方程为,    ③ 在③中令，得是一个与无关的常数． 故直线过定点． 18．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分类讨论直线斜率存在与否，再待定系数法设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求切线的斜率，求出切线； （2）根据圆心在直线上，以及两圆外切的条件列出圆心坐标的方程组，求出圆心坐标即可． 【详解】（1）由圆：得圆心，半径， 当直线斜率存在时，设：，即， 所以，解得， 所以切线为，即， 当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线， 所以直线的方程为：或； （2）设，则， 解得，；或，， 故所求圆的方程为或. 19．（23-24高二上·甘肃白银·期末）在平面直角坐标系中，已知圆和圆. (1)若直线过原点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； (2)是否存在点满足过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)和 (2)存在，或 【分析】（1）分类讨论直线的斜率存在与否，利用圆的弦长公式与点线距离公式列式求解即可； （2）假设存在满足条件的点，分析得两圆心到对应直线的距离相等，从而得到关于的关系式，利用的任意性求得的值，再检验两直线斜率一个为0，另一个不存在的情况，从而得解. 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，直线即是轴， 此时直线被圆截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由直线被圆截得的弦长为6，所以到直线的距离为， 则，解得，即直线为； 综上，直线的方程为和. （2）存在满足条件的点，点坐标为或，理由如下： 假设存在满足条件的点， 因为圆的圆心为，半径为， 设，因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 又两圆半径相等，所以圆心到直线与到直线的距离相等，    当两直线斜率存在且不等于0时， 设直线的方程分别为， 即. 故有， 整理得或， 因为关于的方程有无穷多解， 所以或，解得或， 故点的坐标为或； 当两直线斜率一个为0，另一个不存在时，点的坐标和也适合； 综上可知，存在点满足条件，此时点的坐标为或. 【点睛】关键点睛：本题第2小题解决的关键是如何处理式子，以及利用的任意性求得的值，从而得解 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$