9.7抛物线课件-2025届高三数学一轮复习

必备知识·逐点夯实 第七节　抛物线 第九章　直线与圆、圆锥曲线 核心考点·分类突破 【课标解读】 【课程标准】 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的几何性质.(范围、对称性、顶点、离心率) 2.通过抛物线与方程的学习,进一步体会数形结合思想. 3.了解抛物线几何性质的简单应用. 【核心素养】 数学运算、逻辑推理、直观想象. 【命题说明】 考向 考法 抛物线的方程与性质是高考常考内容,多以选择题或填空题的形式出现,直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现,试题难度中等. 预测 预计2025高考抛物线的标准方程、几何性质仍会出题.一般在选择题或填空题中出现,直线与抛物线的考查比较灵活,各种题型都可能涉及. 必备知识·逐点夯实 知识梳理·归纳 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的______,直线l叫做抛物线的______. 微点拨 若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线. 相等 焦点 准线 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点坐标 ______ 对称轴 x轴 y轴 O(0,0) 焦点坐标 ______ _______ ______ _______ 离心率 e=1 准线方程 _____ _____ _____ ____ 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-) x=- x= y=- y= 微思考 开口向上或向下的抛物线的切线的斜率利用什么知识解决较简单? 提示:利用导数求解较简单. 微点拨 四种不同抛物线方程的共同点 (1)原点都在抛物线上; (2)焦点都在坐标轴上; (3)准线与焦点所在坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的,即=. 常用结论 1.焦半径:抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F(,0)的距离|PF|=x0+. 2.通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦. 基础诊断·自测 类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 3 2 4 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线关于顶点对称.(　 　) 提示:(1)抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形; (2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(　 　) 提示:(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心; × √ (3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　 　) 提示:(3)所有抛物线的离心率为1,所以抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心 率都相同; (4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离 心率也相同.(　 　) 提示:(4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同 的,都为2,离心率也相同. √ √ 2.(弄错焦点位置)抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为5,则该抛物线的方程为(　　) A.x2=12y B.x2=10y C.x2=8y D.x2=6y 【解析】选A.因为抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为5, 则根据抛物线的定义可得2+=5,解得p=6, 所以抛物线的方程为x2=12y. 3.(人A选择性必修第一册P138习题3.3T1变条件)抛物线x=y2的焦点坐标 为(　　) A. (,0) B.(a,0) C. (0,) D.(0,a) 【解析】选B.抛物线x=y2可化为y2=4ax,它的焦点坐标是(a,0). 4. (2023·全国乙卷)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 ________.  【解析】由题意可得:=2p×1,则2p=5,抛物线的方程为y2=5x,准线方程为 x=-,点A到C的准线的距离为1-(-)=. 核心考点·分类突破 考点一 抛物线的定义及标准方程 [例1](1)(一题多法)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　) A.2 B.2 C.3 D.3 【解析】选B.方法一:由题意可知F(1,0),准线方程为x=-1,设A(,y0), 由抛物线的定义可知|AF|=+1,又|BF|=3-1=2, 由|AF|=|BF|,可得+1=2,解得y0=±2,所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2), 故|AB|==2. 方法二:由题意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2,抛物线通径为4, 所以|AF|=2为通径的一半,所以AF⊥x轴, 所以|AB|==2. (2)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为(　　) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 【解析】选A.由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线. (3)(2024·沈阳模拟)已知P为抛物线y2=4x上的任意一点,F为抛物线的焦点,点A坐标 为(3,2),则|PA|+|PF|的最小值为(　　) A.4 B.3 C.2 D. 