第28讲 正切函数的性质与图象（思维导图+3知识点+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第28讲 正切函数的性质与图象 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tanx的图象； 2．掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性； 3．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题. 知识点 1 正切函数的图象与性质 1、定义域：， 2、值域：R 3、周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：正切函数是奇函数，即． 5、单调性：在开区间内，函数单调递增 知识点 2 正切型函数 形如的函数叫做正切型函数. 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2、值域： 3、最小正周期： 4、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围． 知识点 3 解题技巧 1、求正切型函数的定义域注意事项 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即。而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解，解形如的不等式的步骤如下： （1）作图象：作在上的正切函数图象； （2）求界点：求在上使成立的值； （3）求范围：求上使成立的范围； （4）定义域：根据正切函数的周期性，写出定义域。 2、求函数（都是常数）的单调区间的方法 （1）若，由于在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令，解得的范围即可； （2）若，可利用诱导公式先把转化为，即先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可。 考点一：正切型函数的定义域 例1．（22-23高一下·内蒙古包头·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得：，解得， 函数的定义域为.故选：A. 【变式1-1】函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或且 【答案】C 【解析】由已知可得且， 解得且， 所以函数的定义域是.故选：C. 【变式1-2】（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】由题意可知，，，所以.故答案为： 【变式1-3】（23-24高三上·河南新乡·月考）函数的定义域为 .（用区间表示结果） 【答案】 【解析】要使函数有意义， 只需，所以，， 即，， 所以或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 考点二：正切型函数的最值或值域 例2. （23-24高一上·宁夏银川·期末）函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由正切函数的单调性可知，在上为单调递增， 所以其最小值为.故选：D 【变式2-1】（23-24高一下·江西·月考）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】故选：C. 【变式2-2】（23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【解析】当时，， ， 当时，；当时，； ，的值域为. 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知为钝角，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】为钝角, , ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 考点三：正切型函数的周期性 例3.（23-24高一下·山东济宁·期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】易知，则其最小正周期为.故选：C 【变式3-1】（23-24高一上·河南开封·期末）函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】因为（）的最小正周期为， 所以的最小正周期，解得.故选：A. 【变式3-2】（23-24高一下·河南驻马店·月考）函数的最小正周期是 . 【答案】/ 【解析】由正切函数的图象与性质知：与的最小周期均为， 与的图象如图所示， 所以函数与最小正周期也一样， 函数的最小正周期是， 的最小正周期也是． 故答案为：. 【变式3-3】（23-24高一下·江西赣州·月考）若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【解析】由题意知的最小正周期为， 且， 故 ，故选：C 考点四：正切型函数的奇偶性 例4.（22-23高一下·四川广元·月考）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以不是偶函数，故选项A错误； 因为，所以， 所以为偶函数，故选项B正确； 因为，所以， 所以不是偶函数，故选项C错误； 因为，所以， 所以不是偶函数，故选项D错误.故选：B 【变式4-1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 【答案】(1)既不是偶函数，也不是奇函数；(2)奇函数 【解析】（1）由得的定义域为且， 由于的定义域不关于原点对称，所以函数既不是偶函数，也不是奇函数； （2）由题知函数的定义域为且，定义域关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数. 【变式4-2】（23-24高三下·广东广州·三调）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若0在定义域内，由时，得，； 若0不在定义域内，由时，无意义，得． 综上，．故选：C． 【变式4-3】（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若，则（    ） A．5 B．3 C．1 D．0 【答案】A 【解析】设， 因为，所以函数是奇函数， 因此，故选：A 考点五：正切型函数的对称性 例5.（23-24高一下·河南驻马店·月考）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，解得， 故函数的对称中心为，故AB错误； 当时，，故对称中心为，D正确， 经检验，C不满足要求.故选：D 【变式5-1】（22-23高一上·浙江杭州·期中）下列坐标所表示的点不是函数的图像的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意在中， 令，解得， 当时，，∴函数的一个对称中心是，A正确. 当时，，∴函数的一个对称中心是，D正确. 当时，，∴函数的一个对称中心是，C正确.故选：B. 【变式5-2】（23-24高一下·辽宁大连·月考）若函数的最小正周期为1，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故， 当时，， 令，解得， 当时，， 令，解得， 故函数图象的对称中心为.故选：B. 【变式5-3】（23-24高一上·河北保定·期末）“”是“函数的图象关于原点中心对称”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，， 则其图象关于原点对称，故充分性成立， 当函数的图象关于原点中心对称时， 则，不一定成立，则必要性不成立， 则“”是“函数的图象关于原点中心对称”的充分不必要条件，故选：B. 考点六：正切型函数的单调性 例6.