2024年中考数学母题揭秘专题讲义：专题14 二次函数及应用

专题14 二次函数及应用 ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ 命题意图 考查二次函数的图象和性质，主要是为了检验学生对该知识的迁移应用，一般难度比较大．考查用描点法画二次函数的图象，从图象上认识二次函数的性质．考查根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，要求掌握二次函数图象的平移．考查二次函数的实际应用一般都需要先根据实际意义建议适合的平面直角坐标系，考查考生对实际问题的转化． 考向分析 中考频度：★★★★☆ 难度系数：★★★★★ 二次函数的图象和性质通常以解答题的形式出现，难度较大，可能考查压轴题．考查二次函数性质的应用难度可大可小，考查由点的坐标确定函数的表达式、求函数的顶点坐标以及利用函数的增减性求其最值等，可结合的考点比较多．考查用二次函数解决有关的实际问题． 答题技巧 1．一般地，由的图象便可得到二次函数的图象：的图象可以看成先沿轴整体左（右）平移了个单位（当时，向右平移个单位；当时，向左平移个单位），再沿轴整体上（下）平移了个单位（当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位）． 2．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） （1） （2） 简称a与b“左同右异”； （3） 3．由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 知识盘点 1．二次函数的概念 一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数． 2．二次函数的图象 当a＞0时，开口向上 当a＜0时，开口向下 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0） a＞0 a＜0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x＝－ 直线x＝－ 顶点坐标 增减性 当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大 当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小 最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值 4．二次函数的性质 抛物线 顶点坐标 对称轴 直线 直线 位置 由和的符号确定 由和的符号确定 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧，随着的增大而减小； 在对称轴的右侧，随着的增大而增大． 在对称轴的左侧，随着的增大而增大； 在对称轴的右侧，随着的增大而减小． 最值 当时，最小值为 当时，最大值为 开口大小 |a| 越大，开口越小，|a| 越小，开口越大． 5．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 左加右减、上加下减． 6．列一元二次方程解应用题的步骤： （1）审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． （2）设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． （3）列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． （4）解：准确求出方程的解． （5）验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． （6）答：写出答案． 7．二次函数的应用： （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1 【母题来源】（2024•广东） 【母题再现】 若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2的图象上，则（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2 【答案】A 【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据二次函数的增减性即可判断． 【解答】解：∵二次函数y＝x2， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴． ∴当x≥0时，y随x的增大而增大， ∵0＜1＜2， ∴y1＜y2＜y3， 故选：A． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 2 【母题来源】（2024•泰安） 【母题再现】 如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c0一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＜2．其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故①正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2，3之间， ∴与x轴的另一个交点在﹣1，0之间， ∴方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣1和0之间，故②错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y有两个交点， ∴方程ax2+bx+c0一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间， ∴a﹣b+c＜0， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴c＝2， ∴a﹣b+2＜0， ∴b﹣a＞2．故④错误． 故选：B． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 3 【母题来源】（2024•赤峰） 【母题再现】 如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．