9.3圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习

必备知识·逐点夯实 第三节　圆的方程 第九章　直线与圆、圆锥曲线 核心考点·分类突破 【课标解读】 【课程标准】 1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次方程表示圆的条件. 【核心素养】 数学运算、逻辑推理. 【命题说明】 考向 考法 圆的方程高考一般不单独考查,它常与直线、平面向量及圆锥曲线相结合出现在选择题或填空题中. 预测 预计2025年高考圆的方程与平面向量、圆锥曲线交汇考查,三种题型都有可能出现. 必备知识·逐点夯实 知识梳理·归纳 1.圆的定义与方程 定义 平面上到______的距离等于______的点的集合叫做圆 标准 方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心为_____ 半径为r 一般 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 充要条件: ___________ 圆心坐标: (-,-) 半径:r= 定点 定长 (a,b) D2+E2-4F>0 微点拨 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点: (1)x2,y2项的系数均为1; (2)没有xy项;(3)D2+E2-4F>0. 2.点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系: (1)若M(x0,y0)在圆外,则________________. (2)若M(x0,y0)在圆上,则________________. (3)若M(x0,y0)在圆内,则________________. 常用结论 1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 2.同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数. (x0-a)2+(y0-b)2>r2 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 基础诊断·自测 类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 2 3 4 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)圆心位置和圆的半径确定,圆就唯一确定.(　 　) 提示:(1)确定圆的几何要素就是圆心和半径,故(1)正确; (2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.(　 　) 提示:(2)当m=0时,不表示圆,故(2)错误; √ × (3)圆(x+1)2+(y-1)2=2的圆心坐标是(1,-1),半径长是2.(　 　) 提示:(3)圆(x+1)2+(y-1)2=2的圆心坐标是(-1,1),半径长是, 故(3)错误; (4)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外.(　 　) 提示:(4)因为(0-1)2+(0-2)2>1,所以点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,故(4)正确. × √ 2.(选择性必修第一册人AP88练习T1变形式)圆x2+y2-4x-1=0的圆心坐标及半径分别为(　　) A.(2,0),5　 B.(2,0), C.(0,2),　 D.(2,2),5 【解析】选B.依题意,圆x2+y2-4x-1=0转化为标准方程得(x-2)2+y2=5, 所以圆心为(2,0),半径为. 3.(忽略D2+E2-4F>0)若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0外,则实数k的取值范围是(　　) A.(-2,+∞) B.[-2,-) C. (-2,) D.(-2,2) 【解析】选C.由题意得解得-2<k<. 4.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程 为__________________.  【命题意图】本题主要考查求圆的标准方程的方法,关键是确定圆心和半径. 【解析】因为点M在直线2x+y-1=0上,所以设点M为(a,1-2a), 又因为点(3,0)和(0,1)均在☉M上,所以点M到两点的距离相等且为半径R, 所以==R,a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1, 所以M(1,-1),R=,☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. (x-1)2+(y+1)2=5 核心考点·分类突破 考点一 求圆的方程 [例1](1)(一题多法)过点A(1,-1)与B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程 为(　　) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 【解析】选C.方法一(待定系数法):设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 则解得故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 方法二(几何法):圆心一定在AB的中垂线上,AB的中垂线方程为y=x. 由得,圆心为(1,1),所以r==2, 所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 _____________________________________________________________________.  【命题意图】考查圆的一般方程,待定系数法. (x-2)2+(y-3)2=13(或(x-2)2+(y-1)2=5或+=或+(y-1)2=) 【解析】依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,若过(0,0),(-1,1),(4,0), 则,解得,所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0, 即(x-2)2+(y-3)2=13; 若过(0,0),(4,0),(4,2),则,解得, 所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5; 若过(0,0),(-1,1),(4,2),则,解得, 所以圆的方程为x2+y2-x-y=0,即+=; 若过(-1,1),(4,0),(4,2),则,解得, 所以圆的方程为x2+y2-x-2y-=0,即+(y-1)2=. 【误区警示】选取不共线的三点求解即可.若考虑三点共线,既耽误时间又无解. 解题技法 求圆的方程的两种方法 几何法 根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程 待定 系数法 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值. ②若已知条件中涉及圆上的点的坐标,常选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值 提醒:解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质. 对点训练 1.(2024·许昌模拟)以点A(3,4)为圆心,且与y轴相切的圆的标准方程为(　　) A.(x+3)2+(y-4)2=16 B.(x-3)2+(y+4)2=16 C.(x-3)2+(y-4)2=9 D.(x-3)2+(y+4)2=9 【解析】选C.以点A(3,4)为圆心,且与y轴相切的圆的半径为3, 故圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=9. 2.(2024·茂名模拟)过四点(-1,1),(1,-1),(2,2),(3,1)中的三点的一个圆的方程为 ______________________________________________________________________________ (写出一个即可).  