第25讲 直线与圆的方程的实际应用（两大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第25讲 直线与圆的方程的实际应用 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 圆的方程的实际应用 1 题型02 直线与圆的方程的实际应用 6 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 22 创新拓展 32 题型01圆的方程的实际应用 【解题策略】 建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题． 【典例分析】 课本例3　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)． 【例1】（2024高二上·全国·专题练习）如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高|米，则拱桥的直径为（　　） A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·山东聊城·期中）2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是 米.（注意：） 【变式2】（23-24高二上·天津河西·期中）如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少 .    【变式3】（23-24高二上·河北·期中）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．    (1)求该圆弧所在圆的方程； (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 题型02 直线与圆的方程的实际应用 【解题策略】 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 【典例分析】 课本例4　一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 【例2】如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 【变式2】（23-24高二上·重庆云阳·阶段练习）如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为. (1)求外籍船航行路径所在的直线方程； (2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？ 【变式3】（23-24高二上·安徽阜阳·期中）某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为1米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离米.在建筑物底面中心的北偏东方向米的点处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题： (1)在西辅道上与建筑物底面中心距离2米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ (2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·浙江杭州·阶段练习）已知点，，为直线上一动点，当最大时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·广东·阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·云南昆明·期中）如图是某圆拱桥的示意图，水面跨度为16米，拱桥顶点离河面4米，当水面上涨2米后，水面宽为（    ）米 A．8 B．10 C．12 D．14 二、多选题 5．（23-24高二上·河北·阶段练习）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ）    A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 三、填空题 6．（22-23高二上·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ． （可用参考数据：．） 7．（22-23高二上·广东广州·期末）如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到 米． 8．（22-23高二·江苏·假期作业）据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响．从现在起经过约 h，台风将影响A城，持续时间约为 h(结果精确到0.1 h)． 四、解答题 9．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）某圆拱桥的水面跨度16m，拱高4m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，问这条船能否通过? 10．（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 11．（23-24高二上·浙江台州·期中）如图，某海面有O，A，B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正东方向距O岛20千米处，B岛在O岛北偏东45°方向距O岛千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，10千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．    (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由． 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高二上·全国·课后作业）一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过（    ） A．1.4米 B．3.0米 C．3.6米 D．4.5米 2．（21-22高二上·贵州毕节·期末）某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发，沿处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为（    ） A．1分钟 B．分钟 C．2分钟 D．分钟 3．（22-23高二上·江西·阶段练习）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高二上·安徽池州·期中）一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，船速为10 km/h这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（   ） 小时 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（22-23高二上·北京·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ． 6．（21-22高二·全国·课后作业）某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低 m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 7．（22-23高三上·广东东莞·期末）已知点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A、B，且，则动点P的轨迹的长度为 ． 三、解答题 8．（22-23高二上·四川绵阳·期中）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点． (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 9．