精品解析：浙江省学军中学紫金港校区2023-2024学年高二下学期期中数学试题

杭州学军中学2023学年第二学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的方向向量，直线的方向向量，则不重合直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不能确定 3. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A. B. C. D. 4. 若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ） A. B. C. D. 7. 设为偶数，则被整除的余数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 8. 设函数 （其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏高直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是（ ） A. 相关变量x，y具有正相关关系 B. 剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 C. 剔除该异常点后的回归直线方程经过点 D. 剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小 10. 已知函数的导函数为，则（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 函数的单调递减区间为 D. 若函数有两个不同的零点，则 11. 设一组样本的统计数据为：，其中，已知该样本的统计数据的平均数为，方差为，设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 设，则的平均数为 B. 设，则的方差为 C. 当时，函数有最小值中 D. 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________． 13. 我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线的离心率分别为，则的最大值是________． 14. 已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差 16. 已知数列的前n项和为，且关于x的方程有两个相等的实数根． （1）求的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值． 17. 某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金． （1）已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； （2）已知该商场开业促销活动的经费为21250元，问该活动是否会超过预算?请说明理由． 18. 已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 将2024表示成7个正整数之和，得到方程①，称七元有序数组为方程①的解，对于上述的七元有序数组，当时，若），则称是密集的一组解． （1）方程①是否存在一组解，使得等于同一常数? 若存在，请求出该常数，若不存在，请说明理由； （2）方程①的解中共有多少组是密集的? （3）记，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2023学年第二学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程一般式化成斜截式方程，根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】，所以该直线的斜率为， 因此该直线的倾斜角为， 故选：D 2. 直线的方向向量，直线的方向向量，则不重合直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的关系，判断直线的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以直线与平行. 故选：B 3. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正态密度曲线的对称性逐项判断即可得. 【详解】正态分布的正态密度曲线关于直线对称， 可得图中阴影部分可表示为，故选项A，B正确； 对C：由对称性可得，故选项C错误； 对D：由对称性可得， 所以图中阴影部分面积可表示为，故选项D正确． 故选：C． 4. 若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】由已知条件可得，所以，. 二项式的展开式通项为， 令，解得， 因此，展开式中的常数项为. 故选：C. 5. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】直线即，恒过定点， 曲线即表示以点为圆心，半径为1， 且位于直线上方的半圆（包括点，）， 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为； 当与半圆相切时，由，得，切线记为， 分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是. 故选：B. 6. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以. 故选：A. 7. 设为偶数，则被整除的余数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合二项式定理，化简原式，再利用二项展开式，即可求解. 【详解】由题意，可得 ， 因为为偶数， 所以原式 因为能被整除， 所以被整除的余数是. 故选：A. 8. 设函数 （其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得等价于， 令，函数)和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案． 【详解】函数的定义域为，由得， 所以.令， 由题意得，函数和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值， 由得， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，无最小值， 由得，， 若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意， 若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则由即且，得. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，求解参数的取值范围，要注意根据函数的定义域对不等式进行适当化简和变形. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏高直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是（ ） A. 相关变量x，y具有正相关关系 B. 剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 C. 剔除该异常点后的回归直线方程经过点 D. 剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小 【答案】BC 【解析】 【分析】由回归直线方程的，可得判定A不正确；由剔除后，变量的拟合程度变大，可得判定B正确；求得剔除后的，，可得判定C正确；根据题意，列出方程组求得的值，得出新的回归直线方程，结合的变化，可判定D错误. 【详解】对于A中，由回归直线方程为，可得，所以相关变量具有负相关关系，所以A不正确； 对于B中，剔除一个偏高直线较大的异常点后，变量的拟合程度变大，所以样本相关系数的绝对值变大，所以B正确； 对于C中，由回归直线方程为，且，可得，剔除一个偏高直线较大的异常点后，得到，，即回归直线方程经过点，所以C正确； 对于D中，由新的回归直线经过点，列方程组，解得，所以新的回归直线方程为，斜率由变成，所以剔除该异常点后，随值的增加相关变量值减小的速度变大，所以D错误. 