第22讲 圆的标准方程（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第22讲 圆的标准方程 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 圆的标准方程 2 题型02 点与圆的位置关系 4 题型03 求圆的标准方程 7 分层练习 23 夯实基础 12 能力提升 18 创新拓展 18 一、圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 注意点： (1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上． 二、点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝. 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d________r (x0－a)2＋(y0－b)2________r2 点在圆上 d________r (x0－a)2＋(y0－b)2________r2 点在圆内 d________r (x0－a)2＋(y0－b)2________r2 题型01圆的标准方程 【解题策略】 直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等 【典例分析】 【例1】求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）已知点，，以线段为直径的圆的标准方程为 . 【变式3】（23-24高二上·新疆·期中）（1）写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. （2）求下列各圆的圆心坐标和半径： ①； ②. 题型02 点与圆的位置关系 【解题策略】 　判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断 【典例分析】 课本例1　求圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在这个圆上． 【例2】(1)已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 (2)已知点P(2,1)和圆C：2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________． 【变式演练】 【变式1】（2023高二上·全国·专题练习）已知点，与圆O：，则（    ） A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）点（3，1）在圆的圆周 .（填“内”、“外”或“上”） 【变式3】（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 题型03 求圆的标准方程 【解题策略】 求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程 【典例分析】 课本例3　已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程． 【例3】求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·山东·阶段练习）已知圆的圆心位于第三象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程是 ． 【变式3】（22-23高二下·甘肃临夏·阶段练习）已知圆C的圆心在y轴上，且经过，两点，求圆C的标准方程. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若直线与相离，则点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 2．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·甘肃白银·期末）圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）圆关于直线对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·青海海南·期中）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 6．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二上·新疆和田·期中）圆心为，半径是的圆标准方程为 . 8．（21-22高一下·四川乐山·期末）点与圆的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 9．（2023高二上·全国·专题练习）已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切，则圆C的标准方程为 ；与圆C关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为 . 四、解答题 10．（22-23高二上·新疆·期中）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. (1)求直线的方程； (2)若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 11．（22-23高二上·全国·课后作业）已知圆C的半径为，圆心在直线上，且过点，求圆C的标准方程. 12．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)． (1)若点M(6,9)在圆N上，求半径a； (2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围． 13．已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求 (1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程； (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）圆心为，半径为2的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川达州·期末）已知的圆心C在x轴上，且与x轴相交于坐标原点O和，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知圆心为点，且过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2023高二上·江苏·专题练习）已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 二、多选题 5．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·福建福州·期中）圆与轴相切，且经过两点，则圆可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是 . 8．（2023高二上·全国·专题练习）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 9．已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为________． 四、解答题 10．（23-24高二上·上海·期末）已知圆经过原点且与轴相切，与轴正半轴交于点.求圆的方程； 11．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知两点，直线． (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高二上·天津和平·阶段练习）已知圆C：，则点在（    ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．以上情况均有可能 二、多选题 2．