1 【答案】B 【分析】分别过A，C两点作y轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 将A，C两点的横坐标代入函数解析式得， 点A坐标为（m，﹣m2+4），点C坐标为（n，﹣n2+4）， 所以AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4． 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD＝CD，∠ADC＝90°， 所以∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°， 所以∠CDN＝∠DAM． 在△CDN和△DAM中， ， 所以△CDN≌△DAM（AAS）， 所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m， 所以MN＝DM+DN＝m+n， 又因为MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2， 所以m2﹣n2＝m+n， 即（m+n）（m﹣n）＝m+n， 因为m＞n＞0， 所以m+n≠0， 所以m﹣n＝1． 故选：B． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 4 【母题来源】（2024•包头） 【母题再现】 将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2 【答案】A 【分析】根据配方法先化为顶点式，再根据上加下减的原则得出解析式即可． 【解答】解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1． 将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝（x+1）2﹣3， 故选：A． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 5 【母题来源】（2024•齐齐哈尔） 【母题再现】 如图，二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3．结合图象给出下列结论： ①ab＞0； ②a﹣b＝﹣2； ③当x＞1时，y随x的增大而减小； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是； ⑤b的取值范围为1＜b．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据对称轴位置即可判断①；由二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0）即可判断②；求得对称轴，利用二次函数的性质即可判断③；利用根与系数的关系即可判断④；由2＜x1＜3得到关于b的不等式组，解不等式组求得b的取值范围即可判断⑤． 【解答】解：由图象可知，0， ∴ab＜0，故结论①错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0）， ∴a﹣b+2＝0，即a﹣b＝﹣2，故结论②正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3， ∴1， ∵抛物线开口向下， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故结论③正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0）， ∴﹣1，x1是方程ax2+bx+2＝0的两个根， ∴﹣1•x1， ∴x1， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是，故结论④正确； ∵a﹣b+2＝0， ∴a＝b﹣2， ∴y＝（b﹣2）x2+bx+2， ∵2＜x1＜3， ∴， 解得1＜b，故结论⑤正确． 故选：C． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 6 【母题来源】（2024•湖北） 【母题再现】 已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（﹣1，﹣2），与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＝﹣2 D．b2﹣4ac＝0 【答案】C 【分析】依据题意，由抛物线顶点为（﹣1，﹣2），故可设抛物线为y＝a（x+1）2﹣2，从而y＝a（x2+2x+1）﹣2＝ax2+2ax+a﹣2，则b＝2a，c＝a﹣2，结合抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c＝a﹣2＞0，则a＞2＞0，故可判断A、B；又抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），从而当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣2，故可判断C；又b＝2a，c＝a﹣2，可得b2﹣4ac＝4a2﹣4a（a﹣2）＝8a＞0，故可判断D． 【解答】解：由题意，∵抛物线顶点为（﹣1，﹣2）， ∴可设抛物线为y＝a（x+1）2﹣2． ∴y＝a（x2+2x+1）﹣2＝ax2+2ax+a﹣2． 又抛物线为y＝ax2+bx+c， ∴b＝2a，c＝a﹣2． ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＝a﹣2＞0． ∴a＞2＞0，故A、B均不正确． 又抛物线的顶点为（﹣1，﹣2）， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣2，故C正确． 由b＝2a，c＝a﹣2， ∴b2﹣4ac＝4a2﹣4a（a﹣2）＝8a＞0，故D错误． 故选：C． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 7 【母题来源】（2024•天津） 【母题再现】 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6s； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】令h＝0，解方程求出t的值，即可判断①；求出h的最大值，即可判断②；分别求出t＝2和t＝5时h的值是，即可判断③． 