第26讲 圆与圆的位置关系（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第26讲 圆与圆的位置关系 目录 题型归纳 1 题型01 两圆位置关系的判断 3 题型02 相交弦问题 7 题型03 圆与圆的综合性问题 10 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 20 创新拓展 29 两圆位置关系的判断 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 ____个 ____个 ____个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d________r1＋r2 外切 d________r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d________|r1－r2| 内含 d________|r1－r2| 注意点： 利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或有一组解时，无法判断两圆的位置关系，应优先使用几何法． 题型01两圆位置关系的判断 【解题策略】 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系 【典例分析】 课本例5　已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系． 【例1】已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 【变式演练】 【变式1】(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是(　　) A．4 B．6 C．16 D．36 (2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条． 【变式2】（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由. 【变式3】（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知圆经过，两点． (1)求圆的半径； (2)判断圆（且）与圆的位置关系． 题型02 相交弦问题 【解题策略】 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解 【典例分析】 【例2】已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【变式2】圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________． 【变式3】（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 题型03 圆与圆的综合性问题 【解题策略】 通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题． 【典例分析】 【例3】求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·江西上饶·期末）以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 【变式2】（23-24高二上·全国·期中）以点为圆心，且与圆相切的圆的方程是 ． 【变式3】（23-24高二上·陕西渭南·期末）（1）已知直线经过点，在两坐标轴上的截距都不等于零，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，求该直线的方程； （2）求以为圆心，且与圆相外切的圆的方程． 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 2．（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 二、多选题 5．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 6．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为16 B．圆截轴所得的弦长为 C．圆与圆：相外切 D．若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 三、填空题 7．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 8．（23-24高二上·福建福州·期末）圆与圆的公共弦长为 . 9．（23-24高二上·全国·课后作业）两圆，的公切线有且仅有 条． 四、解答题 10．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 11．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知圆C方程为． (1)求实数m的取值范围； (2)若直线与圆C相切，求实数m的值； (3)若圆C与圆相切，求实数m的值． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 3．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆，圆，则（    ） A．圆心距 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为 C．若圆与圆无公共点，则 D．若圆与圆只有一条公切线，则 6．（23-24高二下·浙江·期中）已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若，，，（为坐标原点）四点共圆，则 三、填空题 7．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程为 ． 8．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ． 9．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知圆M：和点，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则三角形PAB外接圆的方程为 . 四、解答题 10．（23-24高二下·上海·阶段练习）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 11．（22-23高二上·山西太原·期中）已知直线过点，且被圆截得的弦的长为. (1)求直线的方程； (2)若直线的斜率存在，圆过两点，且圆心在上，求圆的方程. 12．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. (1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程； (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的a的和为（    ） A．