17.3一元二次方程根的判别式（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

17.3 一元二次方程根的判别式 知识点一 一元二次方程根的判别式 ★1. 一元二次方程根的判别式 将ax²+bx+c=0(a≠0)配方成(x+)2=后，可以看出，只有当b²-4ac≥0时，方程才有实数根，这样b²-4ac的值就决定着一元二次方程根的情况. 一般地，式子b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△=b²-4ac. ★2. 判别式△与一元二次方程根的情况 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示， 即Δ= b2－4ac. 判别式的情况 根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 温馨提示： 问：请问一元二次方程根的判别式的主要应用有哪些？ 答：①不解方程，判断根的情况； ②根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围 提示： (1) 应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式，然后确定a,b,c的值； (2) 此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论； (3) 当 b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根。 知识点二 探索一元二次方程的根与系数的关系 ★1. 方程的根与系数的关系 设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，. 注意：当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 ★2. 方程（a≠0）的根与系数的关系的推导 若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为， 由求根公式得（）， 令，. 由此可得+=+=， =·=. 所以，. 这一结论表明:此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）. 知识点三 以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1） 知识点四 与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 （1） 前提条件： （2） （3） （4） （5） （6） 题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 解题技巧提炼 应用判别式的两点注意：(1)判别式只适用于一元二次方程,不适用于其他方程； (2)注意隐含条件,即一元二次方程的二次项系数不为零. 1．（23-24八年级上·上海闵行·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能判断 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）已知m、n是两个实数，则方程（    ） A．有两个实数根 B．无实数根 C．一定有两个相等的实数根 D．一定有两个不相等的实数根 4．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根． 5．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围 解题技巧提炼 解决此类问题的关键是把字母看成已知常数，利用一元二次方程根的情况得到方程中各系数之间的关系式，同时注意“二次项系数不等于0”这一限制条件.. 6．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果方程有实数根，那么m的取值范围是（    ） A．且； B．且； C．； D．. 7．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是 ． 8．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是 ． 9．（23-24八年级上·上海金山·期末）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）如果关于x的一元二次方程无实数根，那么a的取值范围是 ． 11．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的方程没有实数根，那么 的取值范围是 ． 12．（23-24八年级上·上海青浦·期中）关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 13．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ． 14．（2024·上海嘉定·二模）关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 15．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 16．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 17．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围 ． 18．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数）． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)写出m的最大非正整数值，并求出此时方程的根． 题型三 根据一元二次方程根的情况求参数的值 解题技巧提炼 破题技巧 先根据一元二次方程实数根情况，结合根的判别式确定参数方程,解方程即可.当一元二次方程有特殊解时，先根据方程有实数解，结合根的判别式确定字母的取值范围，再根据方程的特殊解采用分类讨论的方法进一步确定字母的取值. 19．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的方程有两个实数根，那么m ． 20．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）等腰的一边长为5，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则m的值是 21．（23-24八年级上·上海松江·期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 22．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的一元二次方程，其根的判别式的值是1，求k的值． 23．（23-24八年级上·上海长宁·期中）已知关于x的一元二次方程的根的判别式为，求k的值和方程的根． 24．（23-24八年级上·上海金山·期中）已知关于x的一元二次方程方程（m为常数），如果方程根的判别式的值为1，请求出m的值以及方程的根． 25．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．并求此时方程的根． 26．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值； (2)当时，试判断方程根的情况． 27．（23-24八年级上·上海青浦·期中）等腰三角形的一边长为1，另两边的长是关于x的方程的两根，那么其周长是 ． 28．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及这时方程的根． 题型四 用一元二次方程根的判别式进行相关证明 解题技巧提炼 利用根的判别式证明等式的步骤 第1步:把方程看成关于某一字母的方程，并把它化为一般形式; 第2步:在一元二次方程的前提下计算并化简根的判别式; 第3步:对根的判别式△进行整理，得出相关的结论. 29．（23-24八年级下·北京·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为，求m的值． 30．（23-24九年级下·河南三门峡·期中）已知关于的方程. (1)当时，求方程的解； (2)证明：无论为何值，此方程总有解. 31．（23-24九年级上·广东河源·期中）证明：无论k取何值，关于x的方程恒有实数根 32．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根； (2)若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例． 题型五 新定义问题 解题技巧提炼 首先结合新定义，明白定义原理和运算法则，再结合一元二次方程根的判别式进行求解. 33．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 34．（23-24八年级上·上海静安·期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 35．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 36．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.3 一元二次方程根的判别式 知识点一 一元二次方程根的判别式 ★1. 一元二次方程根的判别式 将ax²+bx+c=0(a≠0)配方成(x+)2=后，可以看出，只有当b²-4ac≥0时，方程才有实数根，这样b²-4ac的值就决定着一元二次方程根的情况. 一般地，式子b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△=b²-4ac. ★2. 判别式△与一元二次方程根的情况 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示， 即Δ= b2－4ac. 判别式的情况 根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 温馨提示： 问：请问一元二次方程根的判别式的主要应用有哪些？ 答：①不解方程，判断根的情况； ②根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围 提示： (1) 应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式，然后确定a,b,c的值； (2) 此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论； (3) 当 b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根。 知识点二 探索一元二次方程的根与系数的关系 ★1. 方程的根与系数的关系 设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，. 注意：当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 ★2. 方程（a≠0）的根与系数的关系的推导 若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为， 由求根公式得（）， 令，. 由此可得+=+=， =·=. 所以，. 这一结论表明:一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）. 知识点三 以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1） 知识点四 与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 解题技巧提炼 应用判别式的两点注意：(1)判别式只适用于一元二次方程,不适用于其他方程； (2)注意隐含条件,即一元二次方程的二次项系数不为零. 1．（23-24八年级上·上海闵行·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了对根的判别式的理解和掌握，根据根的判别式进行推理是解答本题的关键． 求出根的判别式的值，根据结果判断它的正、负，根据根的判别式得到答案． 【详解】解：由已知得： 一元二次方程， ， 无论取何值，，即， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：． 2．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）已知m、n是两个实数，则方程（    ） A．有两个实数根 B．无实数根 C．一定有两个相等的实数根 D．一定有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】先计算，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴有两个实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握时一元二次方程有两个相等的实数根；时一元二次方程有两个不相等的实数根；时一元二次方程没有实数根． 4．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根． 【答案】有两个不相等的 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的． 5．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法．根据根的判别式对选项进行分析，即可求出答案． 【详解】解：A． ，将原方程变形为一般形式得， ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意． B． ， ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意． C． ∵， ∴原方程没有实数根，故本选项符合题意． D． ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围 解题技巧提炼 解决此类问题的关键是把字母看成已知常数，利用一元二次方程根的情况得到方程中各系数之间的关系式，同时注意“二次项系数不等于0”这一限制条件.. 6．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果方程有实数根，那么m的取值范围是（    ） A．且； B．且； C．； D．. 【答案】D 【分析】根据方程有实数根，分类讨论：当时，；当时，，分别进行求解即可． 【详解】解：∵方程有实数根， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴m的取值范围是， 故选：D． 7．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有根的情况求参数，以及解一元一次不等式组，利用根的判别式以及二次项系数不为0求解即可． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴，， 解得：且． 故答案为：且. 8．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得．同时考查了一元二次方程的定义． 由关于的一元二次方程有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式且，继而可求得的取值范围． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， ∵方程是一元二次方程， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 9．（23-24八年级上·上海金山·期末）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．据此列出不等式并求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， 解得． 故选：A． 10．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）如果关于x的一元二次方程无实数根，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式时方程有无实数根，可求得a的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程无实数根， 且， 解得：， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的方程没有实数根，那么 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·上海青浦·期中）关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用根的判别式的意义得到且，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 13．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的意义，根据根的情况，列式，解出m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵x的方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 故答案为： 14．（2024·上海嘉定·二模）关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，解不等式即可． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得， ∴k的取值范围为． 故选：B． 15．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故答案为：且． 16．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据且列式求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 17．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式求解即可；掌握当方程有两个不同的实数根是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，解得：且 故答案为：且． 18．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数）． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)写出m的最大非正整数值，并求出此时方程的根． 【答案】(1)且 (2)m的最大非正整数值是0； 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）根据题意结合（1）所求的m的取值范围，可确定的值，代入原方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 解得：且 （2）∵且 ∴m的最大非正整数值是． 当时，一元二次方程化为： ， 配方得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与其判别式的关系，解一元二次方程．掌握一元二次方程根的情况与其判别式的关系是解题的关键：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时,方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根． 题型三 根据一元二次方程根的情况求参数的值 解题技巧提炼 破题技巧 先根据一元二次方程实数根情况，结合根的判别式确定参数方程,解方程即可.当一元二次方程有特殊解时，先根据方程有实数解，结合根的判别式确定字母的取值范围，再根据方程的特殊解采用分类讨论的方法进一步确定字母的取值. 19．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的方程有两个实数根，那么m ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的概念和根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：关于x的方程有两个实数根， ∴，解得：且， 故答案为：且． 20．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）等腰的一边长为5，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则m的值是 【答案】64 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，等腰三角形的性质等知识点，结合一元二次方程的解和根的判别式，分已知边长5是底边和腰两种情况讨论即可．掌握分类讨论思想是解此题的关键． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， 则，得， 当底边长为5时，则另两边相等， ， ； 当腰长为5时，另两边中至少有一个是5， 则一定是方程的一个根，代入得：， 解得． ， 解得：，， 此时三角形的三边为：5，5，11； ， ∴此种情况不存在， 的值为64． 故答案为：64． 21．（23-24八年级上·上海松江·期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用根的判别式，建立关于m的方程求得m的值是解题的关键． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 22．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的一元二次方程，其根的判别式的值是1，求k的值． 【答案】8 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的情况求参数，由一元二次方程的，建立k的方程，求出k的解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程，其根的判别式的值是1， ， ， ∴或， ， ∴k的值为8． 23．（23-24八年级上·上海长宁·期中）已知关于x的一元二次方程的根的判别式为，求k的值和方程的根． 【答案】k的值为4，方程的根为， 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，二次根式有意义的条件，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的判别式，公式法解一元二次方程是解题的关键．由题意知，，，解得，，，计算求出满足要求的解即可；一元二次方程为，公式法求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， ， 整理得，， ， ∴或， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 解得，，， ∴k的值为4，方程的根为，． 24．