第24讲 直线与圆的位置关系（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第24讲 直线与圆的位置关系 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线与圆的位置关系的判断 3 题型02 圆的弦长问题 5 题型03 圆的切线问题 9 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 18 创新拓展 28 一、直线与圆的位置关系的判断 直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 　　个 　　个 　　个 判断 方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ 二、圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2. 图① (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 图② 则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)． 题型01直线与圆的位置关系的判断 【解题策略】 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系 【典例分析】 【例1】例1　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 【变式2】（23-24高二上·上海·期末）点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 【变式3】（2022高二·全国·专题练习）判断直线与圆的位置关系． 题型02 圆的弦长问题 【解题策略】 (1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法． (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况 【典例分析】 课本例1　已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长． 【例2】求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·福建泉州·期中）直线被圆截得的弦长为定值，则直线l的方程为 ． 【变式2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知圆及直线，当直线被圆截得弦长最长时，直线的方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·新疆和田·期中）已知圆方程为，直线方程为，则 (1)求圆圆心坐标及半径； (2)判断直线与圆位置关系，若相交，求弦长. 题型03 圆的切线问题 【解题策略】 求过某一点的圆的切线方程 (1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在且不为0，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式方程可得切线方程． ②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当切线斜率不存在时要加以验证． ③过圆外一点的切线有两条 【典例分析】 课本例2　过点P(2,1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程． 【例3】　(1)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为__________． (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C. D．3 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【变式3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）过点P作圆的切线，求切线的方程 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东梅州·阶段练习）已知圆，则直线与圆C（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 2．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 3．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2024高二上·全国·专题练习）直线被圆所截得的弦长等于，则a的值为 （　　） A．或3 B．或 C．1或3 D．或 二、多选题 5．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知圆C方程为，则下列说法中正确的是（ ） A．圆C的圆心坐标为 B．圆C的半径为3 C．圆C与直线相切 D．点在圆外 6．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线l的一个方程 ． 8．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则实数 . 9．（23-24高二上·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 四、解答题 10.已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直． (1)求直线l的方程； (2)若圆C的圆心坐标为(3,0)，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程． 11．（23-24高二下·四川·阶段练习）已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． (1)求圆C的标准方程； (2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 12．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知直线过点，圆. (1)证明：直线与圆相交； (2)求直线被圆截得的弦长的最小值. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）若直线与圆交于两点，且，则（ ） A． B． C．1 D．或 2．（23-24高二上·江苏连云港·期中）圆在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知圆M的方程为，则关于圆M的说法正确的是（    ） A．圆心M的坐标为 B．点在圆M内 C．直线被圆M截得的弦长为 D．圆M在点处的切线方程为 6．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知圆，直线，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆可能相切 C．直线被圆截得的弦长的最小值为4 D．当时，圆上到直线距离为2的点恰有三个 三、填空题 7．（23-24高二上·福建漳州·期末）圆在点处的切线方程为 . 8．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）若方程有实数解，则实数的取值范围 . 9．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为 . 四、解答题 10．（23-24高二上·湖北·期末）已知圆. (1)过点作圆的切线，求切线的方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程. 11．（23-24高二上·北京·期中）已知圆过原点和点，圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 12．