（22-23高一下·四川凉山·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得， 所以函数的单调递增区间为.故选：C 【变式6-1】函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为.故选：D. 【变式6-2】（22-23高一上·福建漳州·期末）函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得， 所以函数的单调区间是.故选：A. 【变式6-3】（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得， 故且，解得，故选：C 考点七：比较正切函数值的大小 例7.下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A中，由，且，由正切函数性质， 可得，且， 所以，所以，所以A不正确； 对于B中，由， 由正切函数单调性可得，即，所以B错误； 对于C中，由正切函数在上为单调递增函数， 因为，所以，所以C正确； 对于D中，由，由正切函数的单调性，可得， 即，所以D错误.故选：C. 【变式7-1】（23-24高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为函数在上单调递增，且， 所以，即.故选：D 【变式7-2】（22-23高一下·四川成都·月考）已知，不通过求值，判断下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 又 即故选：C 【变式7-3】（22-23高一下·辽宁沈阳·月考）（多选）下列不等关系成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】. AB选项，因为在上单调递增，所以. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以. 综上，，故A正确，B错误； CD选项，，则. 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以. 综上，，故D正确，C错误.故选：AD. 考点八：利用正切函数解不等式 例8.（22-23高一下·安徽阜阳·月考）满足的x的取值范围是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【解析】由，，故选：D 【变式8-1】（22-23高一下·四川成都·期中）已知角为斜三角形的内角，，则的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】角为斜三角形的内角，则， ，即，故.故选：D. 【变式8-2】（22-23高一下·贵州遵义·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【解析】由题意得，，得.故选：C 【变式8-3】（22-23高一下·贵州遵义·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】不等式的解集为. 由可得，解得， 不等式的解集为 故答案为： 一、单选题 1．（22-23高一下·广东佛山·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，解得，故选：A 2．（23-24高一上·贵州安顺·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的最小正周期为.故选：B 3．（23-24高一上·山西长治·期末）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，令，解得， 令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心.故选：B． 4．（23-24高一下·北京·期中）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于AC，函数，都是奇函数，A不是，C不是； 对于B，函数是偶函数，周期为，B不是； 对于D，函数是偶函数，周期为，D是.故选：D 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）下列直线中，与函数的图象不相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数中，，解得， 函数的定义域为， 显然，因此直线与函数的图象相交， 直线与函数的图象不相交，A不是，C是； 函数的值域为， 因此直线，与函数的图象都相交，BD不是.故选：C 6．（23-24高一下·广西钦州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，得，解得， 所以不等式的解集为.故选：A 二、多选题 7．（22-23高一下·浙江·期中）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A选项，， 因为正切函数在上为增函数，且， 所以，，即，A选项正确； 对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且， 所以，，B选项错误； 对于C选项，，， 因为余弦函数在为减函数，且， 所以，，即，C选项正确； 对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且， 所以，，D选项错误.故选：AC. 8．（23-24高一下·四川南充·月考）已知函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．为的一个对称中心 D．最小正周期为 【答案】BC 【解析】对于A ，，故A错误； 对于B，由得， 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以在上单调递增，故B正确； 对于C，把代入中，得， 所以为的一个对称中心，故C正确； 对于D，函数的最小正周期为，故D错误.故选：BC. 三、填空题 9．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】周期为，且在区间上为单调增函数， ，故，. 且，故的最小值为. 故答案为： 10．已知函数在内是减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵已知函数在内是减函数, ∴函数在内是单调增函数， ∴，解得，经检验，满足题意. ∴的取值范围是． 故答案为：. 11．（22-23高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 【答案】 【分析】代入计算得到，再计算，得到答案. 【解析】，故， . 故答案为： 四、解答题 12．（22-23高一下·安徽阜南·月考）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较与的大小． 【答案】(1)，单调递减区间为，；(2) 【解析】（1）函数， 所以最小正周期 由，，解得， 单调递减区间为，． （2）因为， 又，函数在上单调递减， 所以，即 13．（23-24高一下·河南南阳·月考）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）不等式，即，则， 从而， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，所以，所以， 所以，即. 设，则. 设函数，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得，又，所以，即不符合题意. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 又，所以. 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 又，所以. 综上，的取值范围是. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第28讲 正切函数的性质与图象 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tanx的图象； 2．掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性； 3．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题. 知识点 1 正切函数的图象与性质 1、定义域：， 2、值域：R 3、周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：正切函数是奇函数，即． 5、单调性：在开区间内，函数单调递增 知识点 2 正切型函数 形如的函数叫做正切型函数. 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2、值域： 3、最小正周期： 4、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围． 知识点 3 解题技巧 1、求正切型函数的定义域注意事项 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即。而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解，解形如的不等式的步骤如下： （1）作图象：作在上的正切函数图象； （2）求界点：求在上使成立的值； （3）求范围：求上使成立的范围； （4）定义域：根据正切函数的周期性，写出定义域。 2、求函数（都是常数）的单调区间的方法 （1）若，由于在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令，解得的范围即可； （2）若，可利用诱导公式先把转化为，即先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可。 考点一：正切型函数的定义域 例1．（22-23高一下·内蒙古包头·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或且 【变式1-2】（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 【变式1-3】（23-24高三上·河南新乡·月考）函数的定义域为 .（用区间表示结果） 考点二：正切型函数的最值或值域 例2. （23-24高一上·宁夏银川·期末）函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·江西·月考）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为 ． 【变式2-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知为钝角，则的最大值为 ． 考点三：正切型函数的周期性 例3.（23-24高一下·山东济宁·期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式3-1】（23-24高一上·河南开封·期末）函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式3-2】（23-24高一下·河南驻马店·月考）函数的最小正周期是 . 【变式3-3】（23-24高一下·江西赣州·月考）若，则（    ） A． B． C．0 D． 考点四：正切型函数的奇偶性 例4.（22-23高一下·四川广元·月考）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 【变式4-2】（23-24高三下·广东广州·三调）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若，则（    ） A．5 B．3 C．1 D．0 考点五：正切型函数的对称性 例5.（23-24高一下·河南驻马店·月考）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23高一上·浙江杭州·期中）下列坐标所表示的点不是函数的图像的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·辽宁大连·月考）若函数的最小正周期为1，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·河北保定·期末）“”是“函数的图象关于原点中心对称”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点六：正切型函数的单调性 例6.（22-23高一下·四川凉山·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（22-23高一上·福建漳州·期末）函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 考点七：比较正切函数值的大小 例7.下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（22-23高一下·四川成都·月考）已知，不通过求值，判断下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（22-23高一下·辽宁沈阳·月考）（多选）下列不等关系成立的是（    ）． A． B． C． D． 考点八：利用正切函数解不等式 例8.（22-23高一下·安徽阜阳·月考）满足的x的取值范围是（    ） A． B． C．， D．， 【变式8-1】（22-23高一下·四川成都·期中）已知角为斜三角形的内角，，则的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（22-23高一下·贵州遵义·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．， D．， 【变式8-3】（22-23高一下·贵州遵义·期末）不等式的解集为 ． 一、单选题 1．（22-23高一下·广东佛山·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·贵州安顺·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山西长治·期末）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京·期中）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）下列直线中，与函数的图象不相交的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广西钦州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（22-23高一下·浙江·期中）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·四川南充·月考）已知函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．为的一个对称中心 D．最小正周期为 三、填空题 9．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若，且满足，则的最小值为 ． 10．已知函数在内是减函数，则的取值范围是 ． 11．（22-23高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 四、解答题 12．（22-23高一下·安徽阜南·月考）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较与的大小． 13．（23-24高一下·河南南阳·月考）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$