【解答】解：①令h＝0，则30t﹣5t2＝0， 解得t1＝0，t2＝6， ∴小球从抛出到落地需要6s， 故①正确； ②h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t）＝﹣5（t﹣3）2+45， ∵﹣5＜0， ∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45， ∴小球运动中的高度可以是30m， 故②正确； ③t＝2时，h＝30×2﹣5×4＝40（m）， t＝5时，h＝30×5﹣5×25＝25（m）， ∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度， 故③错误． 故选：C． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 8 【母题来源】（2024•新疆） 【母题再现】 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 　　． 【答案】（4，1）． 【分析】作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时，AD+BC的值最小，利用解析式求得A、B点的坐标，根据抛物线的对称性求得A′的坐标，进一步求得A″的坐标，利用待定系数法求得直线A″B的解析式，即可求得点C的坐标． 【解答】解：作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时AD+BC的值最小，AD+BC＝A″B， 在中，令x＝0，则y＝6， ∴点A（0，6）， 令y＝0，则， 解得x＝2或x＝6， ∴点B（2，0）， ∵抛物线的对称轴为直线x4， ∴A′（8，6）， ∴A″（8，3）， 设直线A″B的解析式为y＝kx+b， 代入A″、B的坐标得， 解得， ∴直线A″B的解析式为yx﹣1， 当x＝4时，y＝1， ∴C（4，1）． 故答案为：（4，1）． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 9 【母题来源】（2024•广西） 【母题再现】 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　　m． 【答案】． 【分析】以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系，由题意可知，P（0，），B（5，4），其中B点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4，将P（0，）代入上式，求出a的值，进而求出抛物线表达式，最后将y＝0代入表达式中即可得出答案． 【解答】解：如图，以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系， 由题意可知，P（0，），B（5，4），其中B点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4， 将P（0，）代入上式， 解得：a， 即抛物线的解析式式为：y（x﹣5）2+4， M为抛物线与x轴的交点， 即y（x﹣5）2+4＝0， 解得：x1，x2（舍）， ∴OMm． 故答案为：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 10 【母题来源】（2024•烟台） 【母题再现】 已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5 y 0 5 9 5 ﹣27 下列结论： ①abc＞0； ②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根； ③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5； ④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2； ⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3． 其中正确结论的序号为 　　． 【答案】①②④． 【分析】利用待定系数法求出a、b、c的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤． 【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得： ， 解得 ∴abc＞0，故①正确； ∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8， ∴y＝﹣x2﹣2x+8， 当y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9， ∴x2+2x+1＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×1＝0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9）， 又∵a＜0， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＝﹣1时，函数取最大值9， ∵x＝﹣3与x＝1时函数值相等，等于5， ∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误； ∵， ∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴x＝﹣1对称， ∴y1＝y2，故④正确； 由ax2+（b+1）x+c＜2 得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，画函数 y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2图象如下： 由， 解得， ∴A（2，0），B（﹣3，5）， 由图形可得，当x＜﹣3或x＞2时，﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，即ax2+（b+1）x+c＜2，故⑤错误； 综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 11 【母题来源】（2024•德阳） 【母题再现】 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（，n），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（﹣6，y1），（5，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 　　（请填写序号）． 【答案】①②④． 