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 13．已知圆C过点(1,1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点P(1,3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题 2．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知圆，则下列命题是真命题的是（    ） A．若圆C关于直线对称，则 B．存在一条定直线与圆C相切 C．当时，不过点C的直线与圆C交于P，Q两点，则的面积的取值范围是 D．当时，直线，M为直线l上的动点，过点M作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则的最小值为4 三、填空题 3．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）过点与圆相切的直线方程为 ． 四、解答题 4．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知圆经过点，，. (1)求圆的方程； (2)过点作直线与圆相切，求直线的方程. 5．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2. (1)求圆C的方程； (2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标． 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·广东潮州·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（参考数据2.45，结果精确到0.1m）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24讲 直线与圆的位置关系 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线与圆的位置关系的判断 3 题型02 圆的弦长问题 5 题型03 圆的切线问题 9 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 18 创新拓展 28 一、直线与圆的位置关系的判断 直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二、圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2， 图① 即|AB|＝2. (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 图② 则|AB|＝ ＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在) 题型01直线与圆的位置关系的判断 【解题策略】 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系 【典例分析】 【例1】例1　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 解　方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2,1)，半径r＝2. 圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝ . (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径的比较即可判断位置关系. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：A 【变式2】（23-24高二上·上海·期末）点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 【答案】相交 【分析】根据点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系分析判断. 【详解】因为点是圆外一点，故有， 则圆心到直线的距离为， ∴直线与该圆的位置关系是相交． 故答案为：相交 【变式3】（2022高二·全国·专题练习）判断直线与圆的位置关系． 【答案】直线与圆相离 【分析】可从以下两个方面思考：一方面联立直线与圆的方程，判断方程组解的情况即可；或者判断圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系也可以. 【详解】方法一：（代数法） 将直线与圆的方程联立，得，消去得， 所以，即方程组无解，所以直线与圆相离. 方法二：（几何法） 圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为 ，故直线与圆相离 题型02 圆的弦长问题 【解题策略】 (1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法． (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况 【典例分析】 课本例1　已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长． 解　方法一　联立直线l与圆C的方程，得 消去y，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1. 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点． 把x1＝2，x2＝1分别代入方程①，得y1＝0，y2＝3. 所以，直线l与圆C的两个交点是A(2,0)，B(1,3)． 因此|AB|＝＝. 方法二　圆C的方程x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，因此圆心C的坐标为(0,1)，半径为，圆心C(0,1)到直线l的距离 d＝＝<. 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点． 如图，由垂径定理， 得|AB|＝2＝. 【例2】求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． 解　方法一　直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解． 解这个方程组，得 所以公共点的坐标为(－，1)，(0,2)， 所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2. 方法二　如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)， 又|OM|＝＝， 所以|AB|＝2|AM|＝2 ＝2＝2. 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·福建泉州·期中）直线被圆截得的弦长为定值，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出动圆圆心的轨迹方程，再由直线l与圆心的轨迹平行求解作答. 【详解】圆的圆心，半径，显然点C的轨迹是直线， 直线，由解得，即直线l过定点， 因直线l被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线l的距离为定值，因此直线l平行于圆心C的轨迹， 设直线l的方程为：，有，解得， 此时直线l与圆心C的轨迹的距离为，即直线l与圆C相交， 所以直线l的方程为. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知圆及直线，当直线被圆截得弦长最长时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】通过题干，当直线过圆心时，所截弦长最长，为直径，将圆心代入直线方程求解即可. 