（22-23高二下·上海静安·期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米. (1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程; (2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）． 10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心为圆心，半径为400km的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km的速度做匀速直线运动： (1)运输车将在无人区经历多少小时？ (2)若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？ 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的方程为，射线绕点从轴正半轴逆时针匀速旋转到轴正半轴，所扫过的内部图形（图中阴影部分）面积可表示为时间的函数，则下列图象中与图象类似的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（21-22高二上·浙江温州·期中）已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为米， 则车辆的最大高度为 米． 三、解答题 3．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度：，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，易知.    (1)建立如图所示的坐标系，求圆拱所在圆的方程；    (2)求支柱的高度（精确到）.（） 4.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝. (1)求新桥BC的长； (2)当OM为多长时，圆形保护区的面积最大？ 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25讲 直线与圆的方程的实际应用 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 圆的方程的实际应用 1 题型02 直线与圆的方程的实际应用 6 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 22 创新拓展 32 题型01圆的方程的实际应用 【解题策略】 建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题． 【典例分析】 课本例3　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)． 解　建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上．由题意，点P，B的坐标分别为(0,4)，(10,0)．设圆心坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2. 下面确定b和r的值． 因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标(0,4)，(10,0)都满足方程x2＋(y－b)2＝r2. 于是，得到方程组 解得b＝－10.5，r2＝14.52. 所以，圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52. 把点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程， 得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52， 即y＋10.5＝(P2的纵坐标y>0，平方根取正值)． 所以y＝－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)． 答：支柱A2P2的高度约为3.86 m. 【例1】（2024高二上·全国·专题练习）如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高|米，则拱桥的直径为（　　） A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 【答案】B 【分析】利用勾股定理求得圆的半径，进而求得圆的直径. 【详解】设圆心为，半径为，连接，如下图所示， ，则由勾股定理得， 即，解得，所以拱桥的直径为13米. 故选：B. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·山东聊城·期中）2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是 米.（注意：） 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，求得点的坐标，设所求圆的半径为，由勾股定理可列等式求得的值，进而可求得圆的方程，然后将代入圆的方程，求出点的纵坐标，进而即可计算出的长． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为， 由勾股定理可得， 又，即，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的方程为， 将代入圆的方程得， 又，解得， 所以(米)． 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·天津河西·期中）如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少 .    【答案】 【分析】画出如图的货车截面图矩形，在圆上时，货车最高，求出的长即得． 【详解】如图，矩形是货车截面图，，则， 故答案为：． 【变式3】（23-24高二上·河北·期中）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．    (1)求该圆弧所在圆的方程； (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 【答案】(1) (2)4辆 【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【详解】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上， 设该圆的半径为r米，则，解得， 故该圆弧所在圆的方程为． （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则， 解得． 若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车． 若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车． 综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车 题型02 直线与圆的方程的实际应用 【解题策略】 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 【典例分析】 课本例4　一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 解　以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3)，轮船所在位置的坐标为(4,0)．这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2＋y2＝4； 轮船航线所在直线l的方程为＋＝1， 即3x＋4y－12＝0. 联立直线l与圆O的方程，得 消去y，得25x2－72x＋80＝0. 由Δ＝(－72)2－4×25×80<0，可知方程组无解． 所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险． 