（23-24八年级上·上海金山·期中）已知关于x的一元二次方程方程（m为常数），如果方程根的判别式的值为1，请求出m的值以及方程的根． 【答案】m的值为6，方程的根为和 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式，可列出关于m的一元二次方程及一元一次不等式，解之可得出m的值，再将m的值代入原方程，利用因式分解法解方程，即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程方程（m为常数）的根的判别式的值为1， ∴， 解得：， 将代入原方程得：， ∴， 解得：，， ∴m的值为6，方程的根为和． 25．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．并求此时方程的根． 【答案】，；当时，方程的根为，当时，方程的根为 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根可得，从而可求出k的值，然后将k的值代入原方程解方程即可求方程的根． 【详解】∵方程有两个相等的实数根， ∴ 解得：，， 当时，方程为， 解得：； 当时，方程为， 解得：． 26．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值； (2)当时，试判断方程根的情况． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)原方程没有实数解 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到，然后取一值，从而得到对应的值； （2）利用和的范围可判断，从而根据根的判别式的意义可判断根的情况； 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】（1）解：根据题意得， 即， 当时，（答案不唯一）； （2）∵ ∴， 即， ∴原方程没有实数解． 27．（23-24八年级上·上海青浦·期中）等腰三角形的一边长为1，另两边的长是关于x的方程的两根，那么其周长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握一边分别为腰长和底边两种情况，进行分类讨论是解题的关键． 分别讨论当1为底时，腰长为方程的两个相等的实数根，根据判别式的意义得出，解方程；当腰长为1，则为方程的一个根，求出k，转化一元二次方程，求出解，并根据三角形三边关系判断，即可得出三角形周长．， 【详解】当底边为1时，则腰长为方程的两个相等的根， ，解得， 方程转化为，解得： ∴1、3、3符合三角形三边关系， 当腰长为1时，则为方程的一个根， ，解得， 方程转化为，解得，， ， 1、1、5不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去， 三角形的周长为， 故答案为：7 28．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及这时方程的根． 【答案】时，或时， 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：或， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 综上所述，时，或时，． 题型四 用一元二次方程根的判别式进行相关证明 解题技巧提炼 利用根的判别式证明等式的步骤 第1步:把方程看成关于某一字母的方程，并把它化为一般形式; 第2步:在一元二次方程的前提下计算并化简根的判别式; 第3步:对根的判别式△进行整理，得出相关的结论. 29．（23-24八年级下·北京·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，学会运用非负数判断代数式的符号或范围． （1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了； （2）把代入已知方程，列出关于的一元一次方程，．通过解该方程求得的值． 【详解】（1）解： 方程总有两个不相等的实数根． （2）解：若方程有一个根为， 则． 解得． 30．（23-24九年级下·河南三门峡·期中）已知关于的方程. (1)当时，求方程的解； (2)证明：无论为何值，此方程总有解. 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）当时，转化为一元一次方程，解方程即可； （2）分和讨论即可求解； 本题考查了根的判别式，解一元一次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）当时，原方程为，解得； （2）当时，原方程为一元一次方程，有实数解； 当时，原方程为一元二次方程，且， ∴无论为何值，此方程总有解． 31．（23-24九年级上·广东河源·期中）证明：无论k取何值，关于x的方程恒有实数根 【答案】见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系． 分类讨论：当，即，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当，即，计算判别式得到，利用得到，则根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，然后可判断不论取何值，方程总有实数根； 【详解】证明：当，即， 方程变形为， 解得； 当，即 ， 由于，则， 所以方程有两个不相等的实数根，所以不论取何值，方程总有实数根． 32．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根； (2)若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例． 【答案】(1)见解析 (2)不是，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）由二次项系数和常数项的符号不同，可得，再由即可得出结论； （2）由一元二次方程的根的判别式，举出一个反例即可得到答案． 【详解】（1）证明：二次项系数和常数项的符号不同， ， ，， 该方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：不是，反例（答案不唯一）， 理由如下：方程有两个不相等的实数根， ，满足即可， 反例：，， 即，这个方程有两个不相等的实数根，该方程二次项系数和常数项的符号相同． 题型五 新定义问题 解题技巧提炼 首先结合新定义，明白定义原理和运算法则，再结合一元二次方程根的判别式进行求解. 33．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程，得到或．再分别将，代入，求出a的值即可．求出方程的两个解是解题的关键． 【详解】解：， 分解因式为， 解得或 ①当时，， 整理得， ∵，∴方程无解； ②当时， ， ∴或（舍去） 故答案为：． 34．（23-24八年级上·上海静安·期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3或． 35．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 36．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)①见解析；②或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）①利用一元二次方程根的判别式列式计算即可求解； ②先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴方程不是差积方程； 故答案为：不是； （2）解：①∵， ∴， ∴关于的方程不论取何值，方程总有实数根； ②∵， ∴， 解得：， ∵是差积方程， ∴， 即或． 解得：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$