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）若有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 三、填空题 3．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知圆的方程，圆与圆是同心圆且过点，则圆的标准方程为 ． 四、解答题 4．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的标准方程． 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线，直线l过点且与垂直. (1)求直线l的方程； (2)设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22讲 圆的标准方程 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 圆的标准方程 2 题型02 点与圆的位置关系 4 题型03 求圆的标准方程 7 分层练习 23 夯实基础 12 能力提升 18 创新拓展 18 一、圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 注意点： (1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上． 二、点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝. 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 题型01圆的标准方程 【解题策略】 直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等 【典例分析】 【例1】求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)． 解　(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为， 则圆的方程为，又点在圆上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为． 故选：A 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）已知点，，以线段为直径的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】求出圆心坐标和半径可得. 【详解】根据题意，圆心坐标为，半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·新疆·期中）（1）写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. （2）求下列各圆的圆心坐标和半径： ①； ②. 【答案】（1）①；② （2）①圆心为，半径为；②圆心为，半径为3 【分析】（1）①根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程②先求出圆的半径，可得圆的标准方程． （2）把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径． 【详解】（1）①圆心在，半径长是，故圆的标准方程为． ②圆心在，且经过点，故半径为， 故圆的标准方程为． （2）①，即，故圆心为，半径为， ②，即 即，故圆心为，半径为3 题型02 点与圆的位置关系 【解题策略】 　判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断 【典例分析】 课本例1　求圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在这个圆上． 解　圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 把点M1(5，－7)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上． 把点M2(－2，－1)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上(如图)． 【例2】(1)已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 答案　A 解析　由题意，得a＋b＝1，ab＝－， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8， ∴点P在圆C内． (2)已知点P(2,1)和圆C：2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________． 答案　－2或－6　a<－6或a>－2 解析　由题意，得2＋(y－1)2＝1，当点P在圆C上时，由2＋(1－1)2＝1 ，解得a＝－2或a＝－6. 当点P在圆C外时，由2＋(1－1)2>1， 解得a<－6或a>－2. 【变式演练】 【变式1】（2023高二上·全国·专题练习）已知点，与圆O：，则（    ） A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 【答案】C 【分析】将点，代入圆的方程，根据点与圆位置关系的判断方法，即可得解. 【详解】将代入圆的方程，可得， 所以点A在圆O内；将代入圆的方程， 可得，所以点B在圆O外． 故选：C 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）点（3，1）在圆的圆周 .（填“内”、“外”或“上”） 【答案】外 【分析】将点与圆心之间的距离与半径比较即可得出结论. 【详解】因为， 故点（3，1）在圆的圆周外， 故答案为：外. 【变式3】（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 【答案】(1); (2)点在圆C上. 【分析】（1）结合已知条件，建立方程组，求解即可; （2）将点代入圆C的一般方程为,即可判断. 【详解】（1）由题意可得：因为圆,所以圆心， 因为圆心在直线上，半径长为，且圆心在第二象限. 所以，解得：, 故圆C的一般方程为：. （2）将点代入圆C的一般方程为, 得：，故点在圆C上 题型03 求圆的标准方程 【解题策略】 求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程 【典例分析】 课本例3　已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程． 解　方法一　设圆心C的坐标为(a，b)． 因为圆心C在直线l：x－y＋1＝0上， 所以a－b＋1＝0.① 因为A，B是圆上两点，所以|CA|＝|CB|. 根据两点间距离公式，有 ＝， 即a－3b－3＝0.② 由①②可得a＝－3，b＝－2. 所以圆心C的坐标是(－3，－2)． 圆的半径 r＝|AC|＝＝5. 所以，所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 方法二　如图，设线段AB的中点为D.由A，B两点的坐标为(1,1)，(2，－2)，可得点D的坐标为，直线AB的斜率为kAB＝＝－3. 因此，线段AB的垂直平分线l′的方程是y＋＝，即x－3y－3＝0. 由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解． 解这个方程组，得 所以圆心C的坐标是(－3，－2)． 圆的半径r＝|AC|＝＝5. 所以，所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 【例3】求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程． 解　方法一　(待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有解得 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 方法二　(几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为(4，－3)， 半径为r＝＝5. 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程. 