【例2】如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 解　(1)由题意，得A(40,40)，B(20,0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则 解得 ∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0. (2)该船初始位置为点D， 则D(－20，－20)， 且该船航线所在直线l的斜率为1， 故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20＝0， 由(1)得圆C的圆心为C(10,30)，半径r＝10， 由于圆心C到直线l的距离d＝＝10<10， 故该船有触礁的危险． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 【答案】(1)；（或） (2)小次车会进入安全预警区，理由见解析 【分析】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解. （2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离 与半径做比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案. 【详解】（1）由题意得,, 设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点, 所以解得 所以圆C的方程为；（或） （2）圆C化成标准方程为,圆心为C,半径, 因圆C到直线的距离. 所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区 【变式2】（23-24高二上·重庆云阳·阶段练习）如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为. (1)求外籍船航行路径所在的直线方程； (2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？ 【答案】(1)； (2)能， 小时. 【分析】（1）首先以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，再利用截距式求解直线方程即可； （2）利用直线与圆的位置关系和弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，如图所示: 则 ， 则直线，即， 外籍船航行路径所在的直线方程为: ; （2）点到直线的距离， 所以外籍轮船能被海监船监测到； 检测路线的长度， 则检测时间， 所以外籍轮船被监测到的持续时间为小时 【变式3】（23-24高二上·安徽阜阳·期中）某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为1米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离米.在建筑物底面中心的北偏东方向米的点处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题： (1)在西辅道上与建筑物底面中心距离2米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ (2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客在该摄像头的监控范围内 (2)4.375米 【分析】（1）建立坐标系，利用直线和圆的位置关系可以判断； （2）根据直线和圆相切求出切线，利用切线和观景直道所在直线的交点可得范围. 【详解】（1）设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，， 因为，则， 依题意得，游客所在位置为，即， 则直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内. （2）由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住， 所以设直线过点且和圆相切， ①若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以或， 即或， 观景直道所在直线方程为， 设两条直线与的交点为， 由，解得， 由，解得， 所以， 即观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为4.375米. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·浙江杭州·阶段练习）已知点，，为直线上一动点，当最大时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作圆与直线相切于，在直线上任取一点，连接交圆于，由 得点即为所求点，利用几何关系求点坐标即可. 【详解】如图所示过作圆与直线相切于，在直线上任取一点，连接交圆于， 因为，所以切点即为所求点， 因为点坐标为，所以由切割线定理得， 又由直线的倾斜角为可得，且 由余弦定理可得. 所以轴， 所以点横坐标为3，代入直线方程得点坐标为， 故选：B 2．（22-23高二下·广东·阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，解得答案. 【详解】小岛到航线的距离为，解得. 故选：C 3．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果. 【详解】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，    则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为， 所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线与相离， 即圆心O到直线的距离（），解得. 故选：A. 4．（22-23高二上·云南昆明·期中）如图是某圆拱桥的示意图，水面跨度为16米，拱桥顶点离河面4米，当水面上涨2米后，水面宽为（    ）米 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】利用圆的几何性质结合勾股定理及圆的弦长公式即可得解. 【详解】如图所示，设弦为水上升前的水面，弦为水上升后的水面， 为圆拱桥对应圆的圆心，为弦的中点，为弦的中点， 设圆的半径为，则， 则，解得， 所以， 所以， 即当水面上涨2米后，水面宽为米. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：将已知条件建立数学模型，结合圆的几何性质及圆的弦长公式是解决本题的关键. 二、多选题 5．（23-24高二上·河北·阶段练习）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ）    A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 【答案】BD 【分析】根据两点距离公式计算判断A，设圆C的方程，将三点的坐标代入求解判断B，代入点斜式直线方程计算判断C，利用直线与圆的位置关系判断D. 【详解】由题意，得，所以， 即观测点之间的距离是，故A错误； 设圆的方程为，因为圆经过三点， 所以，解得， 所以圆的方程为，故B正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是， 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故C错误； 圆化成标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 6．（22-23高二上·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ． （可用参考数据：．） 【答案】 3.32 【分析】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，由可求得，圆心，可得圆的方程；由题意设，代入圆的方程可求支柱的高度． 