专题06 二次函数y=ax²的图象和性质（8大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题06 二次函数y=ax²的图象和性质 目录 【题型一 二次函数y=ax²+k的对称轴】 1 【题型二 二次函数y=ax²+k的开口方向】 1 【题型三 二次函数y=ax²+k的顶点坐标】 2 【题型四 二次函数y=ax²+k的增减性】 2 【题型五 二次函数y=ax²+k的最值问题】 2 【题型六 根据二次函数y=ax²+k的性质求参数】 3 【题型七 一次函数与二次函数y=ax²+k的图像共存问题】 3 【题型八 二次函数y=ax²+k的图像与几何的综合】 4 【题型一 二次函数y=ax²+k的对称轴】 例题：（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）二次函数的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（23-24九年级上·广东肇庆·期中）抛物线的对称轴是 ． 【题型二 二次函数y=ax²+k的开口方向】 例题：（23-24九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是（    ） A．向右 B．向上 C．向左 D．向下 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广西崇左·期末）抛物线的开口方向是 ． 2．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如果抛物线经过原点，那么该抛物线的开口方向 ． 【题型三 二次函数y=ax²+k的顶点坐标】 例题：（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【题型四 二次函数y=ax²+k的增减性】 例题：（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·安徽池州·三模）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西南昌·一模）对于抛物线，当时，随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【题型五 二次函数y=ax²+k的最值问题】 例题：（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数的图象有最低点，则的值为（　　） A． B．2 C．0 D．或2 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的最 值是 ． 2．（22-23九年级上·湖北襄阳·阶段练习）二次函数，当 时，y有最 值（填“大”或“小”），是 ． 【题型六 根据二次函数y=ax²+k的性质求参数】 例题：（23-24九年级上·安徽滁州·期末）二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数的最 值是1． 2．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 【题型七 一次函数与二次函数y=ax²+k的图像共存问题】 例题：（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（    ）    A．    B．   C．   D．   【变式训练】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·吉林·期末）函数与在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【题型八 二次函数y=ax²+k的图像与几何的综合】 例题：（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点C在y轴上，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 一、单选题 1．（23-24九年级上·山东烟台·期末）对于抛物线，若y的最小值是5，则（    ） A． B． C．5 D． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）定义：给定关于x的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为增函数． 根据以上定义，下列函数中①；②；③；④，是增函数的（    ） A．①③④ B．①② C．③④ D．①③ 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A． B． C． D． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（　　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·云南昆明·期末）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）点在二次函数的图象上，则 ，点A关于x轴的对称点B的坐标是 ，点A关于y轴的对称点C的坐标是 ，B，C两点中在抛物线上的点是 ． 7．（24-25九年级上·全国·假期作业）观察二次函数的图象，并填空． （1）图象与x轴的交点也是它的 ，这个点的坐标是 ； （2）二次函数的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ； （3）当时，随着x值的增大，y的值 ；当时，随着x值的增大，y的值 ． 8．（2024·广东东莞·模拟预测）已知抛物线经过点和，则 （填“>” “<”或“=”）． 9．（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ． 10．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是 三、解答题 11．（23-24九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴． 12．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.    (1)求点A、B的坐标. (2)求三角形的面积. 13．（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）已知二次函数．    (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； (2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 14．（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 15．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数y=ax²的图象和性质 目录 【题型一 二次函数y=ax²+k的对称轴】 1 【题型二 二次函数y=ax²+k的开口方向】 2 【题型三 二次函数y=ax²+k的顶点坐标】 3 【题型四 二次函数y=ax²+k的增减性】 4 【题型五 二次函数y=ax²+k的最值问题】 5 【题型六 根据二次函数y=ax²+k的性质求参数】 7 【题型七 一次函数与二次函数y=ax²+k的图像共存问题】 8 【题型八 二次函数y=ax²+k的图像与几何的综合】 10 【题型一 二次函数y=ax²+k的对称轴】 例题：（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式，可直接求出对称轴． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是记住二次函数的对称轴是直线． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）二次函数的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】利用二次函数的性质解题即可. 【详解】解：二次函数的对称轴是， 故选A . 【点睛】本题考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键. 2．（23-24九年级上·广东肇庆·期中）抛物线的对称轴是 ． 【答案】轴 【分析】根据二次函数的图像及性质，即可求得． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴该抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为：轴 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，掌握的图像及性质是解题的关键． 【题型二 二次函数y=ax²+k的开口方向】 例题：（23-24九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是（    ） A．向右 B．向上 C．向左 D．向下 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与性质，掌握“，开口向上，，开口向下，”即可求解． 【详解】解：中二次项系数为，， 抛物线开口向上． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广西崇左·期末）抛物线的开口方向是 ． 【答案】向上 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握的性质是解题的关键． 根据的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴抛物线的开口方向是向上． 故答案为：向上． 2．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如果抛物线经过原点，那么该抛物线的开口方向 ． 【答案】向下 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；根据抛物线过原点，把原点坐标代入解析式中可求得m的值，根据二次项系数的符号可确定抛物线的开口方向． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴抛物线为； ∵， ∴抛物线开口向下； 故答案为：向下． 【题型三 二次函数y=ax²+k的顶点坐标】 例题：（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握定义解答的关键． 【详解】根据题意，得抛物线的顶点坐标是， 故选A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式中顶点坐标为．由二次函数解析式可得顶点坐标为． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点为． 故选：D． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【答案】 抛物线 轴 向下 【分析】本题考查二次函数的性质．熟记知识点是关键． 【详解】图像为抛物线；对称轴为轴；顶点坐标为；，开口向下； 故答案为：抛物线；轴；；向下． 【题型四 二次函数y=ax²+k的增减性】 例题：（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 【变式训练】 1．（2024·安徽池州·三模）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，一次函数中当一次项系数为正时，y的值随x值的增大而增大，一次项系数为负时，y的值随x值的增大而减小，二次函数中，二次项系数为正时，在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，二次项系数为负时，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：A、函数在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意； B、函数中，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意； C、函数中，y的值随x值的增大而增大，符合题意； D、函数中，y的值随x值的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·江西南昌·一模）对于抛物线，当时，随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据题目中的函数解析式以及二次函数的图象和性质，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线，， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，随的增大而增大． 故答案为：增大． 【题型五 二次函数y=ax²+k的最值问题】 例题：（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数的图象有最低点，则的值为（　　） A． B．2 C．0 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义和性质，解一元二次方程，根据二次函数定义可得，且，再根据二次函数的图象有最低点，可得，结合求解，即可求出的值，掌握二次函数的图象与性质，得到二次函数的开口向下是解题关键． 【详解】解： 是二次函数， ，且， 解得或， 又二次函数的图象有最低点， 抛物线的开口向上， ，即， ， 故选B． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的最 值是 ． 【答案】 小 3 【分析】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．根据二次函数的解析式，即可得到结论． 【详解】解：二次函数的图像开口向上， 二次函数有最小值，最小时是3， 故答案为：小，3． 2．（22-23九年级上·湖北襄阳·阶段练习）二次函数，当 时，y有最 值（填“大”或“小”），是 ． 【答案】 0 大 3 【分析】直接根据二次函数的性质进行判断． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为y轴，当时，y有最大值，最大值为3． 故答案为：0，大，3． 【点睛】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数，当时，，y有最小值h；当时，，y有最大值h． 【题型六 根据二次函数y=ax²+k的性质求参数】 例题：（23-24九年级上·安徽滁州·期末）二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像及性质．根据题意利用二次函数性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴，即， 故选：B． 【变式训练】 1．函数的最 值是1． 【答案】大 【分析】根据二次函数的图象及性质即可得出结论． 【详解】解：∵函数中，-1＜0 ∴该函数的图象为抛物线，开口向下 ∴当x=0时，函数有最大值，最大值为1 故答案为：大． 【点睛】此题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的图象及性质是解题关键． 2．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴，解得． 故答案为：． 【题型七 一次函数与二次函数y=ax²+k的图像共存问题】 例题：（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（    ）    A．    B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求出，，然后再求出，最后进行判断即可． 【详解】解：设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为， 把分别代入两个函数解析式得： ，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴的图象为开口向下，顶点为的抛物线， 所以C选项符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 解法一：分和，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可； 解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误． 解法二：A项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与y轴的交点，知，故A不符合题意； B项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故B符合题意； C项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故C不符合题意； D项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故D不符合题意． 故选：B． 2．（23-24九年级上·吉林·期末）函数与在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与二次函数的图象与各项系数的关系，题目有一定的综合性． 结合二次函数与一次函数的性质，当时所经过的象限和开口方向，可以得出． 【详解】解：与 ∴二次函数开口向上，一次函数经过一，二，三象限． 故选：C． 【题型八 二次函数y=ax²+k的图像与几何的综合】 例题：（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出点横坐标为，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：∵关于y轴对称，线段轴， ∴线段关于y轴对称， ∵且点A在第二象限， ∴点A的横坐标为， 把代入，得， ∴点A的坐标为． 故选D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点C在y轴上，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质．连接，交y轴于点D，根据二次函数图象的性质和正方形的性质得，进而得到，将A的坐标代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选：B． 一、单选题 1．（23-24九年级上·山东烟台·期末）对于抛物线，若y的最小值是5，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，确定，问题随之得解． 【详解】∵，且， ∴， ∵y的最小值是5， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）定义：给定关于x的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为增函数． 根据以上定义，下列函数中①；②；③；④，是增函数的（    ） A．①③④ B．①② C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数、二次函数，掌握各种函数的性质是解题的关键．根据一次函数、二次函数的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：由新定义可得： ，， ∴①是增函数； ，， ∴②不是增函数； ，是增函数， ∴③是增函数； ，是方程，不是函数， ∴④不是增函数． 故选D． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解： A. 函数图形可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B. 函数图形可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确； C. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选B． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数解析式的求法，以及二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 把代入得的值，然后把各点坐标代入二次函数解析式判断是否在图像上即可得到答案． 【详解】解：把代入得， 解得： 所以二次函数解析式：． A．当时，，故在函数图像上，但因题目中已给出，重复，故不符合题意； B． 当时，，故不在函数图像上； C． 当时，，故在函数图像上； D． 当时，，故不在函数图像上； 故选C． 5．（23-24九年级上·云南昆明·期末）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的增减性的应用，计算对称轴，比较点与对称轴的距离大小，结合性质判断即可． 【详解】∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，距离对称轴越远的点的函数值越小， ∵， ∴， 故选B． 二、填空题 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）点在二次函数的图象上，则 ，点A关于x轴的对称点B的坐标是 ，点A关于y轴的对称点C的坐标是 ，B，C两点中在抛物线上的点是 ． 【答案】 点C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．把点代入中，进行计算可求出的值，再根据关于轴、轴对称的点的坐标特征，以及抛物线的对称轴是轴，即可解答． 【详解】解：把点代入中得： ， 点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标是，点关于轴的对称点的坐标是， 抛物线的对称轴是轴，点与点关于轴对称， ，两点中在抛物线上的点是点， 故答案为：；；；点． 7．（24-25九年级上·全国·假期作业）观察二次函数的图象，并填空． （1）图象与x轴的交点也是它的 ，这个点的坐标是 ； （2）二次函数的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ； （3）当时，随着x值的增大，y的值 ；当时，随着x值的增大，y的值 ． 【答案】 顶点 抛物线 上 y轴（或直线） 减小 增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】解：（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大． 8．（2024·广东东莞·模拟预测）已知抛物线经过点和，则 （填“>” “<”或“=”）． 【答案】> 【分析】将和代入中，求出和，再进行比较即可． 本题考查二次函数的图像上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键． 【详解】∵抛物线经过点和， ， ， ． 故答案为：> 9．（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据二次函数的定义得到，由抛物线的性质得到，由此求得m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数，且当时，y随x的增大而增大， ∴，， 整理得：，且， 解得：． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线与线段的交点需要在之间，将，分别带入函数求出a的值，抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大，即可得出结果． 【详解】解：由题意可知二次函数经过原点，想要抛物线与线段有交点，如下图： 抛物线与线段的交点需要在之间， 当抛物线经过A点时，，解得：， 当跑五项经过B点时，，解得：， 抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大， ． 故答案为： 三、解答题 11．（23-24九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴． 【答案】抛物线解析式为，对称轴为y轴 【分析】把已知点的坐标代入中求出a，从而得到抛物线解析式，然后利用二次函数的性质得到对称轴． 【详解】解：把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为，对称轴为y轴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握：顶点在原点的抛物线的对称轴为y轴． 12．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.    (1)求点A、B的坐标. (2)求三角形的面积. 【答案】(1)点，点． (2)27 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出点的横坐标，然后代入二次函数解析式计算求出点的纵坐标，从而得解，再根据对称性写出点的坐标 （2）根据点A、B的坐标直接求出三角形的面积． 【详解】（1） 轴，， 点的横坐标为， ， 点的坐标为， 点、关于轴对称， 点． （2） 点，点． ， 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性和二次函数图象上点的坐标特征． 13．（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）已知二次函数．    (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； (2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 【答案】(1)轴，； (2)，，图象见解析； (3)． 【分析】（）根据表格中得数据可得对称轴，根据解析式可求出顶点坐标； （）把的值代入解析式，即可得到的值； （）根据性质即可得出结论； 本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：轴，； （2）当时，； 当时，； 故答案为：，； 利用描点法作出的函数图象如下所示：    （3）∵， ∴抛物线开口向下，在轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【答案】(1)顶点， (2)抛物线，上，y轴（或直线） (3)减小，增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大 15．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 【答案】(1)或 (2)当时，该函数图像的开口向下 (3)当时，原函数有最小值 (4)见解析 【分析】(1)由二次函数的定义可得故可求m的值． (2)图像的开口向下，则，结合（1）中的结果，即可得m的值； (3)函数有最小值，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；； (4)根据（1）中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定． 【详解】（1）根据题意，得， 解得， ∴当或时，原函数为二次函数． （2）∵图像开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴当时，该函数图像的开口向下． （3）∵函数有最小值， ∴， 则， ∴， ∴当时，原函数有最小值． （4）当时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$