0 B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 三、填空题 3．（23-24高二上·辽宁·期末）已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为 ，直线的方程为 . 四、解答题 4．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知圆与圆相切． (1)求圆的半径； (2)若圆与圆相内切， 设圆与轴的负半轴的交点为， 过点作两条斜率之积为-3的直线， 分别交圆于两点， 求点到直线距离的最大值． 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，且该椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点满足，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26讲 圆与圆的位置关系 目录 题型归纳 1 题型01 两圆位置关系的判断 3 题型02 相交弦问题 7 题型03 圆与圆的综合性问题 10 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 20 创新拓展 29 两圆位置关系的判断 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 注意点： 利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或有一组解时，无法判断两圆的位置关系，应优先使用几何法． 题型01两圆位置关系的判断 【解题策略】 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系 【典例分析】 课本例5　已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系． 解　方法一　将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 ①－②，得x＋2y－1＝0，③ 由③，得y＝. 把上式代入①，并整理，得x2－2x－3＝0.④ 方程④的根的判别式 Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0， 所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2.把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2. 因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交． 方法二　把圆C1的方程化成标准方程，得(x＋1)2＋(y＋4)2＝25， 圆C1的圆心是(－1，－4)，半径r1＝5. 把圆C2的方程化成标准方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝10， 圆C2的圆心是(2,2)，半径r2＝. 圆C1与圆C2的圆心距为 ＝3. 圆C1与圆C2的两半径长之和r1＋r2＝5＋，两半径长之差r1－r2＝5－. 因为5－<3<5＋，即r1－r2<3<r1＋r2，所以圆C1与圆C2相交(如图)，它们有两个公共点A，B. 【例1】已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解　圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含． 【变式演练】 【变式1】(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是(　　) A．4 B．6 C．16 D．36 答案　C 解析　圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1， ∵两圆有三条公切线， ∴两圆外切， ∴＝1＋，解得a＝16. (2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条． 答案　4 解析　到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，－1)的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5. 半径之和为3＋1＝4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条． 【变式2】（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由. 【答案】(1) (2)和圆相交，理由见解析， 【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解； （2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长. 【详解】（1）设圆的一般方程为：，把已知点代入得： ， 所以圆的方程为： （2）由（1）得圆的标准方程为：. ∴，，， ∵ 所以圆和圆相交 【变式3】（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知圆经过，两点． (1)求圆的半径； (2)判断圆（且）与圆的位置关系． 【答案】(1)2 (2)圆与圆外离 【分析】（1）根据已知条件可求得a、b的值，再将圆的一般方程标准化后即可求得结果. （2）比较两圆心距与即可判断. 【详解】（1）由题可得，解得， 所以圆的一般方程为，则标准方程为， 故圆的半径为2． （2）由（1）可知圆的圆心．半径， 又圆N的圆心，半径， 所以，， 又因为，所以， 所以圆与圆外离 题型02 相交弦问题 【解题策略】 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解 【典例分析】 【例2】已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 解　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立圆C1与圆C2的方程，得 由①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． 又圆C1的圆心(－3,0)，r＝， ∴C1到直线AB的距离d＝＝， ∴|AB|＝2＝2＝5， 即两圆的公共弦长为5. (2)解方程组 得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则 ＝， 解得a＝，故所求圆的圆心为，半径为. 故所求圆的方程为2＋2＝， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】两圆作差相减，以能求出两圆的公共弦所在的直线方程. 【详解】圆：和圆：， 两圆作差相减，得直线方程为， 经检验，直线方程满足题意. 故答案为： 【变式2】圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________． 