2.7有理数的乘方（1）讲义 2023—2024学年苏科版数学七年级上册

2.7　有理数的乘方（1） 精讲精练含答案 要点一 有理数的乘方的意义 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数． 注意： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 【例1】 计算： （1） （2） （3） 　 （4） （5）　 （6） （7） （8） 解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） 【总结】1.与不同，，而表示的n次幂的相反数． 2.进行乘方运算时，先根据符号法则确定符号，然后再把底数的绝对值相乘； 3.底数是带分数时，要先把带分数化成假分数． 4.－1的偶次幂是1，奇次幂是－1,1的任何次幂都是1. 要点二 有理数的乘方运算和符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 ≥0． 注意： 1.有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． 2.任何数的偶次幂都是非负数． 【例2】不做运算，判断下列各运算结果的符号． (-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010 解：根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负． 【总结】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负． 知识点1　 有理数的乘方的意义 1.(2023·江苏无锡江阴期中)-43的意义是(　　) A.3个-4相乘　　　　B.3个-4相加 C.-4乘3　　　　 D.3个4相乘的相反数 2.(2023·河北廊坊广阳期末)计算:=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 3.(2022·浙江余杭期中)下列等式成立的是(　　) A.23=2×3 B.2+2+2=23 C.23=2×2×2 D.-24=(-2)×(-2)×(-2)×(-2) 4.对于,前者的底数是　　　　,后者的底数是　　　　. 5.将一根绳子对折5次后从中间剪一刀,此时绳子变成　　　　段.  知识点2　有理数的乘方运算和符号法则 6.(2023·湖南沅江期中)下列计算正确的是(　　) A.(-1)2=-1　　　　B.(-1)3=-1　　　　C.-12=1　　　　 D.-13=1 7.(2023·湖南新宁期中)根据如图所示的程序计算,若输入x的值为-1,则输出y的值为(　　) A.-2　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4 8.(2023·浙江杭州模拟)下列各式中,不相等的是(　　) A.(-3)2和-32　　　　B.(-3)2和32 C.(-2)3和-23　　　　D.|-2|3和|-23| 9.(2023·江苏盐城期中)下列各数:-,0,-32,-|-2|,π,(-1)2 022,其中正整数有　　　　个.  10.计算: (1)(-3)3;　(2)-0.12;　(3); (4);　(5)-(-2)2;　(6)|-5|3. 11.计算: (1)-23+(-3)3-32 ; (2)(-5)2÷32×. 12.(2023·河北张家口月考)下列各数|-2|,-(-2)2,-(-2),(-2)3中,负数的个数为　 (　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 13.(2023·河北保定顺平期末)下列各组乘方的运算中,结果不相等的是(　　) A.(-5)2与52　　　　B.-12 013与(-1)2 013 C.42与24　　　　 D.23与32 14.(2023·河北唐山乐亭期中)在式子“-23○(-1)2”中的“○”内填入下列运算符号,计算后结果最大的是(　　) A.+　　B.-　　C.×　　D.÷ 15.制作拉面需将面团摔匀拉伸后对折,并不断重复.随着不断地对折,面条根数不断增加.若一拉面店一碗面约有64根面条,一天能拉出512碗拉面,用底数为2的幂表示拉面的总根数为(　　) A.215　　　　B.211　　　　 C.214　　　　D.264 16.(2023·浙江杭州拱墅锦绣育才教育集团月考) 《庄子》中记载:“一尺之捶,日取其半,万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍,每天截取它的一半,永远也截不完.若按此方式截一根长为1的木棍,第1天截取它的一半,第2天截取第1天剩余的一半,以此类推,第5天截取后木棍剩余的长度是(　　) A.1-　　　　 C. 17.(2023·浙江绍兴建功中学期中)计算:(-1)2 021+(-1)2 022=　　　　. 18.若m是大于-2且小于-1的有理数,则m,,-m2之间的大小关系是　　　　.  