【解析】选A.由拋物线y2=4x知p=2,则F(1,0),准线l方程为x=-1.如图所示,点A在抛物 线内,过点P作抛物线准线l的垂线段,垂足为点P',过点A作AH⊥l于点H.由抛物线的 定义得|PF|=|PP'|,  所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|≥|AH|,当且仅当点P是线段AH 与抛物线的交点(即A,P,H三点共线)时取等号. 故|PA|+|PF|的最小值为|AH|=3+=4. 解题技法 1.利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线. (2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系相互转化. 2.求抛物线的标准方程的方法 (1)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量. (2)因为未知数只有p,所以只需利用待定系数法确定p的值. 对点训练 1.(2024·青岛模拟)设抛物线C:x2=2py的焦点为F,M(x,4)在C上,|MF|=5,则C的方程 为(　　) A.x2=4y B.x2=-4y C.x2=-2y D.x2=2y 【解析】选A.抛物线x2=2py的开口向上,由于M(x,4)在C上,且|MF|=5, 根据抛物线的定义可知4+=5,p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y. 2.(2024·北京模拟)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-1的距离为3,则|MF|=(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】选A.如图所示: 根据题意可得抛物线的准线方程为x=-2, 若M到直线x=-1的距离为MM2=3, 则M到抛物线的准线x=-2的距离为MM1=4, 利用抛物线定义可知MF=MM1=4. 3. (2023·岳阳模拟)已知抛物线y=x2的焦点为F,P为抛物线上一动点,点Q(1,1), 当△PQF的周长最小时,点P的坐标为________.  【解析】如图,设l:y=-1是抛物线的准线,过P作PH⊥l于H,作QN⊥l于N, 则=,F(0,1),=1,+=+, 易知当Q,P,H三点共线时,+的值最小, 且最小值为1+1=2,所以△PQF的周长最小值为3, 此时xP=1,yP=,即P(1,). (1,) 【加练备选】 　　1.(2024·杭州模拟)顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-1,2),则它的方程是(　　) A.x2=y或y2=-4x B.y2=-4x或x2=2y C.x2=-y D.y2=-4x 【解析】选A.当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=-2px(p>0). 因为抛物线过点(-1,2),记为点P,如图, 所以22=-2p·(-1),所以p=2,所以抛物线的方程为y2=-4x; 当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=2py(p>0). 因为抛物线过点(-1,2), 所以(-1)2=2p·2,所以p=,所以抛物线的方程为x2=y. 2.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的 中点,则|FN|=________.   【解析】方法一:依题意可知,抛物线的焦点F(2,0),设N(0,t),由中点坐标公式得M(1,),|MF|=2+1=3,所以|FN|=2|MF|=6. 方法二:如图,过M,N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1,N1,设抛物线的准线与 x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4. 因为M为FN的中点,所以|MM1|=3, 由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3, 从而|FN|=2|FM|=6. 6 考点二 抛物线的几何性质 [例2](1)已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2,则该抛物线的准线方程为(　　) A.x=- B.x=-1 C.x=-2 D.x=-4 【解析】选B.抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(,0), 由y2=16p,可得y=±4,不妨令P(8,4), 则S△OFP=××4=p=2,解得p=2,则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为x=-1. (2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点.抛物线上有M,N两点,若 △MON为正三角形,则△MON的边长为________.  【解析】因为△MON为正三角形, 所以|OM|=|ON|=|MN|,由抛物线对称性可知MN⊥x轴,设MN:x=t,则y2=2pt, 解得y1=,y2=-.所以|MN|=2, 所以tan 30°===, 解得t=6p.所以|MN|=4p. 4p (3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上 一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 ______________.   【解析】由题易得|OF|=,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF, 所以=,即=,解得p=3,所以C的准线方程为x=-. x=- 解题技法 应用抛物线几何性质的技巧 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合的思想. 对点训练 1. (2021·新高考Ⅱ卷)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 【解析】选B.抛物线的焦点坐标为, 其到直线x-y+1=0的距离d==, 解得p=2(p=-6舍去). 