特训02 2.1-2.4 圆及其有关性质（中考模拟仿真）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训02 2.1-2.4 圆及其有关性质（中考模拟仿真） 一、单选题 1．（2023·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若的半径是10，圆心O的坐标是，点M的坐标是，则点 M 与的位置关系是（      ） A．点M 在内 B．点M在上 C．点M在外 D．无法确定 2．（2023·江苏盐城·模拟预测）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·江苏常州·一模）如图，是城市雨水排水管道的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 5．（2024·江苏苏州·一模）如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 6．（2023·江苏宿迁·二模）如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（   ）    A． B． C． D． 7．（2024·江苏无锡·二模）如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（2021·江苏苏州·二模）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　　）    A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3 二、填空题 9．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知在中，，，则的外接圆的半径是 ． 10．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，、、是上的点，，垂足为点，若，，则线段的长为 ． 11．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，是弦，点D在优弧上，，则 ． 12．（2024·江苏南京·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 °．    13．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 14．（2024·江苏扬州·二模）点、、都在上，，，则的度数是 °． 15．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则 ． 16．（2022·江苏扬州·一模）如图，弦CD在以AB为直径的半圆上滑动，M是CD的中点，于点E，若弦CD始终保持与半径相等，则 ． 三、解答题 17．（18-19九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，BE＝CD＝16，试求⊙O的半径． 18．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数． 19．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 20．（2022·江苏徐州·二模）如图，在中，，以AC为直径作⊙O分别交AB、BC于点D、E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接AF． (1)求证：； (2)若，求AF的长． 21．（2022·江苏泰州·一模）如图，已知点A，B，C均在上，点D是AC的中点． (1)请仅用无刻度的直尺画出的平分线BE交于点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，半径为3，求弧EC的长． 22．（2024·江苏无锡·三模）如图，已知（）， (1)尺规作图：请在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点N，使得：将沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在边上的点D处，且．（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则的外接圆与重叠部分的面积为____________（如需画草图，请使用试题中的图2） 23．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，以为直径的经过的顶点C，分别平分和，的延长线交于点D，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)若，，求的长． 24．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图1，中，，是外接圆上一点，连接，过点B作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若为直径，，，求的长． 25．（2023·江苏南京·二模）已知在中，，点平分平分，过点的⊙分别交于点．    (1)求的度数； (2)连接，求证：是等边三角形； (3)若，则⊙的半径______________． 26．（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥 问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计． “型” （1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为　　； “型” （2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值； “型” （3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为　　． 27．（2024·江苏盐城·三模）内接于，过点作于点，延长交于点连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，连接，若，试说明线段与的差为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训02 2.1-2.4 圆及其有关性质（中考模拟仿真） 一、单选题 1．（2023·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若的半径是10，圆心O的坐标是，点M的坐标是，则点 M 与的位置关系是（      ） A．点M 在内 B．点M在上 C．点M在外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查点和圆的位置关系，根据M点坐标和勾股定理可计算出的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断即可解题． 【解析】解：∵， ∴点M在上， 故选B 2．（2023·江苏盐城·模拟预测）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识， 根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断． 【解析】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； （5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确； 故选：B． 3．（2024·江苏常州·一模）如图，是城市雨水排水管道的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，熟练掌握勾股定理及垂径定理是本题的关键． 过点作的垂线，交于点，交于点，连接，根据已知条件求出的长度，在中利用勾股定理求出的长度，再根据垂径定理求出的长度即可． 【解析】解：过点作的垂线，交于点，交于点，连接， 由题意得，    ∵，经过圆心， ∴， ， ， ， ， ． 故选：D． 4．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【解析】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 5．（2024·江苏苏州·一模）如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，先根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可．解题关键是掌握弧长公式． 