故选：BC. 10. 已知函数的导函数为，则（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 函数的单调递减区间为 D. 若函数有两个不同的零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数判断ABC；分析函数的性质，作出图象判断D作答. 【详解】由，得，当时，，B正确； 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因此函数在处取得极小值，递减区间为，A错误，C正确； 函数在上单调递减，且恒有，在上单调递增，，， 函数有两个不同的零点，即函数的图象与直线有两个公共点， 在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以函数有两个不同的零点时，，D正确. 故选：BCD 11. 设一组样本的统计数据为：，其中，已知该样本的统计数据的平均数为，方差为，设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 设，则的平均数为 B. 设，则的方差为 C. 当时，函数有最小值中 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平均数和方差的性质即可判断AB；C选项先化简得到，再结合得到，即可判断；由的最小值即可判断D选项. 【详解】对于A，因为的平均数为， 所以的平均数为，故A正确； 对于B，因为的方差为， 所以的方差为，故B正确； 对于C， ， 又，， 故， 故当时，函数有最小值，故C错误； 对于D，由C选项知， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：将化为是判断CD的关键. 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线的离心率分别为，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由，设，然后由辅助角公式化简即可求解. 【详解】由题知，共轭双曲线和的半焦距相等，记为， 则，所以， 又，故设， 所以， 其中， 当时，取得最大值. 故答案为：. 14. 已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到的表达式，最后裂项求和即可求得的值. 【详解】当时，，即， 表示以为圆心，为半径的圆在轴（含轴）的上半部分， 当时，，函数周期为4， 如图作出函数的图象， 因为与函数恰有个不同的交点， 根据图象知，直线与第个半圆相切， 第个半圆的圆心为，半径为， 故直线的斜率， 所以， 所以． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差 【答案】（1）分布列见解析 （2）期望；方差 【解析】 【分析】（1）列举出所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列； （2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可. 【小问1详解】 由题意知：所有可能的取值为， ；；；； 的分布列为： 【小问2详解】期望； 又， 方差. 16. 已知数列的前n项和为，且关于x的方程有两个相等的实数根． （1）求的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）方程有两个相等实根，即，可得，利用与的关系式即可求解. （2）由（1）知，得，利用错位相减法可得，再由对任意的恒成立，得对任意的恒成立，即，求出最小值即可求解. 【小问1详解】 方程有两个相等的实数根， 则，即， 当时，， 当时，，符合， 【小问2详解】 由（1）知，， ①， ②， ①②得， ， 整理得：. 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 故， 又单调递增，单调递增， 单调递增， 故，当且仅当时取到最小值. 所以实数的最大值为. 17. 某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金． （1）已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； （2）已知该商场开业促销活动的经费为21250元，问该活动是否会超过预算?请说明理由． 【答案】（1） （2）不会，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，求出、，根据条件概率的公式，即可求得答案； （2）设一名顾客获得的奖金为元，写出的所有可能取值，求出对应概率，进而可求出，即可得解. 【小问1详解】 设甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B， 则， ， 故； 【小问2详解】 设一名顾客获得的奖金为元，则的取值可能为， 则，， ，， 则（元）， 于是， 令， 则在上恒成立，所以在上单调递增， 则，， 故该活动不会超过预算． 18. 已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，求椭圆的方程； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点，利用面积公式表示出的面积，由基本不等式求最大值. 【小问1详解】 因为椭圆离心率为，则， 点在椭圆上，点代入椭圆方程，有，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设直线l的方程为，由， 消去y，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 设，所以， 因为直线和直线关于对称，轴， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线l的方程为， 所以直线l过定点. （ⅱ）由题意知l斜率不可能为0,设直线l的方程为，由， 消去，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 解得， 则， 由题意可知同号，不妨设， 所以， 所以 令 则，当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合建立有关参变量的等量关系应用基本不等式求三角形的面积最值即可． 19. 将2024表示成7个正整数之和，得到方程①，称七元有序数组为方程①的解，对于上述的七元有序数组，当时，若），则称是密集的一组解． （1）方程①是否存在一组解，使得等于同一常数? 若存在，请求出该常数，若不存在，请说明理由； （2）方程①的解中共有多少组是密集的? （3）记，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2） （3）存在，最小值为 【解析】 【分析】（1）若等于同一常数，则构成等差数列，根据等差数列下标和性质得到，推出矛盾即可得解； （2）依题意时，即当时，，则，，即可求出中有个，个，从而得解； （3）由方差公式得到（为方差），从而得到当方差取最小值时取最小值，从而推出是密集，即可求出的最小值. 【小问1详解】 若等于同一常数， 根据等差数列的定义可得构成等差数列， 所以， 解得，与矛盾， 所以不存在一组解， 使得等于同一常数； 【小问2详解】 因为平均数， 依题意时，即当时，， 所以，， 设有个，则有个， 由，解得， 所以中有个，个， 所以方程①的解共有组； 【小问3详解】 因为平均数， 又方差，即， 所以，因为为常数，所以当方差取最小值时取最小值， 又当时，， 即，方程无正整数解，故舍去； 当时，即是密集时，取得最小值， 且. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题关键是理解题意，第三问的关键是方差公式的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $