2024年全国一卷新高考题型细分S1-3——圆锥曲线 多选3 抛物线

2024年全国一卷新高考题型细分S1-3 ——圆锥曲线 多选 抛物线 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《圆锥曲线——多选》题型主要有：椭圆、双曲线、抛物线、综合、其他等，大概75道题。每类题目从易到难排序。 抛物线（中下）： 1. （多选，2024年湘J46长沙一中二模）9．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:2]   ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 （基础） [2: 9．AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC ] 2. （多选，2024年湘J27长沙一中适应）10. 如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（ [endnoteRef:3] ） A. 当直线 的斜率为1时， B. 若，则直线的斜率为2 C. 存在直线 使得 D. 若，则直线 的倾斜角为 （中下） [3: 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可. 【详解】易知，可设，设， 与抛物线方程联立得， 则， 对于A项，当直线 的斜率为1时，此时， 由抛物线定义可知，故A正确； 易知是直角三角形，若， 则， 又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误； 由上可知 ， 即，故C错误； 若， 又知，所以， 则，即直线 的倾斜角为 ，故D正确. 故选：AD ] 3. （多选，2024年苏J01高邮一模）10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，点M，N在C上，且，则（[endnoteRef:4] ） A. B. 直线MN的斜率为 C. D. （中下） [4: 【答案】ABC 【解析】 【分析】由可得为中点，设出点坐标，表示出点坐标，计算即可得、点的具体坐标，结合选项逐项分析计算即可得. 【详解】由，故为中点，又为中点， 故，故A正确； 由，故，，设，则， 故有，解得， 即、， 则，故B正确； ，故C正确； ，，则，故D错误. 故选：ABC. ] 4. （多选，2024年冀J40邯郸模拟）10．设拋物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，则（ [endnoteRef:5]   ） A．的准线方程为 B．的值为2 C． D．的面积与的面积之比为9 （中下） [5: 10．BD 【分析】设直线的方程为，，利用根与系数的关系及抛物线的性质进行计算，从而判定各选项. 【详解】设直线的方程为，， 联立，可得， 所以，， 因为，所以，故， 因为，由抛物线定义可得，，， 则，解得或， 因为，所以，则的准线方程为，故B正确，A错误； 又的方程为，，， 把代入可得，， 不妨设，则，故C错误； 设到直线的距离为， 的面积，的面积， 则的面积与的面积之比，故D正确. 故选：BD. ] 5. （多选，2024年浙J09温州中学一模）12. 设为抛物线的焦点，直线与的准线，交于点．已知与相切，切点为，直线与的一个交点为，则（ [endnoteRef:6] ） A. 点在上 B. C. 以为直径的圆与相离 D. 直线与相切 （中下） [6: 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，联立直线与抛物线方程，根据根的判别式得到点在上；B选项，作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C选项，证明出以为直径的圆与轴相切，得到C正确；D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，从而求出直线方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案. 【详解】对于A，联立直线与的方程，消去得，因为与相切， 所以，即，所以点在上，A错误． 对于B，过点作垂直于的准线，垂足为，由抛物线定义知， 因为，所以，所以在中，， 由大边对大角得，B正确． 对于C，，由A选项与相切，切点为，可得，其中， 则的中点坐标为， 且，故半径为， 由于半径等于以为直径的圆的圆心横坐标， 故以为直径的圆与轴相切，所以与相离，C正确； 对于D，设直线方程为，与联立得， 所以，解得，则， 因为，所以直线方程为， 联立直线与曲线的方程得， 因为，所以直线与相切，D正确． 故选：BCD． 【点睛】抛物线的相关结论， 中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切； 中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切. ] 6. （多选，2024年浙J06金丽衢一联）11. 设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（ [endnoteRef:7] ） A. B. 若，则点坐标为 C. 的最小值为 D. 满足面积为的点有2个 （中下） [7: 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，直接由抛物线方程即可判断；对于B，直接由焦半径先求得点横坐标，代入抛物线方程验算其纵坐标即可判断；对于C，由B选项启发，观察图象，令即可举出反例；对于D，由点到直线距离公式将原问题转换为方程的或的正根的个数和即可判断. 