答案　(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0) 解析　方法一　由 解得 所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB(图略)，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)． 由解得 所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4， 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 方法二　同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)， 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由解得 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 【变式3】（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线的性质，结合勾股定理即可由点到直线的距离公式求解， （2）根据两圆相减可得相交弦所在直线方程，即可根据点到直线的距离公式，结合弦长公式求解. 【详解】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为， 由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值． 圆心到直线的距离．即． ． 圆的方程为． （2）由圆：和圆：， 由于两圆的圆心距为， 故两圆相交， 两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为． 圆心到直线的距离为． 弦长 题型03 圆与圆的综合性问题 【解题策略】 通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题． 【典例分析】 【例3】求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则＝r＋1.① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0， 故＝.② ＝r.③ 由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·江西上饶·期末）以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】设圆的半径为，圆的圆心为坐标原点，半径为， 两圆圆心距为，故， 因此，以为圆心且与圆外切的圆的方程为. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·全国·期中）以点为圆心，且与圆相切的圆的方程是 ． 【答案】或 【分析】利用圆心距等于半径和与差，求出所求圆的半径，进而得到所求圆的标准方程． 【详解】解：由圆，可得圆心坐标为，半径为， 设所求圆的半径为，可得或， 解得或，所求圆的方程为或. 故答案为：或 【变式3】（23-24高二上·陕西渭南·期末）（1）已知直线经过点，在两坐标轴上的截距都不等于零，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，求该直线的方程； （2）求以为圆心，且与圆相外切的圆的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用直线的截距式与待定系数法即可得解； （2）利用待定系数法与两圆外切列式求得，从而得解. 【详解】（1）依题意，设直线的方程为， 由该直线过点可得，解得， 所以该直线的方程为，即． （2）设所求圆的方程为， 因为两个圆的圆心距， 又两个圆外切时满足，故， 所以所求圆的方程为 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】B 【分析】求出圆心距，利用圆心距和两圆半径的关系进行判断即可. 【详解】的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为1， 可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切. 故选：B 2．（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆公共弦方程特征进行求解即可. 【详解】两个圆的方程相减，得， 故选：C 3．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出以为直径的圆的方程，再与已知圆的方程相减即得公共弦所在直线的方程. 【详解】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则， 于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，， 因此以为直径的圆方程为， 圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以直线AB的方程为. 故选：A 4．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 【答案】ABD 【分析】根据题意求圆心和半径.对于AB：根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C：结合选项A分析判断；对于D：先两圆方程作差求公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 则， 对于选项A：若圆和圆相交，则， 即，解得，故A正确； 对于选项B：若和外切，则， 即，解得，故B正确； 对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误； 对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 且圆，， 两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，故D正确. 故选：ABD 6．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为16 B．圆截轴所得的弦长为 C．圆与圆：相外切 D．若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径，可判断A；根据点到弦的距离可求出弦长，判断B；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系，判断C；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，判断D. 【详解】由圆，可得圆的标准方程为， 所以圆的半径为4，故A错误； 令，得，设圆与轴交点的横坐标分别为，， 则，是的两个根，所以，， 所以，故B正确； 两圆圆心距，故C正确； 由圆上有且仅有两点到直线的距离为1， 则，解得或， 即实数的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 7．