【详解】因为圆，圆心，，当直线被圆截得弦长最长时，此时直线过圆心，弦长为，将圆心代入直线方程得，即，所以直线方程为， 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·新疆和田·期中）已知圆方程为，直线方程为，则 (1)求圆圆心坐标及半径； (2)判断直线与圆位置关系，若相交，求弦长. 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2)相交，且弦长为 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，可得出圆的圆心坐标与半径长； （2）计算出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得出结论，再利用勾股定理可求得弦长. 【详解】（1）圆的标准方程为，则圆的圆心坐标为，半径为. （2）圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相交，弦长为. 题型03 圆的切线问题 【解题策略】 求过某一点的圆的切线方程 (1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在且不为0，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式方程可得切线方程． ②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当切线斜率不存在时要加以验证． ③过圆外一点的切线有两条 【典例分析】 课本例2　过点P(2,1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程． 解　方法一　设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0. 由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1， 得＝1，解得k＝0或. 因此，所求切线l的方程为y＝1，或4x－3y－5＝0. 方法二　设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x－2)． 因为直线l与圆相切，所以方程组 只有一组解． 消元，得 (k2＋1)x2＋(2k－4k2)x＋4k2－4k＝0.① 因为方程①只有一个解，所以 Δ＝4k2(1－2k)2－16k(k2＋1)(k－1)＝0， 解得k＝0或. 所以，所求切线l的方程为y＝1，或4x－3y－5＝0. 【例3】　(1)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为__________． 答案　y＝4或3x＋4y－13＝0 解析　∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1， ∴点A在圆外． 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意． 因此直线l的斜率存在，设为k， 则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)， 即kx－y＋4＋k＝0. 圆心(2,3)到切线l的距离为＝1， 解得k＝0或k＝－， 因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0. (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C. D．3 答案　C 解析　圆心C(3,0)到直线y＝x＋1的距离 d＝＝2. 所以切线长的最小值为l＝＝. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案. 【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 故选：A 【变式2】（23-24高二下·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【答案】或 【分析】先确定点在圆外，再分切线斜率存在与否，利用圆心到切线的距离等于半径求解即可. 【详解】由圆的方程可得圆心，半径， 由题意可得圆心到切线的距离等于半径， 由点代入圆的方程可得，所以点在圆外， 所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为； 当斜率存在时，设为， 则过点的切线方程为，即 所以，解得， 此时，切线方程为， 综上，过点的的所有切线方程为或. 故答案为：或 【变式3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）过点P作圆的切线，求切线的方程 【答案】 【分析】由圆的方程求出圆心和半径，通过计算得到点在圆上，根据切线几何性质进而可得切线的方程. 【详解】，即， 则其圆心，半径， 将点代入圆的方程可得， 则点在圆上，则， 直线的方程为，则， 则切线方程为 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东梅州·阶段练习）已知圆，则直线与圆C（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【分析】由直线与圆的方程可知，该直线有定点在圆内，即可得其位置关系. 【详解】可化为， 即该圆圆心为，半径为， 由可得该直线过定点， 有，即该定点必在圆内， 故两者位置关系为相交. 故选：A. 2．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】判出直线恒过定点，再判定点与圆位置关系可得直线和圆位置关系. 【详解】由，所以直线恒过定点， 因为，所以点在圆的内部， 所以直线与圆相交. 故选：B. 3．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 【详解】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 4．（2024高二上·全国·专题练习）直线被圆所截得的弦长等于，则a的值为 （　　） A．或3 B．或 C．1或3 D．或 【答案】C 【分析】由题意可知，圆心到的距离为，由距离公式求解即可. 【详解】因为弦长为，半径， 所以圆心到的距离为：， 所以， 所以或3. 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知圆C方程为，则下列说法中正确的是（ ） A．圆C的圆心坐标为 B．圆C的半径为3 C．圆C与直线相切 D．点在圆外 【答案】BCD 【分析】由圆的标准方程可判断选项A、B，由圆心到直线的距离与半径比较可判断选项C，将点代入圆的方程可判断D. 【详解】已知圆C方程为， 故圆C的圆心坐标为，半径为3，故A错误，B正确. 圆C到直线的距离为，故C正确. 点代入圆C方程为，故点在圆外，故D正确. 故选：BCD. 6．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出已知圆的圆心、半径，再按切线斜率存在与否分类求解即得. 【详解】依题意，圆的圆心，半径， 过点斜率不存在的直线，显然点到直线的距离为1， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 于是，解得，此时切线方程为， 所以直线l的方程为或. 故选：BC 三、填空题 7．（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线l的一个方程 ． 【答案】或（写出一个即可） 【分析】讨论直线l的斜率是否存在，再设直线方程根据垂径定理求解即可. 【详解】由题意，圆心到直线l的距离，当直线l的斜率不存在时，方程为满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，则， 即，解得，此时直线l的方程为. 故答案为：或（写出一个即可） 8．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则实数 . 【答案】 【分析】利用垂径定理列方程求解即可. 【详解】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有， 解可得：； 故答案为：. 