【解析】解：， ， 的半径是2， 劣弧的长是． 故选：B． 6．（2023·江苏宿迁·二模）如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和圆的内接四边形性质，根据题意列出关系式化简即可． 【解析】解：在中，，在中，， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴，， 则 ， 故选：C． 7．（2024·江苏无锡·二模）如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【解析】∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．（2021·江苏苏州·二模）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　　）    A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3 【答案】B 【分析】如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题． 【解析】解：如图，连接BO′、BC．    ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5， ∴，O′E＝2， 在Rt△BCO′中，， ∵O′E+BE≥O′B， ∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是在以AC为直径的圆上运动，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题 9．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知在中，，，则的外接圆的半径是 ． 【答案】 【分析】通过作辅助线，可将求外接圆的半径转化为求的斜边长，再利用等腰三角形的性质即可． 【解析】解：如图，作，垂足为D，则O一定在上， ∴， 设， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查等腰三角形外接圆半径的求法，正确利用勾股定理以及等腰三角形的性质是解题关键． 10．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，、、是上的点，，垂足为点，若，，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理先根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可． 【解析】解：， ， 在中，， ． 故答案为：． 11．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，是弦，点D在优弧上，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，正确记忆利用圆周角定理是解题的关键． 连接，由圆周角定理可知，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【解析】连接，如图 ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为： 12．（2024·江苏南京·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 °．    【答案】15 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案． 【解析】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：15． 13．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用． 根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解． 【解析】∵ ∴， ∴， ∴， ∴弧度数等于． 故答案为：． 14．（2024·江苏扬州·二模）点、、都在上，，，则的度数是 °． 【答案】10 【分析】根据圆周角定理的求出，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可．本题考查的是圆周角定理的应用，熟记在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半． 【解析】解：∵ ∴， ， ， ， ， 故答案为：10． 15．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解，掌握内心的定义是解题的关键． 【解析】连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴， 故答案为：35． 16．（2022·江苏扬州·一模）如图，弦CD在以AB为直径的半圆上滑动，M是CD的中点，于点E，若弦CD始终保持与半径相等，则 ． 【答案】/30度 【分析】利用垂径定理先证明，，，四点共圆，且为圆的直径，为圆上的一条弦，在中，，得到，利用同弧所对的圆周角相等即可求解． 【解析】解：连接，， ∵M是CD的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，四点共圆，且为圆的直径，为圆上的一条弦， ∴， ∵M是CD的中点，， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了圆的有关知识的运用，证得，，，四点共圆，且为圆的直径，为圆上的一条弦是解题的关键． 三、解答题 17．（18-19九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，BE＝CD＝16，试求⊙O的半径． 【答案】10 【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理列式计算． 【解析】解：连接OD，设OB＝OD＝R，则OE＝16﹣R， ∵直径AB⊥CD，CD＝16， ∴∠OED＝90°，DE＝CD＝8， 由勾股定理得：OD2＝OE2+DE2 则R2＝（16﹣R）2+82 解得：R＝10， ∴⊙O的半径为10． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 18．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键． 连接，利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及等量代换得到，由三角形外角性质可得，进而求解即可． 【解析】如图，连接 ． ∵，， ∴， ∴， ∴． 又∵ ， ∴， ∴ ∴， ∴． 19．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【解析】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接    ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 20．（2022·江苏徐州·二模）如图，在中，，以AC为直径作⊙O分别交AB、BC于点D、E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接AF． (1)求证：； (2)若，求AF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，根据等边对等角即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，连接，根据直径所对的圆周角是直角，根据等腰三角形的性质可得，根据平行四边形的性质即可求得的长． 【解析】（1）， ， ， ， ， （2）， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 连接， 是直径， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 21．（2022·江苏泰州·一模）如图，已知点A，B，C均在上，点D是AC的中点． (1)请仅用无刻度的直尺画出的平分线BE交于点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，半径为3，求弧EC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长OD交⊙O于E，再连接BE，利用垂径定理得到，则根据圆周角定理得到BE平分∠ABC； （2）利用角平分线得到，再根据圆周角定理得到，然后利用弧长公式计算弧EC的长度． 