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出圆与圆外切，两圆相减求出两圆内公切线方程，再设两圆的外公切线所在直线方程，根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 8．（23-24高二上·福建福州·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，再利用点线距离公式与弦长公式即可得解. 【详解】因为圆与圆， 两圆方程相减得， 因为圆的圆心为，半径为， 则到此直线距离为， 所以两圆相交，直线为两圆的公共弦所在直线， 则所求公共弦长为． 故答案为：． 9．（23-24高二上·全国·课后作业）两圆，的公切线有且仅有 条． 【答案】2 【分析】由两圆的位置关系判断公切线条数. 【详解】化成标准方程为， 圆心，半径， 化成标准方程为， 圆心，半径， 两圆圆心距离，， 则两圆相交，因而公切线只有两条． 故答案为：2． 四、解答题 10．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案； （2）利用待定系数法和相切可求圆的方程. 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 11．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知圆C方程为． (1)求实数m的取值范围； (2)若直线与圆C相切，求实数m的值； (3)若圆C与圆相切，求实数m的值． 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）将化为标准方程，再列不等式求解； （2）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （3）根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果. 【详解】（1）， 可化为， 所以； （2）由（1）知，圆心C(1,2)，半径， 因为圆和直线相切， 所以有， 所以. （3）因为与圆C相切， 所以或， 解得或， 故实数m的值是或. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 2．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】B 【分析】根据两圆的半径关系和两圆心距离进行比较即可得出结果. 【详解】由题可知圆的半径为，圆心；圆的半径为，圆心， 所以，，所以，故两圆外切， 故选B. 3．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案. 【详解】由题可得，则以PQ为直径的圆的圆心坐标为，半径为4， 则PQ为直径的圆的方程为： .将两圆方程相减可得公共弦方程为：. 则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：. 故选：D 4．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式逐项验证即可. 【详解】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 二、多选题 5．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆，圆，则（    ） A．圆心距 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为 C．若圆与圆无公共点，则 D．若圆与圆只有一条公切线，则 【答案】AD 【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，即可求出圆心距，从而判断A；两圆方程作差得到公共弦方程，即可判断B；由或即可判断C；两圆内切，即可求出，从而判断D. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以，故A正确； 当时，圆，则， 此时，即两圆相交， 则公共弦方程为，整理可得，故B错误； 若圆与圆无公共点，则或， 即可得或，解得或，故C错误； 若圆与圆只有一条公切线，则圆与圆相内切，则，即，解得，故D正确. 故选：AD 6．（23-24高二下·浙江·期中）已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若，，，（为坐标原点）四点共圆，则 【答案】BC 【分析】对于A，根据直线过圆心可得；对于B，由直线时弦可解；对于C，对曲线方程整理，结合圆系方程可得；对于D，由的垂直平分线确定圆心纵坐标，根据两圆方程求出直线方程，由直线过点D即可求解. 【详解】直线过定点， 圆，即，圆心为，半径． 对于A选项，若圆关于直线对称，则直线过圆心，得，故A错误． 对于B选项，圆的圆心为，半径为4， 圆心到直线的距离的最大值为， 所以的最小值为，故B正确． 对于C选项，当时，直线：， 曲线：，即， 所以曲线即为过直线与圆的交点的曲线方程，故C正确． 对于D选项，若，，，四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为， 的中点为，所以的垂直平分线方程为：，所以， 圆的方程为，整理得， 直线是圆和圆的交线，所以直线的方程为， 将点坐标代入上式得，解得， 所以直线即直线的斜率为，所以，故D错误． 故选：BC 【点睛】结论点睛：过直线与圆交点的圆系方程为； 圆和圆的公共弦所在直线方程为. 三、填空题 7．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】两相交圆的方程相减后，即可求得两圆公共弦所在直线方程. 【详解】由可得圆心为，半径为， 由可得圆心为，半径为， 两圆圆心距离为，两半径之和为，两半径之差为， 有，故两圆相交， 两圆方程作差为， 化简可得，即两圆公共弦所在直线方程为. 故答案为：. 8．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】求出两圆的圆心和半径，由两圆内切的条件，列方程求实数a的值. 【详解】圆，化成标准方程为， 圆心坐标为半径， 圆，圆心坐标为半径， 由两圆相内切，则圆心距，解得. 故答案为：. 9．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知圆M：和点，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则三角形PAB外接圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可知点在圆外，可求出切点弦方程，再利两圆公共弦方程设出的外接圆方程，从而可求解. 【详解】由题意得，所以点在圆外， 由圆外一点引圆的两条切线，切点弦方程知识可得， 即直线：， 的外接圆与圆的交线为，则可得外接圆方程为： ， 将代入，得，解得， 即外接圆方程为，即. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高二下·上海·阶段练习）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【答案】内切，公共点为 【分析】首先根据圆的方程求圆心，半径，并计算圆心距，结合圆与圆的位置关系，即可判断，求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为， 则两圆内切， 联立，则， 则公共点坐标为. 