【解析】过(-1,1),(1,-1),(3,1)时,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则,解得,圆的方程是x2+y2-2x-2y-2=0,即(x-1)2+(y-1)2=4; 同理可得:过(1,-1),(2,2),(3,1)时,圆的方程是(x-)2+(y-)2=;过(-1,1),(1,-1),(2,2)时, 圆的方程是(x-)2+(y-)2=;过(-1,1),(2,2),(3,1)时,圆的方程是(x-1)2+y2=5. (x-1)2+(y-1)2=4((x-1)2+(y-1)2=4, (x-)2+(y-)2=, (x-)2+(y-)2=,(x-1)2+y2=5写其中一个即可) 【加练备选】 　　若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,当半径最小时,圆的方程为 ____________________.  【解析】设圆心坐标为(a,-2a+3), 则圆的半径r===. 当a=时,rmin=. 故所求圆的方程为+=. += 考点二 与圆有关的轨迹问题 教考衔接 类题串串联 题号 类题说明 (1) 源自第89页综合运用·T8.此题为定义圆 (2) 源自第87页例5.此题为圆的伴生圆 (3) 源自第89页拓广探索·T9.此题为比例圆(阿氏圆) (4) 源自第89页拓广探索·T10.此题为圆的参数方程 [例2](1)长为2a的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点的 轨迹方程为__________.  【解析】(1)如图,设线段AB的中点为M(x,y),点M运动时, 它到原点O的距离为定长, 即Rt△AOB的斜边上的中线长为定长. 因为AB=2a,即点M∈, 点M的轨迹方程为x2+y2=a2. x2+y2=a2 (2)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,则线段AB的 中点M的轨迹方程为__________________.  【解析】(2)如图,设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是, 由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以x=,y=. 于是有x0=2x-4,y0=2y-3,① 因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程, 即+=4,② 把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得+=1. +=1 (3)已知动点M到两定点O(0,0),A(3,0)的距离比为,则动点M的轨迹方程为 _____________.  【解析】(3)如图,设点M的坐标为(x,y), 根据题设有M∈, 根据已知条件得=2. 化简,得点M的轨迹方程为x2+y2+2x-3=0. 轨迹是圆心为,半径为2的圆. x2+y2+2x-3=0 (4)在平面直角坐标系中,如果点P的坐标(x,y)满足其中θ为参数, 则点P的轨迹方程为__________________.  【解析】(4)由于点P的坐标(x,y) 满足其中θ为参数,所以可得(x-a)2+(y-b)2=(rcos θ)2+(rsin θ)2=r2,所以点P的轨迹方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. (x-a)2+(y-b)2=r2 解题技法 求与圆有关轨迹问题的两种方法 (1)直接法:当题目条件中含有与该点有关的等式时,可设出该点的坐标,用坐标表示等式,直接求解轨迹方程. (2)代入法:当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求轨迹方程. 对点训练 (2024·宜昌模拟)已知定点M(1,0),N(2,0),动点P满足|PN|=|PM|. (1)求动点P的轨迹C的方程; 【解析】(1)设动点P的坐标为(x,y),因为M(1,0),N(2,0),且|PN|=|PM|, 所以=·,整理得x2+y2=2, 所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2. 已知定点M(1,0),N(2,0),动点P满足|PN|=|PM|. (2)已知点B(6,0),点A在轨迹C上运动,求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程. 【解析】(2)设点Q的坐标为(m,n),点A的坐标为(xA,yA), 因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点,所以=2,即(m-xA,n-yA)=2(6-m,-n), 解得,又点A在轨迹C上运动, 由(1)有(3m-12)2+(3n)2=2,化简得(m-4)2+n2=, 即点Q的轨迹方程为(x-4)2+y2=. 【加练备选】 　　1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A,若动点M满足=,则点M的轨迹方程是(　　) A.x2+(y+2)2=2　 B.x2+(y-2)2=2 C.x2+(y+2)2=8 D.x2+(y-2)2=8 【解析】选D.设M(x,y),因为=,A(0,-2),所以=, 所以x2+(y+2)2=2(x2+y2),所以x2+(y-2)2=8为点M的轨迹方程. 2.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),则 底边另一个端点C的轨迹方程是__________________________________.  【解析】设C(x,y).由题意知,|AB|==. 因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形, 所以|CA|=|AB|=,即点C的轨迹是以点A为圆心,为半径的圆. 又点A,B,C构成三角形,所以三点不可共线, 所以轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5,-1), 所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点). (x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点) 考点三 圆的对称性问题 [例3](1)(2022·北京高考)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(　　) A. B.- C.1 D.-1 【命题意图】考查直线与圆的位置关系,基础题. 【解析】选A.因为直线是圆的对称轴,所以直线过圆心.又因为圆心坐标为(a,0), 所以由2a+0-1=0,解得a=. (2)(多选题)圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为,则圆的方程可能是(　　) A.x2+y2=5　　　　 B.(x-1)2+y2=5 C.x2+(y+1)2=5 D.(x-1)2+(y+1)2=5 【解析】选AD.因为圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在这个圆上,所以圆心在直线x+y=0上,因此设圆心坐标为(a,-a),则由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5. 解题技法 圆的对称性的两点推广 由于圆既是轴对称图形又是中心对称图形,因此过圆心的直线必定平分圆的周长,且圆上的点关于过圆心直线的对称点也在圆上. 对点训练 (多选题)关于圆(x-2)2+y2=5,下列说法正确的是(　　) A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y=0对称 C.关于直线x-y+2=0对称 D.关于直线x+3y-2=0对称 【解析】选ABD.由题意知圆心的坐标为(2,0). 圆是关于圆心对称的中心对称图形,所以A正确; 圆是关于直径对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,所以B正确; 直线x-y+2=0不过圆心,所以C不正确; 直线x+3y-2=0过圆心,所以D正确. 【加练备选】 　　已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,则m的值为(　　) A.1　 B.-1　 C.2　 D.3 【解析】选A.由圆C方程得:圆心C(2,-1), 因为直线l是圆C的对称轴,所以圆心C在直线l上,即2m-1-1=0,解得m=1. 谢谢观赏！！ $$