第29讲 三角恒等变换（思维导图+5知识点+10考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第29讲 三角恒等变换 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，会进行简单的三角函数的化简求值计算； 2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 3．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换. 知识点 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦： : : 2、两角和与差的余弦： : : 3、两角和与差的正切： :. :. 注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②公式的变形：． 知识点 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角公式： （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 2、二倍角公式的变形及应用 （1）倍角公式的逆用： ；；． ：；；． （2）降幂（扩角）公式：；； ；． 知识点 3 积化和差与和差化积 1、积化和差 2、和差化积 知识点 4 辅助角公式 1、辅助角公式：（其中） 实质上是将同角的正弦值和余弦值与常数积的和变形为一个三角函数，当式子化简为同角不同名三角函数相加减时，通常利用辅助角公式化为正弦型． 2、辅助角公式的推导 = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角终边所在的象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定． 3、常见辅助角结论 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点 5 解题技巧 1、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧：，， ，等． 2、三角函数给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 考点一：两角和与差的余弦公式 例1.（23-24高一下·北京·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，，所以. 则.故选：B. 【变式1-1】（23-24高一下·江西南昌·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选：B． 【变式1-2】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A 【变式1-3】（22-23高一下·广东佛山·月考）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 平方相加可得， 求得，即．故选：C． 考点二：两角和与差的正弦公式 例2.（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以， 又，，所以， 所以.故选：B 【变式2-1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ， ，故选：D. 【变式2-2】（23-24高一下·四川眉山·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选：A. 【变式2-3】（23-24高一下·江西萍乡·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故选：D 考点三：两角和与差的正切公式 例3. （23-24高一下·云南昆明·期末）已知，，则（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以，， 则.故选：D. 【变式3-1】（23-24高一下·江苏南通·月考）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故选：D. 【变式3-2】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ,故选：C 【变式3-3】（22-23高一下·福建莆田·月考）（，），则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【解析】因为， 所以. 所以. 所以 .故选：A. 考点四：二倍角公式及应用 例4. （23-24高一下·江苏·月考） 下列各式中，值为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，有，故A错误； 对于B，有，故B错误； 对于C，有，故C错误； 对于D，有，故D正确.故选：D. 【变式4-1】（23-24高一下·广东潮州·月考）已知角为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角为第二象限角且，所以， .故选：B 【变式4-2】（23-24高一下·河南南阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 则，故选：C. 【变式4-3】（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：.故选：B. 考点五：积化和差与和差化积公式 例5. （23-24高三下·河南·月考）若 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一： 因为，所以， 即， 即，即，即. 法二：.故选：D. 【变式5-1】（23-24高一下·山东临沂·月考）函数的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据和差化积公式化简，利用正弦函数的值域即可得解. 【解析】因为， 所以的最大值为1.故选：B 【变式5-2】（23-24高三下·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以.故选：D. 【变式5-3】（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由和差化积公式，得， ， 两式相除，所以. 所以.故选：B． 考点六：辅助角公式的运用 例6. （23-24高一下·上海·月考）若，则 . 【答案】 【解析】，则. 故答案为： 【变式6-1】（22-23高一下·海南·期中）化简： ． 【答案】 【解析】. 故答案为：. 【变式6-2】（23-24高一下·四川眉山·月考）函数的图象的最小正周期是（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】， 所以最小正周期为，故选：A. 【变式6-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】, 由待定系数法可得， 所以，故选：D 考点七：给值求值问题 例7. （23-24高一下·山东临沂·开学考试）已知则  的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 所以，，故选：B 【变式7-1】（23-24高一上·浙江杭州·开学考试）设，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因为， ，且， 又，得. 因为，则， 又，所以， ，.故选：A. 【变式7-2】（23-24高二上·江苏淮安·开学考试）若，，并且，均为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，均为锐角，且，则为锐角， 由，得， ，则为锐角，， 则 .故选：D 【变式7-3】（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，，则 ． 【答案】 【解析】因为，，所以， ，，则， 所以. 故答案为： 考点八：给值求角问题 例8. （22-23高一下·江苏苏州·月考）已知，均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，， ，所以.故选：C. 【变式8-1】（23-24高一下·江苏南京·月考）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，又因为， 所以， 所以 ，则， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以 ，所以，故C正确.故选：C. 【变式8-2】若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，.故选：B. 【变式8-3】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】因为所以则 所以 则， 因为，所以， 又则， 所以 故 因为所以则.故选：A. 考点九：三角形中的三角恒等变换 例9. （23-24高一下·天津南开·期中）在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】因为，即， 所以， 所以，即， 所以或（舍），即. 所以一定是等腰三角形.故选：B 【变式9-1】（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 【答案】B 【解析】因为，所以，则， 又因为，所以或， 若，则，与三角形内角和定理相矛盾， 所以，则， 所以，故选：B 【变式9-2】（23-24高一下·湖北武汉·月考）已知的内角分别为，若，，则 ． 【答案】 【解析】因为， 又，即， 即，解得，， 所以. 故答案为： 【变式9-3】（23-24高一下·四川内江·月考）在中，，，则C的大小是 ． 【答案】/ 【解析】由，， 两式平方和得， 即，因而． 在中，，且，因而或， 又化为， 所以，则，故． 故答案为： 考点十：三角恒等变换化简证明 例10. （23-24高一下·广东湛江·月考）（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为， 且， 可得， 所以 .故选：C． 【变式10-1】化简下列式子： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【解析】（1） . （2） . 【变式10-2】（23-24高一下·甘肃天水·期中）求证：． 【答案】证明见解析 【解析】，证毕. 【变式10-3】（23-24高一下·陕西汉中·月考）求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明： 所以原等式成立． 一、单选题 1．（23-24高一下·山东临沂·月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 所以，故选：A． 