【详解】 对于A，抛物线弧的焦点为，故A正确； 对于B，若，解得，所以，即点的坐标为，故B正确； 对于C，取，则， 因为，所以，即， 所以，即，故C错误； 对于D，直线的斜率为，所以它的方程为， 点到它的距离为， 注意到，若面积为， 则，又， 所以或，解得或， 所以满足面积为的点有3个，故D错误. 故选：AB. ] 7. （多选，2024年浙J05名校二联考）11. 曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点是抛物线上的点，是的焦点，点处的切线与轴交于点，点处的法线与轴交于点，与轴交于点，与交于另一点，点是的中点，则以下结论正确的是（[endnoteRef:8] ） A. 点的坐标是 B. 的方程是 C. D. 过点的的法线（包括）共有两条 （涉后导数） （中下） [8: 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出切线斜率，进而确定切线方程判断A，利用法线的定义判断B，利用两点间距离公式判断C，分类讨论判断D即可. 【详解】 对A，将点代入，得，则，当时， 故的方程为，令，则点的坐标是，故A错误； 对B，的方程为，整理得，故B正确； 对C，易得与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为， 联立，解得或. 与的另一个交点的坐标为， 则，故C正确； 对D，易得点的坐标为，设点为抛物线上一点， 当是原点时，处的法线为轴，显然不过点， 当点不是原点时，则处的法线方程为， 将点代入得，， 又，则， 故或过点的的法线（包括）共有两条，故D正确. 故选：BCD ] 8. （多选，2024年粤J21中附一调）11. 已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），则下列结论正确的有（ [endnoteRef:9] ） A. 抛物线C的方程为 B. 线段AB的长度为8 C. 以AF为直径的圆和抛物线的准线相切 D. （中下） [9: 【答案】BD 【解析】 【分析】求出抛物线C的焦点，进而求出，把直线与抛物线C的方程联立，再逐项判断即得. 【详解】抛物线C：的焦点在直线l：上，即，解得， 抛物线C的方程为，A错误； 由消去并整理得，，设， 于是，而抛物线C的准线为，则，B正确； 焦点，线段中点横坐标，因此以线段为直径的圆与y轴相切， 与抛物线C的准线相离，C错误； 由点在第一象限，知，即，由解得， 因此，D正确. 故选：BD ] 9. （多选，2024年粤J43茂名一模）10. 过抛物线：的焦点作直线交于两点，则（ [endnoteRef:10] ） A. 的准线方程为 B. 以为直径的圆与的准线相切 C. 若，则线段中点的横坐标为 D. 若，则直线有且只有一条 （中下） [10: 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A:计算出准线即可判断；对于选项B:验证是否成立；对于选项C，D:借助焦点弦及通径的相关公式计算即可. 【详解】对于选项A:由抛物线：，可得解得，故准线方程为，故选项A错误； 对于选项B:设的中点为,且在准线上的投影为， 由抛物线的定义可知：, 易知四边形为直角梯形，所以, 故以为直径的圆与的准线相切，故选项B正确； 对于选项C:设， 因为， 所以，所以线段中点的横坐标为，故选项C正确； 对于选项D:结合抛物线的焦点弦中通径最短，可得，要使， 则线段为抛物线的通径，则这样的直线有且只有一条,故选项D正确. 故选：BCD. ] 抛物线（中档）： 10. （多选，2024年鲁J02荷泽一模，末）11. 如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（[endnoteRef:11] ） A. B. 以为直径的圆与直线相切 C. D. （中档） [11: 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断方法即可求解. 【详解】对于A，令， 联立，消可得， 则，， ， 则 故， 同理，故A正确； 对于C，设与轴交于，， 则，，故C正确； 对于D， 则 ， 而， 所以，故D正确； 对于B，中点，即 则到直线的距离， 以为直径的圆的半径， 所以， 当时相切，当时不相切，故B错误. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断即可. ] 11. （多选，2024年鲁J03临沂一模，末）11. 已知圆，抛物线的焦点为，为上一点（ [endnoteRef:12] ） A. 存在点，使为等边三角形 B. 若为上一点，则最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 若以为直径的圆与圆相外切，则 （中档） [12: 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，为等边三角形需保证，设定点坐标用两点间距离公式检验即可；选项B，设定点，将转化为表示，求最小值即可；选项C，由求得点坐标，求得直线所在的直线方程，利用点到直线的距离公式检验即可；选项D，设定点，以为直径的圆与相外切，需保证，建立关于的方程，求之即可. 【详解】由已知圆的方程化为， 得其圆心，半径， 由于抛物线方程为，其焦点为 对于选项A，若为等边三角形，当且仅当； 若点到点的距离为， 由抛物线的定义可知，即， 代入抛物线方程可得，，故A正确； 对于选项B，因为点在抛物线上，为上一点， ， 由于为上，设，且， 则， 当且仅当时，原式取得最小值，的最小值，故B不正确； 对于选项C，设，且， 若，即，得， 解得，所以此时， 不妨取，， 此时直线的方程为：，即， 则圆心到该直线的距离为， 所以此时直线与圆相切，同理可证明的情形也成立，故C正确； 对于选项D，设的中点为，若以为直径的圆与相外切时， 只需保证， 设，且，，得， 得方程：（*）， 其中，反解得：代入上式， 化简可得：， 显然，故D不正确. 