11．（22-23高二上·山西太原·期中）已知直线过点，且被圆截得的弦的长为. (1)求直线的方程； (2)若直线的斜率存在，圆过两点，且圆心在上，求圆的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论直线斜率存在与不存在两种情况，利用弦长公式与点线距离公式即可得解； （2）利用两圆相减得到公共弦所在直线的结论，假设圆的方程，从而由圆的一般方程可得圆心，将其代入，由此可求得圆的方程. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，易得与圆的交点为，此时弦长为，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线方程，即， 因为圆，所以圆心，半径，设圆心到直线的距离为， 因为，所以由弦长公式得，得， 所以，解得， 所以，直线方程为，即， 综上：直线的方程为或. （2）由（1）得直线的方程为，圆， 根据题意知直线是圆与圆的公共弦所在直线，而公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到， 故设圆的方程为，即， 则其圆心坐标为， 因为圆心在上，所以，解得， 所以圆的方程为 12．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. (1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程； (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程． 解　(1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4， 所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意． ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)． 即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2， 所以＝2，即＝2， 解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0. 综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0. (2)依题意，设D(a，a＋2)． 又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2， 由两圆外切，可知|CD|＝5， 所以＝5， 解得a＝－1或a＝6. 所以D(－1,1)或D(6,8)， 所以所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的a的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的位置关系，结合图形，得要与一圆相切或过两圆的交点. 【详解】，圆心，半径 由，得，圆心，半径， 圆心距为，，故两圆相交， 直线与圆及圆共有3个公共点， 情形一，与圆在下方相切时，则，得， 情形二，与圆在上方相切时，则，得， 情形三，过两圆的交点时， 两圆相减得，代入圆得：， 则两交点分别为，代入直线， 得，或 则所有符合条件的a的和为. 故选：D 二、多选题 2．（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 【答案】BD 【分析】根据对称性求得，然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即， 根据对称性可知，解得，所以A选项错误. 此时，圆心为，半径. ， 由于，所以两圆相交，B选项正确. 直线的方程，所以C选项错误. 线段中点坐标为，直线斜率为， 所以直线l的方程为，所以D选项正确. 故选：BD 三、填空题 3．（23-24高二上·辽宁·期末）已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为 ，直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意可知，则，当与直线垂直时最小，结合点斜式方程可求解直线PM方程，进而求出点P的坐标；利用勾股定理可得，以为圆心，为半径作圆，将两圆方程相减即可求出直线AB方程. 【详解】的标准方程为，其圆心为，半径为2.如图，    由题意可知，则， 所以当最小时，最小，此时与直线垂直， 所以直线的方程为，即. 联立，解得， 所以点的坐标为，. 在Rt中，，同理. 以为圆心，为半径作圆，如图，则线段为与的公共弦，   的方程为，即， 两圆方程相减得，即直线的方程为. 故答案为：； 【点睛】关键点睛：本题的难点是能够明确AB即为以为圆心，为半径的与的公共弦，由此可求得直线AB方程. 四、解答题 4．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知圆与圆相切． (1)求圆的半径； (2)若圆与圆相内切， 设圆与轴的负半轴的交点为， 过点作两条斜率之积为-3的直线， 分别交圆于两点， 求点到直线距离的最大值． 【答案】(1)或(2)． 【分析】（1）根据两圆外切或内切进行分类讨论，从而求得. （2）设出直线和直线的方程，求得两点的坐标，根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，求得直线的方程，进而求得点到直线距离的最大值. 【详解】（1）由题易知，圆C的标准方程是． 因为圆与圆相切，所以分两圆外切与内切两种情况讨论． 若圆与圆相外切，则，解得； 若圆与圆相内切， 即圆内切于圆， 则，解得．综上可得，或． （2）由（1）知，若圆与圆相内切，则．由圆，可得． 设，，直线，的斜率分别为，，则直线，． 联立方程整理得， 所以，即．所以． 同理得．由，可得． 将代入，可得点， ， 当时，直线MN的斜率存在，． 所以直线MN的方程为， 即， 化简得．所以直线恒过一定点，该定点为，． 故点P到直线MN的距离小于； 当时，直线MN的斜率不存在， ，或，， 所以直线MN的方程为，点P到直线MN的距离为． 综上所述，点P到直线MN距离的最大值为． 【点睛】圆与圆的位置关系中，“相切”包括了内切和外切，在解题过程中，如果题目所给条件是“相切”，则可能为内切和外切两种情形.要求直线的方程，首先要判断直线的斜率是否存在. 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，且该椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意确定c的值，根据椭圆上的点，结合椭圆定义求得a的值，即可求得，即得答案； （2）利用数量积的坐标表示，结合椭圆方程，即可求得答案. 【详解】（1）依题意，设所求椭圆方程为，其半焦距． ∵点在椭圆上， ∴， ∴，从而， 故所求椭圆的标准方程是． （2）由得，， 即， 代入椭圆方程得，故 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$