2．（23-24高一上·四川雅安·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 3．（23-24高一下·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得，解得， 又由.故选：A. 4．（23-24高一下·北京门头沟·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以.故选：D 5．（23-24高一下·四川资阳·月考）已知都是锐角，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】、为锐角， ， ， 由于为锐角，.故选：C 6．（23-24高二上·四川成都·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，故选：C 二、多选题 7．（23-24高一下·江苏徐州·月考）下列化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项， ，D正确.故选：BCD. 8．（23-24高一下·江西·月考）下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由和差化积公式， 得，故A错误； 根据半角公式，得，故B正确； 由积化和差公式， 得，故C正确； 当时，等式左边有意义，右边无意义，故D错误.故选：BC. 三、填空题 9．（23-24高一下·海南·月考）函数的最大值为 . 【答案】 【解析】因为函数，其中， 所以函数的最大值为， 故答案为： 10．（23-24高一下·广东佛山·月考）在中，若，则的值是 ． 【答案】/ 【解析】由，得，即， 又，所以，则，所以. 故答案为： 11．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若函数的最大值为，则常数φ的值为 ． 【答案】 【解析】 ，其中， 又函数的最大值为， 所以，整理得， 又，所以. 故答案为：. 四、解答题 12．（22-23高一下·甘肃甘南·期中）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）； （2）. 13．（23-24高一下·广东佛山·月考）已知． (1)求和的值; (2)求的值． 【答案】(1)，；(2). 【解析】（1），故，则，， 由可得；由可得， 两式相加可得，故； . （2）由（1）知，， 又，故，； ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第29讲 三角恒等变换 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，会进行简单的三角函数的化简求值计算； 2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 3．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换. 知识点 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦： : : 2、两角和与差的余弦： : : 3、两角和与差的正切： :. :. 注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②公式的变形：． 知识点 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角公式： （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 2、二倍角公式的变形及应用 （1）倍角公式的逆用： ；；． ：；；． （2）降幂（扩角）公式：；； ；． 知识点 3 积化和差与和差化积 1、积化和差 2、和差化积 知识点 4 辅助角公式 1、辅助角公式：（其中） 实质上是将同角的正弦值和余弦值与常数积的和变形为一个三角函数，当式子化简为同角不同名三角函数相加减时，通常利用辅助角公式化为正弦型． 2、辅助角公式的推导 = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角终边所在的象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定． 3、常见辅助角结论 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点 5 解题技巧 1、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧：，， ，等． 2、三角函数给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 考点一：两角和与差的余弦公式 例1.（23-24高一下·北京·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·江西南昌·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（22-23高一下·广东佛山·月考）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点二：两角和与差的正弦公式 例2.（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·四川眉山·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·江西萍乡·期末）（    ） A． B． C． D． 考点三：两角和与差的正切公式 例3. （23-24高一下·云南昆明·期末）已知，，则（    ） A． B． C．7 D． 【变式3-1】（23-24高一下·江苏南通·月考）化简：（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23高一下·福建莆田·月考）（，），则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 考点四：二倍角公式及应用 例4. （23-24高一下·江苏·月考） 下列各式中，值为的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一下·广东潮州·月考）已知角为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·河南南阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点五：积化和差与和差化积公式 例5. （23-24高三下·河南·月考）若 则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·山东临沂·月考）函数的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式5-2】（23-24高三下·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点六：辅助角公式的运用 例6. （23-24高一下·上海·月考）若，则 . 【变式6-1】（22-23高一下·海南·期中）化简： ． 【变式6-2】（23-24高一下·四川眉山·月考）函数的图象的最小正周期是（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式6-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点七：给值求值问题 例7. （23-24高一下·山东临沂·开学考试）已知则  的值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·浙江杭州·开学考试）设，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高二上·江苏淮安·开学考试）若，，并且，均为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，，则 ． 考点八：给值求角问题 例8. （22-23高一下·江苏苏州·月考）已知，均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高一下·江苏南京·月考）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 考点九：三角形中的三角恒等变换 例9. （23-24高一下·天津南开·期中）在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【变式9-1】（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 【变式9-2】（23-24高一下·湖北武汉·月考）已知的内角分别为，若，，则 ． 【变式9-3】（23-24高一下·四川内江·月考）在中，，，则C的大小是 ． 考点十：三角恒等变换化简证明 例10. （23-24高一下·广东湛江·月考）（    ） A．1 B． C． D．2 【变式10-1】化简下列式子： (1) (2) 【变式10-2】（23-24高一下·甘肃天水·期中）求证：． 【变式10-3】（23-24高一下·陕西汉中·月考）求证：. 一、单选题 1．（23-24高一下·山东临沂·月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川雅安·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京门头沟·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·四川资阳·月考）已知都是锐角，，则为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·四川成都·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·江苏徐州·月考）下列化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江西·月考）下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高一下·海南·月考）函数的最大值为 . 10．（23-24高一下·广东佛山·月考）在中，若，则的值是 ． 11．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若函数的最大值为，则常数φ的值为 ． 四、解答题 12．（22-23高一下·甘肃甘南·期中）求证： (1)； (2)． 13．（23-24高一下·广东佛山·月考）已知． (1)求和的值; (2)求的值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$