2.(多选题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,若∠ABD=90°,且△ABF的面积为9,则下列选项正确的是(　　) A.|BF|=3 B.△ABF是等边三角形 C.点F到准线的距离为3 D.抛物线C的方程为y2=12x 【解析】选BC.根据题意,作出满足题意的几何图形如图所示, 由抛物线及圆的定义可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等边三角形,故B正确; 由△ABF的面积为|BF|2=9, 可知|BF|=6.故A错误;∠FBD=30°, 又点F到准线的距离为|BF|sin 30°=3=p,故C正确; 该抛物线的方程为y2=6x.故D错误. 考点三 抛物线的综合问题 考情提示 抛物线的综合问题一直是高考命题的热点,重点考查直线与抛物线的位置关系,常与函数、方程、不等式等内容相结合. 角度1 焦点弦问题 [例3](2024·贵阳模拟)直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则|AB|=(　　) A.4 B. C.8 D. 【解析】选C.抛物线的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-, 设A(x1,y1),B(x2,y2),=6x1,=6x2, 因为|AF|=3|BF|,所以x1+=3(x2+),得x1=3x2+3,① 因为|AF|=3|BF|,所以|y1|=3|y2|,即x1=9x2,② 由方程①②可得x1=,x2=,所以|AB|=x1++x2+=x1+x2+3=8. 解题技法 关于焦点弦的几个常用技巧 (1)过抛物线y2=2px的焦点的直线方程常设为x=my+. (2)抛物线的焦点弦长为(θ为过焦点的直线的倾斜角),最小值为2p. (3)过抛物线的焦点弦的两个端点作抛物线的切线,两条切线的交点在准线上. 角度2 直线与抛物线的相交问题 [例4](2024·潍坊模拟)倾斜角为60°的直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点, (1)求抛物线的准线方程; 【解析】(1)由已知可得,p=2,焦点在x轴上,所以,抛物线的准线方程为x=-1. [例4](2024·潍坊模拟)倾斜角为60°的直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点, (2)求△OAB的面积(O为坐标原点). 【解析】(2)因为抛物线的方程为y2=4x,所以抛物线的焦点坐标为F(1,0). 又因为倾斜角为60°的直线l,所以斜率为, 所以直线AB的方程为y=(x-1).代入抛物线方程消去y并化简得3x2-10x+3=0. 方法一:解得x1=,x2=3,所以|AB|=|x1-x2|=×3-=. 又点O到直线x-y-=0的距离为d=, 所以S△OAB=|AB|·d=××=. 方法二:Δ=100-36=64>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,过A,B分别作准线x=-1的垂线,设垂足分别为E,D如图所示. |AB|=|AF|+|BF|=|AE|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=. 点O到直线x-y-=0的距离为d=, 所以S△OAB=|AB|·d=××=. 解题技法 (1)直线与抛物线的弦长问题 注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则必须用一般弦长公式. (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法. 提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. 对点训练 1.(2024·湛江模拟)已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,过F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与圆x2+(y-2)2=4交于D,E两点,A,D在y轴的同侧,则|AD|·|BE|=(　　) A.1 B.4 C.8 D.16 【解析】选B.由题可知F(0,2),直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得x2-8kx-16=0,故x1x2=-16.又y1=,y2=, 所以y1y2==4.圆x2+(y-2)2=4的圆心为F(0,2),半径r=2, 所以|AD|=|AF|-r=|AF|-2,|BE|=|BF|-r=|BF|-2. 又|AF|=y1+2,|BF|=y2+2,所以|AD|=y1+2-2=y1,|BE|=y2+2-2=y2, 所以|AD|·|BE|=y1y2=4. 2. 已知抛物线方程为y2=4x,直线l:x+y+=0,抛物线上一动点P到直线l的距离的最小 值为________________.  【解析】设与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为x+y+m=0, 由,得y2+4y+4m=0, 则Δ=16-16m=0,得m=1, 所以切线方程为x+y+1=0, 所以抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为d==. 【加练备选】 　　(2024·西安模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-. (1)求抛物线的方程; 【解析】(1)因为抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-, 所以 -=-, 解得p=1, 所以抛物线的方程为y2=2x. (2)设直线y=k(x-2)(k≠0)与抛物线相交于M,N两点,若|MN|=2,求实数k的值. 【解析】(2)如图,设M(x1,y1),N(x2,y2). 将y=k(x-2)代入y2=2x,消去y整理得 k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0. 当Δ=4-4k2·4k2>0时,x1+x2==, x1x2=4. |MN|=|x1-x2|===2, 化简得:(1+k2)(16k2+4)=40k4,解得k2=1, 经检验,此时Δ>0,故k=±1. 