【分析】依据题意，利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断①；利用抛物线的对称轴求出ab，根据图象可得当x＝1时，y＝a+b+c＜0，即可判断②；利用二次函数的性质即可判断③；根据抛物线与直线y＝4无交点即可判断④． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（，n）， ∴． ∴ab， ∵抛物线开口方向向下，即a＜0， ∴b＜0， 当x＝0时，y＝c＞0， ∴abc＞0，故①正确． 由图象可得：当x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∴5b+2c＜0，故②正确． ∵直线x是抛物线的对称轴， ∴点（﹣6，y1）到对称轴的距离大于点（5，y2）到对称轴的距离， ∴y1＜y2，故③错误． ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根， ∴顶点A（，n）在直线y＝4的下方， ∴n＜4，故④正确． 故正确的有①②④． 故答案为：①②④． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 12 【母题来源】（2024•广东） 【母题再现】 广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【答案】该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值为312.5万元． 【分析】设该果商定价x万元时每天的“利润”为w万元，根据题意列出w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的单调性即可得出答案． 【解答】解：设该果商定价x万元时每天的“利润”为w万元， w＝（x﹣2）[100+50（5﹣x）] ＝﹣50（x﹣4.5）2+312.5， ∵﹣50＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝4.5时，w有最大值，最大值为312.5万元， 答：该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值为312.5万元． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 13 【母题来源】（2024•雅安） 【母题再现】 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3； （2）点Q（，）； （3）存在，E（0，5）． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由PQ＝x﹣3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，即可求解； （3）当∠EDB为直角时，则直线DE的表达式为：y（x﹣5）+8，则点E（0，），由点D、E的坐标得，DE2＝52+（8）2≠68，故该点E不符合题设要求；当∠EBD为直角时，同理可得，点E不符合题设要求；当∠DEB为直角时，证明△DEG≌△EOB（AAS），即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3， 则a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3）， 由点B、C的坐标得，直线CB的表达式为：y＝x﹣3， 设点P（x，x2﹣4x+3），则点Q（x，x﹣3）， 则PQ＝x﹣3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x， ∵﹣1＜0， 故PQ有最大值， 此时x，则y＝x2﹣4x+3， 即点Q（，）； （3）存在，理由： 由点C、Q的坐标得，直线CQ的表达式为：yx﹣3， 过点Q作TQ∥y轴交x轴于点T，则∠TQA＝∠QCO， ∵∠CQD＝2∠OCQ，∠TQA＝∠QCO， 则∠CQT＝∠QQT， 即直线AQ和DQ关于直线QT对称， 则直线DQ的表达式为：y（x）， 联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣4x+3（x）， 解得：x（舍去）或5， 即点D（5，8）； 由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝4（x﹣5）+8，BD2＝68， 当∠EDB为直角时， 则直线DE的表达式为：y（x﹣5）+8， 则点E（0，）， 由点D、E的坐标得，DE2＝52+（8）2≠68， 故该点E不符合题设要求； 当∠EBD为直角时， 同理可得，点E不符合题设要求； 当∠DEB为直角时， 如下图，过点D作DG⊥y轴于点G， ∵△BDE为等腰三角形， 则DE＝BE，∠DEB＝90°， ∵∠DEG+∠BEO＝90°，∠BEO+∠EBO＝90°， ∴∠DEG＝∠EBO， ∵∠DGE＝∠EOB＝90°， ∴△DEG≌△EOB（AAS）， 则DG＝5＝OE，GE＝OB＝3， 而OG＝OE+GE＝5+3＝8＝yD， 即点E（0，5）． 综上，E（0，5）． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 14 【母题来源】（2024•泰安） 【母题再现】 如图，抛物线的图象经过点D（1，﹣1），与x轴交于点A，点B． （1）求抛物线C1的表达式； （2）将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上； （3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）yx2x﹣4； （2）C2：y（x）2，点D在抛物线C2上； （3）存在，点P的坐标为：（2，2）或（﹣1，3）． 【分析】（1）将点D的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由题意得：C2：y（x﹣1）2（x﹣1）﹣4+3（x）2，当x＝1时，y（x）2（1）21，即可求解； （3）当∠BAP为直角时，证明△DGB≌△EHD（AAS），求出点E（2，2），当x＝2时，y（x）2（2）22，即点E在抛物线C2上，即点P即为点E（2，2）；当∠DBP为直角时，同理可解；当∠HPD为直角时，如图3，同理可得点E（0，1），即可求解． 