拓展拔高3-用构造法解决函数问题课件-2025届高三数学一轮复习

拓展拔高3　用构造法解决函数问题 【高考考情】函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,既可能在选择、填空题中运用,也可能在解答题中出现. 【解题关键】通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 视角一　通过变量构造具体函数 [例1](1)若0<x1<x2<1,则(　　) A.->ln x2-ln x1 B.-<ln x2-ln x1 C.x2>x1 D.x2<x1 【解析】选C.构造函数f(x)=ex-ln x, 所以f'(x)=ex-,且在(0,1)上有零点, 所以f(x)在(0,1)上有一个极值点, 所以f(x)在(0,1)上不单调,无法判断f(x1)与f(x2)的大小,故A,B错误; 令g(x)=,所以g'(x)=<0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减, 又因为x2>x1>0, 所以>,即x2>x1. (2)(2023·石家庄模拟)若ln x-ln y<-(x>1,y>1),则(　　) A.ey-x>1 B.ey-x<1 C.ey-x-1>1 D.ey-x-1<1 【解析】选A.依题意,ln x-<ln y-, 令f(t)=t-(t≠0), 则f'(t)=1+>0, 所以f(t)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增; 又x>1,y>1,得ln x>0,ln y>0, 因为f(ln x)<f(ln y),所以ln x<ln y, 所以1<x<y,即y-x>0, 所以ey-x>e0=1,A正确,B不正确; 又无法确定y-x-1与0的大小关系,故C,D不正确. 思维升华 若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解. 视角二　利用导数的运算法则构造函数 微切口1　利用f(x)与xn构造函数 [例2]设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1)=0,当x<0时,有xf'(x)-f(x)>0恒成立, 则不等式f(x)>0的解集为________________.  (-∞,-1)∪(1,+∞) 【解析】构造F(x)=, 则F'(x)=, 当x<0时,xf'(x)-f(x)>0,可以推出 当x<0时,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增. 因为f(x)为偶函数,所以F(x)为奇函数, 所以F(x)在(0,+∞)上也单调递增. 根据f(1)=0可得F(1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略),根据图象可知f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞). 思维升华 (1)出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x); (2)出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 微切口2　利用f(x)与ex构造函数 [例3](2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>0,且有f(3)=3, 则f(x)>3的解集为________.  (3,+∞) 【解析】设F(x)=f(x)·ex, 则F'(x)=f'(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f'(x)]>0, 所以F(x)在R上单调递增. 又f(3)=3,则F(3)=f(3)·e3=3e3. 因为f(x)>3e3-x等价于f(x)·ex>3e3, 即F(x)>F(3), 所以x>3,即所求不等式的解集为(3,+∞). 思维升华 (1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x); (2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 迁移应用 已知可导函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的x∈R,都有f'(x)-f(x)<1,且f(0)=2 022,则不等式f(x)+1>2 023ex的解集为(　　) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C. .(-∞,) D.(-∞,1) 【解析】选A.构造函数F(x)=, 则F'(x)==, 因为f'(x)-f(x)<1, 所以F'(x)<0恒成立, 故F(x)=在R上单调递减,f(x)+1>2 023ex可变形为>2 023, 又f(0)=2 022,所以F(0)==2 023, 所以F(x)>F(0),解得x<0. 微切口3　利用f(x)与sin x,cos x构造函数 [例4](多选题)已知定义在(0,)上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0成立,则(　　) A. f()>f () B.f ()>f () C.f ()>f() D.f()>f() 【解析】选CD.令g(x)=,x∈(0,), 则g'(x)=, 又由x∈(0,),且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0, 则有g'(x)<0,即函数g(x)在(0,)上单调递减. 由<,则有g()>g(), 即>,可得f()>f(); 又由<,则有g()>g(), 即>,可得f()>f(). 思维升华 函数f(x)与sin x,cos x相结合构造可导函数的几种常见形式: F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x; F(x)=,F'(x)=; F(x)=f(x)cos x,F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x; F(x)=,F'(x)=. 迁移应用 已知偶函数f(x)的定义域为(-,),其导函数为f'(x),当0<x<时,有f'(x)cos x+ f(x)sin x<0成立,则关于x的不等式f(x)<2f()cos x的解集为(　　) A. (-,-)∪(,) 　 B. (-,) C. (-,-) 　　 D. (,) 【解析】选A.因为偶函数f(x)的定义域为(-,), 所以设g(x)=, 则g(-x)==, 即g(x)也是偶函数.当0<x<时, 根据题意g'(x)=<0, 则g(x)在(0,)上单调递减,且为偶函数, 则g(x)在(-,0)上单调递增. 所以f(x)<2f()cos x⇔<⇔g(x)<g(), 所以 解得x∈(-,-)∪(,). 谢谢观赏！！ $$