9．（23-24高二上·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或 【分析】由题意分直线斜率是否存在结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】当直线斜率存在时，设切线的点斜式方程为：，圆心到直线的距离为， 化简得到，故； 另一条应为不存在的情况，即满足题意. 故答案为：或. 四、解答题 10.已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直． (1)求直线l的方程； (2)若圆C的圆心坐标为(3,0)，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程． 解　(1)由已知得 解得 ∴两直线交点为(2,1)． 设直线l的斜率为kl， ∵直线l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1， ∵直线l过点(2,1)， ∴直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0. (2)设圆的半径为r，依题意，得 圆心(3,0)到直线x－y－1＝0的距离为＝， 则由垂径定理得r2＝()2＋()2＝4，∴r＝2， ∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. 11．（23-24高二下·四川·阶段练习）已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． (1)求圆C的标准方程； (2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【详解】（1）首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 12．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知直线过点，圆. (1)证明：直线与圆相交； (2)求直线被圆截得的弦长的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由在圆的内部，可得直线与圆相交. （2）根据当直线与垂直时，弦长最短，求得答案. 【详解】（1）把代入圆的方程左边得， 在圆的内部，所以直线与圆相交. （2）已知圆心，，设直线与圆相交于点， 当直线与垂直时，弦长最短，此时圆心到直线的距离， ， . 所以直线被圆截得的弦长的最小值为 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）若直线与圆交于两点，且，则（ ） A． B． C．1 D．或 【答案】D 【分析】利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，再利用点线距离公式得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】根据圆的标准公式可知圆的圆心为，半径为， 因为，所以圆心到直线的距离为， 又直线可化为， 则，解得或. 故选：D. 2．（23-24高二上·江苏连云港·期中）圆在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】易知该切线斜率存在，不妨设切线方程， 易知圆心，半径，所以到的距离为， 解之得，即切线. 故选：A 3．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意点在圆上，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足， 这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为， 所以该切线方程为，化为一般式得. 故选：B. 4．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设过点的直线的方程为，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值，由切线与平行，可得答案． 【详解】已知过点的直线与圆相切， 将点代入圆恒成立， 则点在圆上．即过点的直线与圆相切的切线只有一条， 令过点的切线的方程为，即， 由此切线与平行，两直线的斜率相等且轴截距不等， 可得且； 由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径， ，即. 故选：B． 二、多选题 5．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知圆M的方程为，则关于圆M的说法正确的是（    ） A．圆心M的坐标为 B．点在圆M内 C．直线被圆M截得的弦长为 D．圆M在点处的切线方程为 【答案】ABD 【分析】由圆的标准方程即可判断A，根据点与圆的位置关系即可判断B，根据直线与圆相交，结合勾股定理即可求解弦长判断C，根据点的位置即可判断切线与轴平行，即可判断D. 【详解】由圆M的方程为，知其圆心为，半径为1，故A正确； 点到点的距离为，故B正确； 点到的距离为，所以，故C错误； 因为，所以点在圆M上， 而点与圆心在垂直于坐标轴x的直线上， 所以圆M在点的切线直线与轴平行，其方程为，故D正确. 故选：ABD． 6．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知圆，直线，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆可能相切 C．直线被圆截得的弦长的最小值为4 D．当时，圆上到直线距离为2的点恰有三个 【答案】ACD 【分析】对A，整理方程可得，再令求解即可；对B，由点在圆内部判断即可；对C，设点为，根据当时，直线被圆截得的弦长最小求解即可；对D，代入，求解圆心到直线的距离判断即可. 【详解】圆，故该圆半径为3. 对A，直线的方程整理可得， 由，得即直线恒过定点，故A正确． 对B，因为点在圆内部，所以直线与圆不可能相切，故B不正确． 对C，设点为，当时，直线被圆截得的弦长最小． 因为，所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故C正确． 对D，圆心，半径为3，当时，直线的方程为． 因为圆心到直线的距离为，所以圆上到直线距离为2的点恰有三个，故D正确． 故选：ACD 三、填空题 7．（23-24高二上·福建漳州·期末）圆在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为， 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：，即. 故答案为： 8．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）若方程有实数解，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】分析可知，直线与曲线有公共点，求出当直线与圆相切，且切点在第二象限时的值，以及直线过点时的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由可得， 则直线与曲线有公共点， 由可得， 所以，曲线表示圆的上半圆，如下图所示： 当直线与圆相切，且切点在第二象限时，，且， 解得， 当直线过点时，，可得， 由图可知，当时，直线与曲线有公共点， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为 . 【答案】或 【分析】设出直线方程，借助切线的性质计算即可得. 【详解】当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离，故不符， 当直线斜率存在时，设直线为， 即， 此时圆心到的距离， 即，即或. 故答案为：或. 四、解答题 10．（23-24高二上·湖北·期末）已知圆. (1)过点作圆的切线，求切线的方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）通过两直线垂直斜率之间的关系求出切线斜率，即可得出切线的方程； （2）分类讨论直线斜率是否存在，通过点到直线距离公式结合勾股定理即可求出直线方程. 