19.(2023·河南信阳平桥期末)计算: 6÷(-1)3-|-22×3|. 20.(2022·四川遂宁安居期末) 观察下列各式: 13+23=9=×22×32; 13+23+33=36=×32×42; 13+23+33+43=100=×42×52; …… (1)计算:13+23+33+43+…+103; (2)试猜想13+23+33+43+…+n3的值. 21.观察下列各式:(ab)2=a2b2,(ab)3=a3b3,(ab)4=a4b4,…… 回答下列三个问题: (1)验证:(4×0.25)5=　　　　;45×0.255=　　　　;  (2)通过上述验证,归纳得出(ab)n=　　　;(abc)n=　　　　;  (3)请应用上述性质计算:(-0.125)9×29×49. 22.观察下列解题过程. 计算:1+5+52+53+…+524+525. 解:设S=1+5+52+53+…+524+525①, 则5S=5+52+53+54+…+525+526②, ②-①,得4S=526-1,∴S=. 你能用你学到的方法计算下面的题吗? 1+3+32+33+…+39+310. 答案： 1.D解析：43表示3个4相乘,所以-43表示3个4相乘的相反数,故选D. 2.B解析：因为=3m,=2n, 所以=,故选B. 3.C解析：23=2×2×2,所以A不成立;2+2+2=6,23=2×2×2=8,所以B不成立;23=2×2×2,所以C成立;(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=2×2×2×2,-24=-2×2×2×2,所以D不成立.故选C. 4.-;解析：的平方,底数是-;-的相反数,. 5.33 解析：因为对折1次,从中间剪断,绳子变成21+1=3段;对折2次,从中间剪断,绳子变成22+1=5段;对折3次,从中间剪断,绳子变成23+1=9段;……,所以对折n次,从中间剪断,绳子变成(2n+1)段.当n=5时,2n+1=33,所以将一根绳子对折5次后从中间剪一刀,此时绳子变成33段. 6.B解析：(-1)2=1,故选项A计算错误;(-1)3=-1,故选项B计算正确; -12=-1,故选项C计算错误;-13=-1,故选项D计算错误.故选B. 7.D解析：把x=-1代入程序中,得(-1)2×2-4=-2<0,把x=-2代入程序中, 得(-2)2×2-4=4>0,故输出结果为4,故选D. 8.A解析：(-3)2=9,-32=-9,(-3)2≠-32,选项A符合题意;(-3)2=9,32=9,(-3)2=32,选项B不符合题意;(-2)3=-8,-23=-8,(-2)3=-23,选项C不符合题意;|-2|3=8,|-23|=8,|-2|3=|-23|,选项D不符合题意. 9.1解析：-=,是正分数,不是整数;0是整数,但不是正整数;-32=-9,是负整数,不是正整数;-|-2|=-2,是负整数,不是正整数;π是无理数,不是正整数;(-1)2 022=1,是正整数.故题中正整数只有1个. 10.解：(1)原式=-27.(2)原式=-0.01. (3)原式=.(4)原式=. (5)原式=-4.(6)原式=125. 11.解：(1)原式=-8+(-27)-9=-44. (2)原式=25÷9×. 12.B解析：|-2|=2,-(-2)2=-4,-(-2)=2,(-2)3=-8,-4和-8是负数,∴负数有2个.故选B. 13.D解析：(-5)2=25=52;-12 013=-1=(-1)2 013;42=16=24;∵23=8,32=9,∴23≠32.故选D. 14.A解析：-23=-8,(-1)2=1,-8+1=-7,-8-1=-9,-8×1=-8,-8÷1=-8,∵-7>-8>-9, ∴计算结果最大的是-7,故选A. 15.A解析：拉面的总根数为64×512=26×29===215(根), ∴用底数为2的幂表示拉面的总根数为215. 16.C解析：第1天截取后木棍剩余的长度是1×; 第2天截取后木棍剩余的长度是; 第3天截取后木棍剩余的长度是; …… 第5天截取后木棍剩余的长度是. 17.0解析：(-1)2 021+(-1)2 022=(-1)+1=0. 18.-m2<m<解析：取m=-1.3,则,-m2=-1.69,∵-1.69<-1.3<-, ∴-m2<m<. 19.解：6÷(-1)3-|-22×3|=6÷(-1)-|-4×3| =-6-|-12|=-6-12=-18. 20.解：(1)13+23+33+43+…+103=×102×(10+1)2=×100×121=3 025. (2)13+23+33+43+…+n3=n2(n+1)2. 21.解：(1)(4×0.25)5=15=1,45×0.255=1, 故答案为1;1. (2)(ab)n=anbn,(abc)n=anbncn, 故答案为anbn;anbncn. (3)原式=(-0.125×2×4)9=(-1)9=-1. 22.解：设S=1+3+32+33+…+39+310①, 则3S=3+32+33+34+…+310+311②, ②-①,得2S=311-1,∴S=. 学科网（北京）股份有限公司 $$