重难突破 抛物线的结论及其应用 【考情分析】 (1)过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重点,这是因为在这一关系中具有很多性质,并通过这些性质及运算推导出很多有用的结论,常常是高考命题的切入点. (2)熟悉并记住抛物线焦点弦的结论,在解选择题、填空题时可直接运用,减少运算量;在做解答题时也可迅速打开解题思路. 【常用结论】 我们以抛物线y2=2px(p>0)为例来研究 【探究】已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为直线AB与x轴正半轴的夹角,若A(x1,y1),B(x2,y2),则有下列结论: 结论1:y1y2=-p2,x1x2=. 结论2:|AB|=x1+x2+p=. 结论3:+=. 结论4:|AF|=x1+=,|BF|=x2+=. 结论5:S△AOB=|OF|·|y1-y2|=. 【结论证明】 通常在证明上述结论时,设出直线的方程与抛物线方程联立,利用根与系数关系求解,特别地,还要讨论斜率存在与否的情况,过程烦琐,运算量大.下面我们提供比较简单的证明结论的方法: 【证明】由图可知|AF|-|AF|cos α=p,得|AF|=, 同理可得|BF|=.(结论4) +=+=(结论3) |AB|=|AF|+|BF|=+=.(结论2) 由图可知y1=|AF|sin α,y2=-|BF|sin α, 则y1y2=-|AF||BF|sin2α=-·sin2α=-p2(结论1) S△AOB=|AB|×sin α=××sin α=(结论5) 【典例研习】 类型一 +=的应用 [例1]已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,则2|AF|+|BF|最小值 为(　　) A.2 B.2+3 C.4 D.3+2 【解析】选D.因为p=2,所以+==1, 所以2|AF|+|BF|=(2|AF|+|BF|)·(+)=3++≥3+2=3+2, 当且仅当|BF|=|AF|时,等号成立, 因此,2|AF|+|BF|的最小值为3+2. 类型二 焦半径、弦长问题 [例2]已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1与C相交于A,B两点,直线l2与C相交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　) A.16 B.14 C.12 D.10 【解析】选A.如图,设直线l1的倾斜角为θ,θ∈(0,),则直线l2的倾斜角为+θ, 由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|==,|DE|==, 所以|AB|+|DE|=+==≥16, 当且仅当sin2θ=1,即θ=时取等号. 所以|AB|+|DE|的最小值为16. 类型三 面积问题 [例3]设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.由2p=3,及|AB|= 得|AB|===12. 原点到直线AB的距离d=|OF|·sin 30°=, 故S△AOB=|AB|·d=×12×=. 对点训练 1.(2023·福州联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为的直线交C于A,B两点,线段AB中点的纵坐标为,则|AB|=(　　) A. B.4 C.8 D.24 【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以kAB===. 因为线段AB中点的纵坐标为,所以y1+y2=2,又直线AB的倾斜角为,所以kAB=,即=,得p=3.所以抛物线C的方程为y2=6x,所以|AB|===8. 2.设抛物线E:y2=6x的弦AB过焦点F,|AF|=3|BF|,过A,B分别作E的准线的垂线,垂足分别是A',B',则四边形AA'B'B的面积等于(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 【解析】选C.方法一:不妨令A在x轴上方,如图所示,作BG⊥AA',垂足为G, 则=,|BG|=. 设|BF|=m,由|AF|=3|BF|,得|AF|=3m,所以|AB|=4m. 由抛物线的定义知=|AF|=3m,=|BF|=m, 则|AG|=2m,所以∠BAA'=.易知p=3,得|AB|===8, 所以|BG|=|AB|sin=4, 则S四边形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=|AB|×|BG|=×8×4=16. 方法二:不妨令A在x轴上方,如图所示,作BG⊥AA',垂足为G, 由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|, 由+==,|AF|=3|BF|得,|BF|=2,|AF|=6, 所以|AA'|+|BB'|=|AF|+|BF|=8,|AG|=|AA'|-|BB'|=4, 所以|A'B'|=|BG|==4, 则S四边形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=×(6+2)×4=16. 方法三:设直线AB的倾斜角为α,不妨令A在x轴上方, |AF|==,|BF|==, 由|AF|=3|BF|,得=3×, 解得cos α=,因为α∈(0,π),所以α=, 由抛物线定义,得|AA'|=|AF|==6,|BB'|=|BF|==2, 所以|A'B'|=(|AF|+|BF|)sin α=8sin =4, 则S四边形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=×(6+2)×4=16. 【加练备选】 　　已知A,B是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点,O是坐标原点,且满足=3,S△OAB=|AB|,则|AB|的值为(　　) A. B. C.4 D.2 【解析】选A.如图,不妨令直线AB的倾斜角为α,α∈(0,), 因为=3,所以F为AB的三等分点, 令|BF|=t,则|AF|=2t,由+=,得+=⇒t=p, 所以|AB|=3t=p,又|AB|=,所以=p⇒sin α=, 又S△AOB=|AB|,所以=|AB|,即=·p⇒p=2, 所以|AB|=. 谢谢观赏！！ $$