【详解】（1）由题意即图知，切线斜率存在， 在圆中，圆心，半径； 点在圆上，设切线斜率为 所以， 解得， 故切线方程为. （2）由题意， 当直线斜率不存在时，直线与圆交于,弦长恰好为2， 直线满足条件， 当直线斜率存在时，设，即， 则圆心到直线距离， 所以在中，由勾股定理得，，解得：， 所以直线方程为：， 综上，直线的方程为或. 11．（23-24高二上·北京·期中）已知圆过原点和点，圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的圆心坐标为，由已知列出方程，求得，进而求得半径，即可得出结果； （2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果. 【详解】（1）设圆的圆心坐标为.依题意，在，解得 从而圆的半径为，所以圆的方程为. （2）依题意，圆C的圆心到直线的距离为4， 显然直线符合题意. 当直线的斜率存在时，设其方程为，即 所以解得，所以直线的方程为 综上，直线的方程为或. 12．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 解　(1)圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2. 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0， 则＝2，解得k＝－， 所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. (2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0， 圆心到直线l的距离d＝＝， 故所求弦长为2＝2＝2. 13．已知圆C过点(1,1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点P(1,3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程． 解　(1)由题意，设圆心坐标为C(a,0)(a>0)， 由题意，得＝， 解得a＝－6(舍)或a＝2， 所以圆的半径为r＝＝， 则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2. (2)若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为， 则|AB|＝2＝2，符合题意； 若斜率存在，设直线方程为y－3＝k(x－1)， 即kx－y－k＋3＝0. 弦心距d＝，得|AB|＝2＝2， 解得k＝－，直线方程为4x＋3y－13＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝1或4x＋3y－13＝0. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可． 【详解】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2， 当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或 故选：B 二、多选题 2．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知圆，则下列命题是真命题的是（    ） A．若圆C关于直线对称，则 B．存在一条定直线与圆C相切 C．当时，不过点C的直线与圆C交于P，Q两点，则的面积的取值范围是 D．当时，直线，M为直线l上的动点，过点M作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据圆关于直线对称，得k值，再检验半径是否大于零，即可判断A；只需求出圆过定点，根据直线与圆相切条件判断B；将的面积表达出来，再根据直线与圆的位置关系确定的最值即可判断C；利用垂直关系，可将联系四边形的面积，再根据直线与圆相切的切线长与切点弦关系可判断D. 【详解】圆即.所以该圆圆心为，半径为. 对于A：若圆C关于直线对称，则圆心在直线上，所以，解得.当时，圆的半径为2；当时，，不能构成圆.故A项错误； 对于B：圆，令，，联立解得，，所以圆C过定点，又因为圆心，所以直线与圆C相切，故B项正确； 对于C：当时，圆，由直线得，令且，得，，所以直线过定点，设圆心C与直线的距离为d，则d的最大值为，， 因为，所以，所以，所以，故C项正确； 对于D：当时，圆， 由题意知，四边形的面积为;， 又的最小值为，所以的最小值为2，故的最小值为4，故D项正确. 故选：BCD. 三、填空题 3．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）过点与圆相切的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 四、解答题 4．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知圆经过点，，. (1)求圆的方程； (2)过点作直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助垂直平分线的性质计算可得点的坐标，借助两点间距离公式计算可得半径，即可得圆的方程； （2）借助点斜式设出切线方程，结合切线定义计算即可得. 【详解】（1）线段的垂直平分线的方程为，线段的垂直平分线的方程为， 由，解得， 圆的半径， 圆的方程为； （2）由题易得直线l的斜率存在，设过点P的直线为，即， 圆心到直线的距离，解得或， 直线方程为或. 5．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2. (1)求圆C的方程； (2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标． 解　(1)设圆心(a,0)(a>0)，则圆心到直线l：4x－3y－3＝0的距离d＝， 由题意可得，d2＋()2＝22，即＋3＝4， 解得a＝2或a＝－(舍去)． ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)∵P是直线x＋y＋4＝0上一点． 设P(m，－m－4)， ∵PA为圆C的切线，∴PA⊥AC， 即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆． 设圆上任一点Q(x，y)， 则·＝0， ∵＝(x－m，y＋m＋4)，＝(x－2，y)， ∴·＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0， 即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0， 令 解得或 ∴经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2,0)． 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·广东潮州·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（参考数据2.45，结果精确到0.1m）． 【答案】5.4m 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【详解】 以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为．                       设圆拱所在的圆的方程是． 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得．                             故圆拱所在的圆的方程是．                          将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为5.4m． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$