【详解】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·山东·阶段练习）已知圆的圆心位于第三象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】根据几何性质求出圆心的坐标和半径，即可求出圆的标准方程. 【详解】由题意，在圆中，圆心位于第三象限且在直线上， 设圆心为，半径为， ∵圆与两个坐标轴都相切， ∴圆心到两坐标轴的距离相等，，解得：， ∴， ∴圆的标准方程为. 故答案为： 【变式3】（22-23高二下·甘肃临夏·阶段练习）已知圆C的圆心在y轴上，且经过，两点，求圆C的标准方程. 【答案】. 【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线与y轴的交点坐标，即可求解作答. 【详解】点，，则线段的中点坐标为，显然线段的中垂线过点，    而点在y轴上，因此圆C的圆心坐标为，半径， 所以圆C的标准方程为 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若直线与相离，则点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】由题设及点线距离公式有，进而可得即可判断位置关系. 【详解】由题设与直线的距离，即， 所以点在圆内. 故选：A 2．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆的标准方程，利用待定系数法计算即可. 【详解】因为圆C的圆心在x轴上，故设圆的标准方程, 又经过，两点， 所以，解得， 所以圆的标准方程. 故选：A. 3．（23-24高二上·甘肃白银·期末）圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用几何法即可求得圆的标准方程. 【详解】因为圆心在直线上，故设圆心， 又因为圆和轴相切于点，所以，即，则半径， 故圆的标准方程为. 故选：B. 4．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）圆关于直线对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过求圆的圆心和半径求得正确答案. 【详解】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径. 设圆的圆心为， 则，解得， 圆的半径为，所以圆的标准方程为. 故选：A 二、多选题 5．（23-24高二上·青海海南·期中）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 【答案】ABC 【分析】根据条件求圆心和半径，即可求得圆的标准方程，再将点代入圆的方程，即可判断点与圆的位置关系. 【详解】线段的中点坐标为， 又， 因为线段为圆的直径，所以圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 对于A，点代入，所以点在圆上，故A正确； 对于B，点代入，所以点在圆外，故B正确； 对于C，点代入，所以点在圆内，故C正确； 对于D，点代入，所以点在圆上，故D错误. 故选：ABC. 6．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆心，由题意可知，，，求出、的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的方程. 【详解】设圆心，由题意可知，，即，解得， 因为为直角三角形，则为直角三角形，则， 即，解得，则圆的半径为， 圆心为，因此，圆的方程为或， 故选：BC. 三、填空题 7．（23-24高二上·新疆和田·期中）圆心为，半径是的圆标准方程为 . 【答案】 【分析】由圆的标准方程可得. 【详解】圆心为，半径是的圆标准方程为 . 故答案为：. 8．（21-22高一下·四川乐山·期末）点与圆的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 【答案】在圆内 【分析】利用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点与圆的位置关系即可. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2 点到圆心的距离， 因为，所以点在圆内． 故答案为：在圆内 9．（2023高二上·全国·专题练习）已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切，则圆C的标准方程为 ；与圆C关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意得到圆心为，半径为2求解；先求得关于直线的对称点为，由圆心求解圆的方程. 【详解】由题意得所求的圆在第二象限，圆心为，半径为2， 所以圆的标准方程为. 设关于直线的对称点为. 则有， 解得， 故所求圆的圆心为，半径为2. 所以所求圆的标准方程为. 故答案为：； 四、解答题 10．（22-23高二上·新疆·期中）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. (1)求直线的方程； (2)若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设直线方程为，代入所过点坐标求得参数值； （2）求出线段的垂直平分线方程，由此方程与直线方程联立方程组可求得圆心坐标，再计算出半径后可得标准方程． 【详解】（1）设直线， 将点代入可得， 所以直线的方程为. （2）设原点为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为2， 线段的中点坐标为，线段的垂直平分线方程为，即. 联立，解得所以圆的圆心坐标为. 圆的半径. 故圆的标准方程为. 11．（22-23高二上·全国·课后作业）已知圆C的半径为，圆心在直线上，且过点，求圆C的标准方程. 【答案】或 【分析】设出圆心坐标，代入点，求出圆心，得到标准方程. 【详解】因为圆心在直线上，， 所以设圆心为. 所以圆C的标准方程为. 因为圆C过点， 所以. 解得或-1. 所以圆心C的坐标是或. 所以所求圆C的标准方程是或. 12．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)． (1)若点M(6,9)在圆N上，求半径a； (2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围． 解　(1)∵点M(6,9)在圆N上， ∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10. 又a>0.∴a＝. (2)由已知，得圆心N(5,6)． ∵|PN|＝＝， |QN|＝＝3， ∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， ∴a的取值范围是3<a<，即a∈(3，)． 13．已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求 (1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程； (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程． 解　(1)当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小． 即AB的中点(0,1)为圆心，半径r＝|AB|＝， 则圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)方法一　AB的斜率k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0， 又圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3,2)， r＝|AC|＝＝2， 故所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 方法二　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则⇒ 故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）圆心为，半径为2的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆的标准方程进行判断即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为2， 所以圆的方程为. 