故选：AC. 【点睛】客观题圆锥曲线的综合性问题，多数考查数形结合思想，要善于借助圆锥曲线的定义转化条件和问题. ] 12. （多选，2024年粤J47湛江一模）10. 已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（ [endnoteRef:13] ） A. B. 若以线段AB为直径的圆过点F，则 C. 若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则 D. 若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切 （中档） [13: 【答案】ABC 【解析】 【分析】联立直线l与抛物线消去x得y2﹣4my+4＝0，由可判断A；利用韦达定理和FA⊥FB列式可解得m2＝2，再用弦长公式可得弦长可判断B；若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则解出，再用弦长公式可得弦长可判断C；由，可得无解可判断D. 【详解】设，直线的方程为，，的中点为， 由消去并整理得：，得， 由题意，，所以，即， 所以，则，故A正确； 以线段为直径的圆过点，所以，所以， 又， 所以， ，解得满足题意. 由，得，所以B正确； 若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则， 又，所以， 解得：，所以，故C正确； 若以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，则，即， 又，所以无解，所以D错误. 故选：ABC. ] 13. （多选，2024年浙J02嘉兴一中一模）11. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线与交于两点，且抛物线在两点处的切线交于点，为的中点，直线交于点，则（ [endnoteRef:14] ） A. 点在直线上 B. 是的中点 C. D. 轴 （中档） [14: 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据题意画出合适的图，接着设出点的坐标这直线的方程，通过解出相关点的坐标，从而实现每个选项是否正确的解答. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得， 故抛物线的方程为. 设点，，且 则直线的方程为， 联立，得，所以， 且. 因此， 故点的坐标为. 设切线的方程为， 联立可得， 由，可得 因为，所以，解得， 故切线的方程为，化简得， 同理切线的方程为， 联立，可得，所以点坐标为， 所以点在直线上，故选项A错误. 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以直线的方程为，故轴，所以选项D正确. 因为直线交于点，所以点的坐标为， 而点的中点为，所以是的中点，故选项B正确. 由抛物线的定义可知，， 故 ， 所以有，故选项C正确. 故选：BCD. 【点睛】 ] 14. （多选，2024年冀J04石家庄二中一模）11. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足依次记为，若的最小值为，则（ [endnoteRef:15]） A. B. 为钝角 C. D. 若点，在上，且为的重心，则 （中档） [15: 【答案】AC 【解析】 【分析】根据的最小值求得，利用根与系数关系、向量法、抛物线的定义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】抛物线的焦点， 依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为， 由消去并化简得， ，设， 则， ， ，当时等号成立， 所以，A选项正确，抛物线的方程为， 准线方程，焦点， 则，则， 所以，所以B选项错误. 由上述分析可知， ， 所以，所以C选项正确. 设，由于是的重心， 所以， 所以，所以D选项错误. 故选：AC ] 15. （多选，2024年冀J03冀州一调）11. 已知抛物线的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为，的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ [endnoteRef:16] ） A. B. C. 若F恰好为的中点，则直线的斜率为 D. 直线过定点 （中档） [16: 【答案】ABD 【解析】 【分析】设直线的方程、，，联立抛物线方程，利用韦达定理表示、，结合弦长公式计算即可判断A；利用中点坐标公式表示出点P、Q坐标，结合平面向量的数量积坐标表示和基本不等式即可判断B；由中点坐标公式可得，进而求得，结合两点表示斜率公式计算即可判断C；根据直线的点斜式方程表示直线PQ方程，即可求出直线恒过的定点，进而判断D. 【详解】A：设直线的方程为，，， 联立方程组得，则，， 所以，同理可得， 所以，故A正确； B：由选项A知，， 因为P分别为的中点，所以，同理可得， 所以，当且仅当时，等号成立，故B正确． C：，若F为的中点，则．因为， 所以．所以，故， 所以，故C错误． D：当直线的斜率存在时，，所以直线的方程为， 整理得，所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，过点， 所以直线过定点．故D正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. ] 16. （多选，2024年浙J12金华一中模拟）11. 