【详解】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，如图， 则， 则圆的标准方程为：． 由题意设，代入圆的方程得， 解得，即，则. 故答案为：3.32；. 7．（22-23高二上·广东广州·期末）如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到 米． 【答案】8 【分析】画出圆拱图示意图，构建直角坐标系，列出雨季和旱季时水位方程即可求出圆的半径，旱季时水面跨度. 【详解】 画出圆拱图示意图，设圆半径为,雨季时水位方程，解得； 旱季时水位方程，解得，所以此时水面跨度为. 所以答案为 8. 8．（22-23高二·江苏·假期作业）据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响．从现在起经过约 h，台风将影响A城，持续时间约为 h(结果精确到0.1 h)． 【答案】 2.0 6.6 【分析】以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心的移动轨迹方程是，可得受台风影响的区域边界的曲线方程是，再由可得答案. 【详解】以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则台风中心的移动轨迹方程是，设台风中心为， 受台风影响的区域边界的曲线方程是， 由，可得， 解得， 令， 当时， ∴， ， ∴从现在起经过约h，台风将影响A城，持续时间约为h． 故答案为：①；②.    四、解答题 9．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）某圆拱桥的水面跨度16m，拱高4m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，问这条船能否通过? 【答案】这条船不能通过. 【分析】根据题设，建立以水面作为轴的坐标系，并求出圆拱所在圆的方程，判断时水面上方点值与的大小关系即可. 【详解】以水面作为轴建立直角坐标系如下，且， 令圆拱的半径为，则，可得，故圆心为， 所以圆拱所在圆为，则时，如下图， 要使宽10m，水面以上高3m的船能通过， 只需即可， 则，即，显然不成立，故这条船不能通过.    10．（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），有，化简并整理即可求解. （2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2）   ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 11．（23-24高二上·浙江台州·期中）如图，某海面有O，A，B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正东方向距O岛20千米处，B岛在O岛北偏东45°方向距O岛千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，10千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．    (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由． 【答案】(1)； (2)没有触礁危险，理由见解析. 【分析】（1）根据已知确定，，，再设圆的方程，将所过的点代入求参数，即得方程； （2）该船航线所在直线l与圆心C的距离，判断其与半径的大小，即可得结论. 【详解】（1）由已知，，． 法1：设圆C的一般方程为，将O，A，B三点代入得 ，解得， ∴圆C的方程为 法2：设圆C方程为，将O，A，B三点代入得 ，解得， ∴圆C的方程为 （2）由已知该船初始位置为点，且该船航线所在直线l的斜率为． ∴海船行驶路线l:即， 圆心到l的距离， ∵， ∴没有触礁危险 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高二上·全国·课后作业）一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过（    ） A．1.4米 B．3.0米 C．3.6米 D．4.5米 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，由垂直条件对应的勾股定理求解出结果. 【详解】可画出示意图如图所示，通过勾股定理解得米． 故选：C. 2．（21-22高二上·贵州毕节·期末）某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发，沿处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为（    ） A．1分钟 B．分钟 C．2分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，求得直线和圆的方程，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得的长，进而求得持续监测的时长. 【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，可得，圆． 记从处开始被监测，到处监测结束， 因为到的距离为米， 所以米，故监测时长为分钟． 故选：C. 3．（22-23高二上·江西·阶段练习）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：C. 4．（20-21高二上·安徽池州·期中）一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，船速为10 km/h这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（   ） 小时 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据题意建立合适平面直角坐标系，将问题转化为求直线被圆所截得的弦长问题，然后根据弦长对应的距离求解出监测时间. 【详解】根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为轴，正北方向为轴， 所以，圆，记从处开始被监测，到处监测结束， 所以，即， 因为到的距离为， 所以，所以监测时间持续小时， 故选：B. 【点睛】思路点睛：建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路： （1）选择合适坐标原点（方便求解直线、圆的方程），建立平面直角坐标系； （2）根据题意写出直线与圆的方程； （3）根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解. 二、填空题 5．（22-23高二上·北京·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ． 【答案】/ 【分析】通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可. 【详解】如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG. 由题可知，，， 设，则 在中，有 即，解得 故车辆通过隧道的限制高度是. 故答案为： 6．（21-22高二·全国·课后作业）某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低 m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 【答案】1.22 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，再根据圆的方程即可求解. 【详解】以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设圆拱所在圆的方程为， ∵圆经过点， ∴解得： ∴圆的方程是，令，得，故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低，船才能安全通过桥洞. 故答案为：1.22 7．（22-23高三上·广东东莞·期末）已知点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A、B，且，则动点P的轨迹的长度为 ． 