故选：A. 2．（23-24高二上·四川达州·期末）已知的圆心C在x轴上，且与x轴相交于坐标原点O和，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件可确定圆心和半径，写出圆的标准方程即可. 【详解】由已知圆心坐标为，半径为1， 所以圆的方程为. 故选：. 3．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知圆心为点，且过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点间的距离公式求出圆的半径，从而可求出圆的方程. 【详解】由题意得圆的半径为， 则圆的方程为. 故选：A. 4．（2023高二上·江苏·专题练习）已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 【答案】C 【分析】由点到圆心的距离和圆的半径比较大小即可得解. 【详解】∵， ∴点P在圆外. 故选：C． 二、多选题 5．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用勾股定理求出的长，从而确定圆心的坐标，写出圆的方程即可. 【详解】由题意设，，所以， 在中， 如图所示，有两种情况：    故圆心C的坐标为或， 故所求圆的标准方程为 故选：AB. 6．（23-24高二上·福建福州·期中）圆与轴相切，且经过两点，则圆可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆的圆心为，则半径.根据已知可得，代入坐标化简得出.，整理可得，.联立即可得出圆心以及半径，进而得出答案. 【详解】设圆的圆心为，则半径. 又点，在圆上， 所以有， 即， 整理可得，. 又，即， 整理可得，. 联立可得，或， 所以，圆心坐标为或. 当圆心坐标为时，，圆的方程为； 当圆心坐标为时，，圆的方程为. 综上所述，圆的方程为或. 故选：BC. 三、填空题 7．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是 . 【答案】 【分析】根据中点坐标公式求得圆心坐标，结合两点之间的距离公式即可求得半径，则问题得解. 【详解】根据题意，，即圆心坐标为； 则圆的半径， 故所求圆的方程为：. 故答案为：. 8．（2023高二上·全国·专题练习）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程. 【详解】圆经过点和，，AB中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程是． 联立方程组，解得． 所以，圆心坐标为，半径， 所以，此圆的标准方程是． 故答案为：. 9．已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为________． 答案　－4 解析　∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点， ∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5. ∵y∈[－1,1]， ∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4. 四、解答题 10．（23-24高二上·上海·期末）已知圆经过原点且与轴相切，与轴正半轴交于点.求圆的方程； 【答案】 【分析】由已知条件确定圆心坐标和半径，可求圆的方程； 【详解】圆经过原点且与轴相切，则切点为原点，圆心在轴上， 又圆与轴正半轴交于点，则圆心，圆的半径为2， 所以圆的方程为. 11．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知两点，直线． (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易知直线的斜率为2，再根据结合直线经过点求解； （2）方法一：求得的中垂线方程，再由圆心C在直线l上，由求得圆心即可；方法二：根据圆C的圆心在直线l上，可设圆心C的坐标为，半径为r，再由P，Q两点在圆C上，代入圆的方程求解. 【详解】（1）解：直线的斜率为2， 设直线的斜率为k，由，得，解得， 又直线经过点， 所以直线的方程为，即． （2）方法一：，所以的中垂线的斜率为， 又的中点为，所以的中垂线的方程为，即． 因为两点在圆C上，所以圆心C在的中垂线上， 又圆心C在直线l上，由得即圆心C的坐标为， 又圆C的半径， 所以圆C的方程为． 方法二：因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心C的坐标为，半径为r， 所以圆C的方程为， 又P，Q两点在圆C上， 所以，解得 所以圆C的方程为． 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高二上·天津和平·阶段练习）已知圆C：，则点在（    ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．以上情况均有可能 【答案】A 【分析】根据点的坐标和圆的方程列式，从而确定正确答案. 【详解】根据题意，圆C：，点， 则有，故点P在圆外. 故选：A 二、多选题 2．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）若有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 【答案】AB 【分析】根据圆的标准方程和性质逐项判断求解； 【详解】选项A: ，，故选项正确； 选项B: 根据可得，圆心为，在，故选项正确； 选项C: 当时，，代入不满足方程，故选项错误； 选项D:代入 得：即有两个解，故选项错误； 故选：AB. 三、填空题 3．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知圆的方程，圆与圆是同心圆且过点，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】求出圆心坐标，再求出圆的半径即可. 【详解】依题意，圆的圆心，则半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 四、解答题 4．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的标准方程． 解　设圆心为(a，b)，半径长为r， 依题意，得 消去r，得2b2－a2＝1，① 圆心到直线l的距离d＝. 设a－2b＝k，则a＝2b＋k，代入①式， 整理得2b2＋4kb＋k2＋1＝0. 由Δ＝8(k2－1)≥0，解得|k|≥1， 当|k|＝1时，dmin＝. 当k＝1时，a＝b＝－1，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2； 当k＝－1时，a＝b＝1，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线，直线l过点且与垂直. (1)求直线l的方程； (2)设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程. 【答案】(1)； (2)（或）； 【分析】（1）利用直线垂直可求得斜率为，由点斜式方程可得结果； （2）分别求出两直线交点坐标，设出圆的一般方程代入计算即可求得圆的方程. 【详解】（1）由题意可得的斜率为， 可得直线l的斜率为，由点斜式方程可得， 即直线； （2）联立直线l和方程，解得； 联立直线l和方程，解得； 如下图所示： 设过三点A，B，O的圆的方程为， 将三点坐标代入可得，解得， 可得圆的方程为（或） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$