【解答】解：（1）将点D的坐标代入抛物线表达式得：﹣1＝a4， 解得：a， 则抛物线的表达式为：yx2x﹣4； （2）由题意得：C2：y（x﹣1）2（x﹣1）﹣4+3（x）2， 当x＝1时，y（x）2（1）21， 故点D在抛物线C2上； （3）存在，理由： 当∠BAP为直角时， 如图1，过点D作DE⊥BD且DE＝BE，则△BDE为等腰直角三角形， ∵∠BDG+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°， ∴∠BDG＝∠DEH， ∵∠DGB＝∠EHD＝90°， ∴△DGB≌△EHD（AAS）， 则DH＝BG＝1，EH＝GD＝1+2＝3， 则点E（2，2）， 当x＝2时，y（x）2（2）22， 即点E在抛物线C2上， 即点P即为点E（2，2）； 当∠DBP为直角时，如图2， 同理可得：△BGE≌△DHB（AAS）， 则DH＝3＝BG，BH＝1＝GE， 则点E（﹣1，3）， 当x＝﹣1时，y（x）2（﹣1）23， 即点E在抛物线C2上， 即点P即为点E（﹣1，3）； 当∠HPD为直角时，如图3， 设点E（x，y）， 同理可得：△EHB≌△DGE（AAS）， 则EH＝x+2＝GD＝y+1且BH＝y＝GE＝1﹣x， 解得：x＝0且y＝1，即点E（0，1）， 当x＝0时，y（x）2（0）21， 即点E不在抛物线C2上； 综上，点P的坐标为：（2，2）或（﹣1，3）． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 15 【母题来源】（2024•包头） 【母题再现】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴相交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧），顶点为M（2，d），连接AM． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC，CM．当点C的坐标为（0，）时，求证：∠ACM＝∠BAM； （3）如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M′处，过点B的直线与线段AM′相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当时，3S△ABD与2S△M′BD是否相等？请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣2x2+8x﹣6； （2）见解析； （3）3S△ABD＝2S△M′BD． 【分析】（1）根据顶点坐标，求出b的值，再将点A代入函数解析式即可确定具体解析式； （2）过点M作MN⊥x轴交于点N，利用勾股定理逆定理证明△ACM是直角三角形，且∠CAM＝90°，则tan∠ACM＝2，在Rt△AMN中，tan∠MAB＝2，由此可证明∠ACM＝∠BAM； （3）过点D作DH⊥x轴交于H点，根据OE∥DH，可知，即，从而求出D（，），再求AD，DM'，设B点到AM'的距离为h，根据3S△ABDh，2S△M′BDh，即可得到3S△ABD＝2S△M′BD． 【解答】（1）解：∵顶点为M（2，d）， ∴2， ∴b＝8， ∴y＝﹣2x2+8x+c， 将点A（1，0）代入y＝﹣2x2+8x+c， ∴﹣2+8+c＝0， 解得c＝﹣6， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+8x﹣6； （2）证明：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2， ∴M（2，2）， 过点M作MN⊥x轴交于点N， ∵A（1，0），C（0，）， ∴AC，AM，CM， ∵CM2＝AC2+AM2， ∴△ACM是直角三角形，且∠CAM＝90°， ∴tan∠ACM＝2， 在Rt△AMN中，tan∠MAB＝2， ∴∠ACM＝∠BAM； （3）解：3S△ABD＝2S△M′BD，理由如下： ∵M（2，2）， ∴M'（2，﹣2）， 过点D作DH⊥x轴交于H点， ∵OE∥DH， ∴， 当y＝0时，﹣2x2+8x﹣6＝0， 解得x＝1或x＝3， ∴B（3，0）， ∴， 解得xD， 设直线AM'的解析式为y＝kx+m， ∴， 解得， ∴直线AM'的解析式为y＝﹣2x+2， ∴D（，）， ∴AD，DM'， 设B点到AM'的距离为h， ∴3S△ABD3hh，2S△M′BD2hh， ∴3S△ABD＝2S△M′BD． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 16 【母题来源】（2024•广州） 【母题再现】 已知抛物线G：y＝ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1（a＞0）过点A（x1，2）和点B（x2，2），直线l：y＝m2x+n过点C（3，1），交线段AB于点D，记△CDA的周长为C1，△CDB的周长为C2，且C1＝C2+2． （1）求抛物线G的对称轴； （2）求m的值； （3）直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后（0≤t＜45）得到直线l′，当l′∥AB时，直线l′交抛物线G于E，F两点． ①求t的值； ②设△AEF的面积为S，若对于任意的a＞0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式． 【答案】（1）直线x＝3； （2）m＝±1； （3）①14秒；②k的最大值为2，y＝x2﹣6x+2． 【分析】（1）由抛物线对称轴公式即可求解； （2）由C1＝C2+2，即AC+CD+AD＝BC+CD+BD+2，得到2xD＝xA+xB+2，即可求解； （3）①当m＝±1时，一次函数的表达式为：y＝m2（x﹣3）+1＝x﹣2，该直线和x轴的夹角为45°，即可求解； ②由SEF×（yA﹣yE）EF，而EF2＝（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4（a2﹣2a+9），即可求解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x3； （2）直线l：y＝m2x+n过点C（3，1），则该直线的表达式为：y＝m2（x﹣3）+1， 当y＝2时，2＝m2（x﹣3）+1， 则xD3， ∵C1＝C2+2，即AC+CD+AD＝BC+CD+BD+2， 其中，AC＝BC，上式变为：AD＝BD+2， 即2xD＝xA+xB+2， 而函数的对称轴为直线x＝3，由函数的对称性知，xA+xB＝2×3＝6， 即2xD＝xA+xB+2＝8， 则xD＝43， 解得：m＝±1； （3）①当m＝±1时，一次函数的表达式为：y＝m2（x﹣3）+1＝x﹣2， 该直线和x轴的夹角为45°， 则t＝45÷3＝14（秒）； ②由①知，l为：y＝1，如下图： 则SEF×（yA﹣yE）EF， 联立直线l和抛物线的表达式得：ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1＝1， 即x2﹣6x﹣a2+2a＝0， 设点E、F的横坐标为m，n， 则m+m＝6，nm＝﹣a2+2a， 则EF2＝（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4（a2﹣2a+9）， 则SEF2， 当a＝1时，等号成立， 即k的最大值为：2，a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+2． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 1．（2024•香坊区校级四模）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的抛物线解析式为　　 A． B． C． D． 2．（2024•阜阳二模）若抛物线是常数）的顶点到轴的距离为2，则的值为　　 A． B． C．或 D．或 3．（2024•潍城区二模）已知点，，点，是二次函数图象上的两点，其中，则下列说法不正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2024•东莞市校级三模）若点，在抛物线上，则，的大小关系为 　　（用“”连接）． 5．（2024•祁阳市二模）抛物线的顶点坐标是　　． 6．（2024•潮南区校级三模）如图1，抛物线和直线交于，两点，过点作直线轴于点． （1）求的度数． （2）如图2，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上． ①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 7．（2024•大安市四模）如图、在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点在抛物线上，点的横坐标为．点的坐标为，以为对角线作矩形，使轴． （1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）求抛物线与轴的交点坐标； （3）当时，求抛物线在矩形内部的图象（包含边界）的最大值与最小值的差； （4）当抛物线与矩形的边恰好有4个交点（包含端点）时，直接写出的取值范围． ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ 1．【答案】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移2个单位所得抛物线的解析式为：． 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移1个单位所得抛物线的解析式为：，即． 故选：． 2．【答案】 【分析】把二次函数解析式化为顶点式，再根据顶点到轴的距离为2，得出顶点纵坐标的绝对值，解方程求出的值即可． 【解答】解：， 抛物线是常数）的顶点坐标为， 顶点到轴的距离为2， ， 即或， 解得或， 故选：． 3．【答案】 【分析】由解析式可知抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线与轴的交点为，，然后根据二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征进行判断即可． 【解答】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线与轴的交点为，， 、若，则点，，点，在对称轴的左侧，随的增大而减小， ；故选项正确，不合题意； 、若，则点，，点，关于对称轴对称， ；故选项正确，不合题意； 、若，例如，，满足，但点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时；故选项不正确，符合题意； 、若，则点，，点，在轴的下方，，， ；故选项正确，不合题意； 故选：． 4．【答案】． 【分析】根据所给函数解析式，得出抛物线的对称轴及开口方向，再根据，两点离对称轴的远近即可解决问题． 【解答】解：由抛物线的解析式可知， 抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 所以抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大． 因为，，且， 所以． 故答案为：． 5． 【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴． 【解答】解：是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故答案为：． 6．【答案】（1）； （2）①；②当或或2时，矩形的顶点落在抛物线上． 【分析】（1）由点的坐标得，，则，则为等腰直角三角形，则的度数为； （2）①证明，得到矩形的面积，即，即可求解； ②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点坐标，分别讨论、、在抛物线上时的情况，并分别求出值． 【解答】解：（1）联立和直线得：， 解得：或3， 则， 由点的坐标得，，则， 则为等腰直角三角形， 则的度数为； （2）①如图，过点作轴于点， ，点速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度， ，，， ，， 秒时点坐标为，点坐标为， ， 矩形， ， ，， ， 又， ， ， 矩形的面积， ， ， 当时， 矩形的面积最小值； ②当或或2时，矩形的顶点落在抛物线上． 由①点坐标为，坐标为， ，可得， 点坐标为， 由矩形对角线互相平分， 点坐标为， 当在抛物线上时， ， 解得：， 当点到时，在抛物线上，此时， 当在抛物线上时，， ， 综上所述，当或或2时，矩形的顶点落在抛物线上． 7．【答案】（1）； （2）； （3）最大值与最小值的差为2； （4）或． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）对于，当时，，即可求解； （3）当时，可得，，，，结合图形即可求得答案； （4）当，解得：，，则；当，解得：，可得出答案； 【解答】解：（1）将点代入函数表达式得：， 解得， 抛物线所对应的函数表达式为； （2）对于，当时，， 即抛物线与轴的交点坐标； （3）当时，则，， ， 把代入得：， ， 以为对角线作矩形，使轴， ，，如图， 抛物线在矩形内部的图象（包含边界）的最大值为4，最小值为2， 最大值与最小值的差为． （4）由题意得：，， 当， 解得：，， ； 当， 解得：， ． 综上：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$