【解析】（1）连接OD，交⊙O于点E，连接BE， 则BE就是我们所要作的图形． （2）∵BE平分∠ABC， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理和圆周角定理． 22．（2024·江苏无锡·三模）如图，已知（）， (1)尺规作图：请在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点N，使得：将沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在边上的点D处，且．（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则的外接圆与重叠部分的面积为____________（如需画草图，请使用试题中的图2） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）作过点B作直线，交的延长线于点E，作的平分线，交于点N，过点N作的垂线m，垂足为D，直线即为求作的线段，点D即为所求作的点； （2）先证明，根据外接圆知识得到的外接圆直径为，连接，作，垂足为F，求出，，，进而求出，根据勾股定理求出，即可求出的外接圆与重叠部分的面积为． 【解析】（1）解：如图，①作过点B作直线，交的延长线于点E， ②作的平分线，交于点N， ③过点N作的垂线m，垂足为D， 直线即为求作的线段，点D即为所求作的点； 证明：由作图得为的平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴和关于直线对称； （2）解：如图2，由题意得， ∴， ∵， ∴的外接圆直径为， 连接，作，垂足为F， ∵， ∴，， ∴ ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴的外接圆与重叠部分的面积为． 故答案为： 【点睛】本题考查了尺规作图-过一点作已知直线的垂线、作已知角的角平分线，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，扇形面积求法，勾股定理，直角三角形性质等知识，综合性强，理解相关知识并灵活应用是解题关键． 23．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，以为直径的经过的顶点C，分别平分和，的延长线交于点D，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)若，，求的长． 【答案】(1)为等腰直角三角形．证明见解析 (2) 【分析】（1）由为直径，可得，则，由分别平分和，可得，，由三角形外角的性质可得，则，进而可证为等腰直角三角形； （2）如图，连接交于点F．由同弧所对的圆周角相等，角平分线可得，．．则垂直平分．设，则．由勾股定理得，，，即，计算求解，然后作答即可． 【解析】（1）解：为等腰直角三角形，证明如下： ∵为直径， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：如图，连接、、，交于点F． 由同弧所对的圆周角相等，角平分线可得，． ∴． ∵． ∴垂直平分，则． ∵是等腰直角三角形，， ∴， 设，则． 由勾股定理得，，， ∴， 解得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂直平分线的判定，勾股定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理是解题的关键． 24．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图1，中，，是外接圆上一点，连接，过点B作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若为直径，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，圆内接四边形的性质等等： （1）利用平行线的性质，等弧对相等的圆周角，证得即可； （2）连接，，利用平行线的性质证得，再利用圆的内接四边形的性质证得，得到，再利用圆周角定理得到，最后在中即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，，如图所示， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴。 25．（2023·江苏南京·二模）已知在中，，点平分平分，过点的⊙分别交于点．    (1)求的度数； (2)连接，求证：是等边三角形； (3)若，则⊙的半径______________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和定理得到，由（）知，推出是等边三角形，根据圆内接四边形对角互补得出，即可得到结论； （3）连接，，根据圆周角定理得到是的直径，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，求得，设根据勾股定理即可得到结论． 【解析】（1）解：在中，，点平分， ， ， 平分， ， ； （2）证明：连接，      在中，， ， 由（1）知， 是等边三角形， ， ， 又 是等边三角形． （3）解：如图所示，连接，，    ， 是的直径， ， 由（）知，， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，   ， 设， ， ， ， 解得： ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 26．（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥 问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计． “型” （1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为　　； “型” （2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值； “型” （3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为　　． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意得出，，即可得出结论； （2）连接，过点作于点，根据度的圆周角所对的弦是直径及勾股定理得，继而得到，再根据，得到，即可得出结论； （3）如图，过点作于点，延长交于点，连接，设，，得到，由垂径定理得，根据勾股定理得，即，由一元二次方程根的判别式得，继而得到，则，可得结论． 【解析】解：（1）∵点，，，在半径为的上， ∴，， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （2）连接，过点作于点， ∵，的半径为， ∴， ∴， ∵， 即当时，的面积取得最大值， ∴，即， ∴， ∴的最大值为； （3）如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点，连接，，设，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，当点与点重合时，取“”， ∵， ， ∴， ∵，即， 整理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴ ， ∴的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了弦与直径的关系，度的圆周角所对的弦是直径，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． 27．（2024·江苏盐城·三模）内接于，过点作于点，延长交于点连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，连接，若，试说明线段与的差为定值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据垂径定理即可得到结论； （2）如图2，首先求出的度数，运用圆周角定理即可解决问题； （3）如图3，作辅助线，首先证明，得到，，进而判断为的中位线，即可解决问题． 【解析】（1）证明：于点， ， ； （2）解：如图2，连接、， ，， ，而， ∴ ， ； （3）解：如图3，分别延长、，交于点； 平分， ； 在与中， ， ， ， ， ， 为的中位线， ， ． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识．正确作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$