已知抛物线E：的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（[endnoteRef:17] ） A. 若BF为中线，则 B. 若BF为的角平分线，则 C. 存在直线l，使得 D. 对于任意直线l，都有 （中档） [17: 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先设直线方程，并联立抛物线，根据韦达定理，再根据各项描述，抛物线的定义，即可判断选项. 【详解】设题意，设，不妨令，都在第一象限，，， 联立，则，且，即， 所以，，则，，如上图所示， A.若为的中线，则， 所以，所以，故， 所以，则，则，故A正确； B.若为的角平分线，则， 作垂直准线于，则且， 所以，即，则， 将代入整理，得，则， 所以，故B正确； C.若，即，即为等腰直角三角形， 此时，即，所以， 所以，所以，所以，则此时为同一点，不合题设，故C错误； D.，而， 结合，可得，即恒成立，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据抛物线的几何关系，转化为坐标运算. ] 17. （多选，2024年粤J14华附二调）11. 已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（ [endnoteRef:18] ） A. 线段长度的最小值为 B. 当直线斜率为时，中点坐标为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 存在点，使得 （中档） [18: 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：通过联立思想得到，由此可计算出，利用焦点弦公式以及基本不等式求解出的最小值；B：利用点差法求解出纵坐标后可判断；C：利用抛物线定义计算出圆心到准线的距离，并判断距离是否等于半径即可；D：代入坐标，计算出的值，根据结果再进行判断. 【详解】对于A：的焦点坐标为，直线的斜率不为，设，， 联立可得，且， 所以，所以，且， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 所以，所以，即中点纵坐标为，故B错误； 对于C：抛物线的准线方程，设中点为，过点向准线作垂线，垂足分别为，如下图： 由抛物线的定义可知：， 即等于以为直径的圆的半径长，故C正确； 对于D：当时，。 所以， 由选项A可知：，所以，所以此时， 所以的倾斜角互补，所以，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：已知是抛物线的过焦点的一条弦，设，则有：（1）；（2）. ] 18. （多选，2024年J02全国二卷）10. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ [endnoteRef:19] ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 （中档） [19: 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD ] 19. （多选，2024年冀J39承德二模）10．已知直线与抛物线相交于两点，分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，线段的中点到准线的距离为，焦点为为坐标原点，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:20]   ） A．若，则 B．若，则 C．若直线过抛物线的焦点，则 D．若，直线的斜率之积为4，则直线的斜率为 （中档） [20: 10．ACD 【分析】对A，利用梯形中位线公式即可判断；对B，采用设线法设直线，解出，再根据垂直得到，最后计算即可判断；对C，采用设线法联立抛物线方程得到，最后计算斜率之积即可；对D，也采用设线法联立抛物线得到韦达定理式，结合，计算代入韦达定理式，最后化简即可. 【详解】对A，因为，所以，即，故A正确； 对B，设直线，由可得点，由于， 则直线，同理求出点，因此，故B错误； 对C，设直线的方程为，由可得， 则，因此，故C正确； 对D，设直线的方程为，由 可得，则，且， 由于，因此 ， 因为直线，的斜率之积为4，则， 因此，满足，故直线的斜率为，故D正确， 故选：ACD. ] 20. （多选，2024年冀J35部分中学评估）11．已知F为抛物线的焦点，，为抛物线上不同的两动点，分别过M，N作抛物线C的切线，两切线交于点P，则（ [endnoteRef:21]   ） A．若，则直线MN的倾斜角为 B．直线PM的方程为 C．若线段MN的中点为Q，则直线PQ平行于y轴 D．若点P在抛物线C的准线上，则（涉后导数） （中档） [21: 11．BD 【分析】由点在抛物线上，联立方程组，作差结合斜率公式，可判定A不正确；求得，利用导数的几何意义，求得切线方程，可判定B正确；联立方程组，求得点的横坐标为及，得到，由时，可得直线与轴重合，可判定C不正确；求得点，得到和，结合，可判定D正确. 【详解】对于A中，由点，为抛物线上， 可得，两式相减得， 因为，可得，即的斜率为， 所以直线的倾斜角为，所以A不正确； 对于B中，由，可得，则，所以， 即过点的切线的斜率为， 所以切线的方程为，即， 又因为，所以切线方程为，所以B正确； 对于C中，同理可得，切线方程为， 联立方程组，解得， 所以点的横坐标为， 又因为为的中点，可得，所以， 当时，可得轴，；但当时，可得直线与轴重合， 所以C不正确； 对于D中，由抛物线，可得焦点，准线方程为， 若点在抛物线的准线上，可得点，所以， 又由A项，可得，即直线的斜率为 因为，所以，所以，所以D正确. 故选：BD. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$