【答案】 【分析】由圆切线的性质，将 转化为 ,由此求得点 横坐标的范围, 进而得动点 的 轨迹的长度. 【详解】 因为 , 所以 , 所以， 解得 , 设点 的坐标为 , 所以 , 解得 , 所以动点 的轨迹的长度为. 故答案为：. 三、解答题 8．（22-23高二上·四川绵阳·期中）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点． (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险 【分析】（1）由图中坐标系得坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程； （2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得． 【详解】（1）如图所示，， 设过O、A、B三点的圆C的方程为， 得：，解得， 故所以圆C的方程为， 圆心为，半径， （2）该船初始位置为点D，则， 且该船航线所在直线l的斜率为, 故该船航行方向为直线， 由于圆心C到直线l的距离， 故该船没有触礁的危险 9．（22-23高二下·上海静安·期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米. (1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程; (2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）． 【答案】(1) (2)3.11米． 【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为，进而待定系数法求解即可； （2）点的横坐标代入这个圆的方程并解方程即可得答案. 【详解】（1）解：建立如图所示的坐标系， 设该圆拱所在圆的方程为， 由于圆心在轴上，所以，那么方程即为. 因为都在圆上， 所以它们的坐标都是这个圆的方程的解， 于是有方程组，解得                                              所以，这个圆的方程是． （2）解：由题知点的横坐标为. 所以，把点的横坐标代入这个圆的方程，得， 所以， 因为的纵坐标，故应取正值， 所以，（米）．          所以，支柱的高度约为3.11米. 10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心为圆心，半径为400km的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km的速度做匀速直线运动： (1)运输车将在无人区经历多少小时？ (2)若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？ 【答案】(1)5小时 (2)800km 【分析】（1）根据题意，以火山口的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，结合点到直线的距离公式求得弦长，即可得到结果； （2）根据题意，由直线与圆相切，即可得到结果. 【详解】（1） 以火山口的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，记运输车从出发，点处开始进入无人区，到处离开无人区，则圆方程为，由运输车沿北偏西60°方向运动，可得直线的斜率，则，即，因为到的距离为, 则， 所以经历时长为小时. （2）设运输车至少应离火山口出发才安全， 此时运输车的行驶直线刚好与圆相切， 且直线方程为，即， 则到直线的距离，解得， 即运输车至少应离火山口出发才安全 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的方程为，射线绕点从轴正半轴逆时针匀速旋转到轴正半轴，所扫过的内部图形（图中阴影部分）面积可表示为时间的函数，则下列图象中与图象类似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过观察面积的变化量的变化情况可得答案. 【详解】当射线绕点从轴正半轴逆时针匀速旋转射线时， 所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图象显示，变化量也在变大， 当射线从射线逆时针匀速旋转到轴正半轴时， 所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图象显示，变化量在变小， 综合选项可得，选线A符合， 故选：A. 二、填空题 2．（21-22高二上·浙江温州·期中）已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为米， 则车辆的最大高度为 米． 【答案】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得出半圆方程，设，求出点处半圆的高度即可得． 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，是圆心，， 半圆方程为（），在半圆上，且轴， 则，， 故答案为：． 三、解答题 3．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度：，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，易知.    (1)建立如图所示的坐标系，求圆拱所在圆的方程；    (2)求支柱的高度（精确到）.（） 【答案】(1) (2)约为 【分析】（1）设圆拱所在圆的圆心为，根据可求出的值，再求出圆的半径，即可得出圆的方程； （2）设，可得点，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得解. 【详解】（1）解：设圆拱所在圆的圆心为，易知点、， 由可得，解得， 圆的半径为， 所以，圆拱所在圆的方程为. （2）解：设，又因为，即点， 将点的坐标代入圆的方程可得， 解得， 所以，支柱的高度约为. 4.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝. (1)求新桥BC的长； (2)当OM为多长时，圆形保护区的面积最大？ 解　(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系Oxy. 由条件知，A(0,60)，C(170，0)， 直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－. 又因为AB⊥BC， 所以直线AB的斜率kAB＝. 设点B的坐标为(a，b)， 则kBC＝＝－，① kAB＝＝，② 联立①②解得a＝80，b＝120. 所以|BC|＝＝150. 因此新桥BC的长为150 m. (2)设保护区的边界圆M的半径为r m， |OM|＝d m(0≤d≤60)． 由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)， 即4x＋3y－680＝0. 由于圆M与直线BC相切， 故点M(0，d)到直线BC的距离是r， 即r＝＝. 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， 所以 即 解得10≤d≤35. 故当d＝10时，r＝最大，即圆的面积最大． 所以当|OM|＝10 m时，圆形保护区的面积最大． 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 【答案】(1) (2)和圆相交，理由见解析， 【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解； （2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长. 【详解】（1）设圆的一般方程为：，把已知点代入得： ， 所以圆的方程为： （2）由（1）得圆的标准方程为：. ∴，，， ∵ 所以圆和圆相交， 设交点为A，B，直线AB方程为即： ， 所以到直线AB的距离所以. 两圆公共弦的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$