21.2.1 配方法课件 2023-2024学年人教版数学九年级上册

21.2.1 配方法 第二十一章 一元二次方程 第1课时 直接开平方法 素养目标 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. 2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程. 情景引入 古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎情况。某日，侦察兵汇报：“敌方驻扎在30里之外，营地形似正方形，约16方里”，将军立马说：“原来敌方营地长4里”。 思考：将军是怎么知道敌方营地长的？ 预备知识 什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？ 一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根. a(a≥0)的平方根记作：± ，x2=a(a≥0),则根据平方根的定义知，x=± 1.如果 x2=a，则x叫做a的 . 复习引入 平方根 2.如果 x2=a(a ≥0)，则x= . 3.如果 x2=64，则x= . ±8 4.任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 导入新知 求出下列各式中x的值，并说说你的理由. 1. x2=9 2. x2=5 x=± =±3 x=± 如果方程转化为x2=p,该如何解呢？ 【思考】 讲授新课 直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程 一 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2dm2，依题意，列出方程 10×6x2=1500， 整理，得 x2=25. 开平方得 即x1=5，x2=−5. 因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm． x=±5， 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解：根据平方根的意义，得x1=2，x2=−2. 解：根据平方根的意义，得x1=x2=0. 解：移项，得x2=−1， 因为负数没有平方根，所以原方程无解. (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0; (3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 探究归纳 一般地，对于方程 x2 = p (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等 的实数根 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程： (1) x2=6； (2) x2－900=0. 解： (1) x2=6， 直接开平方，得 (2)移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30，x2=−30. 典例精析 方法点拨：通过移项把方程化为x2 = p的形式，然后直接开平方即可求解． 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到： (x+3)2=5 ， ② 得 对照上面的方法，你认为可以怎样解方程(x+3)2=5？ 探究交流 于是，方程(x+3)2=5的两个根为 直接开平方法解形如(x+n)2=p (p≥0)的方程 二 上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 解题归纳 例2 解下列方程： （1）(x＋1)2= 2 ； 解析：第1小题中只要将(x＋1)看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 即x1=−1+ ，x2=−1− 解：（1）∵x+1是2的平方根， ∴x+1= 典例精析 解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解. （2）(x−1)2−4 = 0； 即x1=3，x2= −1. 解：（2）移项，得(x − 1)2=4. ∵x − 1是4的平方根， ∴x − 1=±2. ∴ x1= ， x2= （3）12(3−2x)2−3 = 0. 解析：第3小题先将−3移到方程的右边，再将等式两边同时除以12，再同第1小题一样地去解. 解：（3）移项，得12(3−2x)2=3， 两边都除以12，得(3−2x)2=0.25. ∵3−2x是0.25的平方根， ∴3−2x=±0.5. 即3−2x=0.5，3−2x=−0.5 3. 解下列方程： (1)2x2＝50； (2)(x＋1)2=4 . 解：x1＝5， x2＝−5； 解：x1＝1，x2＝−3. 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或(x＋n)2= p(p≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 探讨交流 解： 解： 例3 解下列方程： 当堂练习 C. 4(x−1)2=9，解方程，得4(x−1)= ±3，x1= ， x2= D. (2x+3)2=25，解方程，得2x+3=±5，x1= 1，x2=−4 1.下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. x2=−2，解方程，得x=± B. (x−2)2=4，解方程，得x−2=2，x=4 D (1)方程x2=0.25的根是 . (2)方程2x2=18的根是 . (3)方程(2x-1)2=9的根是 . x1=0.5，x2=−0.5 x1＝3，x2＝−3 x1＝2，x2＝−1 2.填空: 解方程： 挑战自我 解： 方程的两根为 或 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0). 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 课堂小结 $$